Deux pa­ra­doxes ayant nour­ri la science

Québec Science - - SUR LE VIF -

Un pa­ra­doxe est une énigme qui sur­git quand on tire une conclu­sion qui semble in­ac­cep­table à par­tir de pré­misses et d’in­fé­rences en ap­pa­rence, quant à elles, tout à fait ac­cep­tables. On peut le ré­soudre de dif­fé­rentes ma­nières : en dé­mon­trant la faus­se­té des pré­misses ou en­core l’in­va­li­di­té de l’in­fé­rence, ou même en dé­mon­trant qu’après tout il n’y a pas de pa­ra­doxe !

En voi­ci deux, ayant sti­mu­lé la pen­sée scien­ti­fique. Sau­riez-vous dire comment ils ont été ré­so­lus ?

Le pa­ra­doxe de Ga­li­lée

Le cé­lèbre phy­si­cien re­mar­quait que l’on consi­dé­re­rait sans hé­si­ter que les nombres en­tiers na­tu­rels (1, 2, 3, 4…) sont plus abon­dants que les car­rés de ces en­tiers (1, 4, 9, 16…), qui n’en sont qu’un sous-en­semble (ils sont tous « conte­nus » dans le groupe des nombres en­tiers).

Pour­tant, si vous ap­pa­riez les pre­miers avec les deuxièmes (1-1; 2-4; 3-9; 4-16), vous pour­rez pour­suivre in­dé­fi­ni­ment ce cou­plage. Il semble qu’il y a le même nombre d’en­tiers na­tu­rels que de car­rés de ceux-ci.

La no­tion d’in­fi­ni semble ain­si pa­ra­doxale : comment un sou­sen­semble peut-il être aus­si « grand » que l’en­semble dont il est ti­ré ? Ce sont fi­na­le­ment les tra­vaux de Georg Can­tor qui l’éclair­ci­ront plus de trois siècles plus tard. Mais c’est une autre (et com­plexe) his­toire...

Le pa­ra­doxe de Con­dor­cet

On doit au ma­thé­ma­ti­cien fran­çais Con­dor­cet le pa­ra­doxe sui­vant. Ima­gi­nons que trois per­sonnes A, B, et C, aient à choi­sir entre les élé­ments x, y, et z.

Les pré­fé­rences de cha­cun sont or­don­nées ain­si :

A : x, y, z; B : y, z, x ; C : z, x, y.

Dans deux cas sur trois, x est pré­fé­ré à y.

Dans deux cas sur trois y bat z. En d’autres termes, x sup­plante donc y, qui lui-même bat z.

Or, dans deux cas sur trois éga­le­ment, z a le des­sus sur x !

Le prin­cipe de tran­si­ti­vi­té n’est pas res­pec­té, ce qui est pro­fon­dé­ment pa­ra­doxal.

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