第二十一届国际天文奥林匹克竞赛理论试题详解

李 昕

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本届国际天文奥林匹克竞赛的理论环节高、低年组各 5 道题,每题8 分,总分 40 分。同学们完全可以不按试卷上给的题号顺序答题,建议通读一遍题目后,挑选容易有思路的题目开始作答。 α-1火星卫星

首先,如题意要在火星的人造卫星上看到与地球情况相同的日食,就是要让卫星与火星所处的距离恰好能使火星与太阳的角直径相同。设卫星与火星距离为A,火星与太阳距离为L,太阳和火星的直径分别为D和d。为使角直径相同需满足:d/A=D/(L+A),查表代入已知数据可解得A≈1.11×108km。

有的同学认为到这里本题已经作答完毕,实际上这里的分值只有1分。本题的关键是要讨论是否会有距离火星如此远的卫星。为此我们计算火星的第二拉格朗日点位置,卫星如果比L2点还远,火星的引力就将无法束缚它。设其距离火星Λ,有GMS/(L+Λ)2+GMM/Λ2=ω2(L+Λ),其中MS和MM分别为太阳和火星质量,ω为卫星角速度,同时也是火星公转角速度;上式解起来比较复杂,尤其是对低年组的同学,但我们可以将其化繁为简。由于有MS >>MM,L>>Λ,因此GMS/L2=ω2L,ω2=GMS/L3,再代入原式即有:MS/(L+Λ)2+MM/Λ2=MS(L+Λ) /L3; Λ=L×(MM/3MS)1/3=1.08×108km。

可见A>Λ,因此卫星已经超过了火星L2点,不能再作为它的卫星,这种情况也就不可能成立。最后不要忘记用英文写上:impossible situation,此题才能得到满分。 β-1戴森球

我们都知道行星绕中心恒星的公转周期仅与中心恒星的质量和轨道半径有关。即t=2π/ω,ω2R=GM/R2。

题目中说行星就是在参宿四表面上运行,因此这里面的R即是轨道半径,又是恒星的半径,这道题的重点就是求参宿四的半径。

根据斯特藩•玻尔兹曼定律我们可知L~R2T4,我们可以引入太阳的数据求出参宿四的半径。其中太阳半径R⊙、表面 温度T⊙、参宿四的表面温度TB,以及两者的质量都可以从常数表查得。光度L虽然不能直接查得,但可以通过视星等(0.5m)和距离(197pc)来计算。

根据距离模数公式:m-M=5logD-5,可以计算出参宿四与太阳的绝对星等差Δm=10.8m,因此有:LB/ L⊙=100Δm/5=21000。

根据已知条件,我们就可以求出R=(21000)1/2 R⊙(T⊙/ TB)2。

再计算出t≈247天。考虑到这种计算周期的方法是估算,因此结果不能这么精确,大约是250天,这个粗略的结果占1分,如果你的结果过于精确的话就不能得到这1分了。 α-2一天的长度

本题提出了一个很有趣的问题,地球两极冰川的消融导致海平面上升,从而使自转变慢。

地球自转满足角动量L守恒,我们可以将其写成L0=I0 • ω0=(2/5M0R2+Iice)ω0,其中I是转动惯量,常数表里有固体球转动惯量公式,ω是角速度;当一部分冰融化以后,地球半径增加了Δh,角动量:L1=I1

ω1=(2/5M0R2+2/3ηρSΔh(R+Δh/2)2) ω1 ,其中的S为地球表面积,ρ为海水的密度,η为海洋占地球表面积的百分比,这里可以取0.7,当然±0.05都算正确。

那么ηρSΔh就是冰融化导致的海平面升高所产生的质量,由于Δh<<R,上式最后那部分的(R+Δh/2)2可以近似为R2。

由于动量守恒,即L0=L1,因此有:(2/5M0R2+Iice) ω0=(2/5M0R2+2/3ηρSΔhR2) ω1。

冰融化前主要是在两极地区,因此Iice也是极小量,可以忽略。又有ω=2π/T,这里的T就是地球自转周期。于是我们可以得到:8/3πηρR4Δh (2π/T1)= 2/5M0R2 (2π/T02π/T1)= 2/5M0R22π(T1-T0)/T1T0。

由于T1≈T0≈T,有:8/3πηρR4Δh=2/5M0R2ΔT/T,代入所有已知数据可得Δh/ΔT=0.11m/ms。

从图中可测量出1995年到2003年每天的长度缩短了1.8ms,因此海平面降低了0.2米。

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