基于统计能量分析的船舶舱室阻尼降噪布置优化

1,魏杰证1,林永水2,范明伟3,甘进1吴卫国1 430063武汉理工大学 交通学院,湖北 武汉2 430070武汉理工大学 工程结构与力学系,湖北 武汉3 430064中国舰船研究设计中心,湖北 武汉摘 要:[目的]对船舶舱室噪声阻尼控制进行布置优化研究,以提高阻尼减振降噪效果和降低阻尼重量。SEA A [方法]首先,基于 理论,对声腔子系统的 计权声压级关于子系统阻尼损耗因子的一阶灵敏度进行理论MATLAB VA One推导与数值分析。同时,提出阻尼材料的布置数学优化模型并设计优化程序,运用 对 进行

Chinese Journal of Ship Research - - 中国舰船研究 -

Damping layout optimization for ship's cabin noise reduction based on statistical energy analysis

WU Weiguo1,WEI Jiezheng1,LIN Yongshui2,FAN Mingwei3,Gan Jin1 1 School of Transportation,Wuhan University of Technology,Wuhan 430063,China 2 Department of Mechanics and Engineering Structure,Wuhan University of Technology,Wuhan 430070,China 3 China Ship Development and Design Center,Wuhan 430064,China Abstract:An optimization analysis study concerning the damping control of ship's cabin noise was carried out in order to improve the effect and reduce the weight of damping. Based on the Statistical Energy Analysis (SEA) method, a theoretical deduction and numerical analysis of the first-order sensitivity analysis of the A-weighted sound pressure level concerning the damping loss factor of the subsystem were carried out. On this basis, a mathematical optimization model was proposed and an optimization program developed. Next, the secondary development of VA One software was implemented through the use of MATLAB, while the cabin noise damping control layout optimization system was established. Finally, the optimization model of the ship was constructed and numerical experiments of damping control optimization conducted. The damping installation region was divided into five parts with different damping thicknesses. The total weight of damping was set as an objective function and the A-weighted sound pressure level of the target cabin was set as a constraint condition. The best damping thickness was obtained through the optimization program, and the total damping weight was reduced by 60.4% . The results show that the damping noise reduction effect of unit weight is significantly improved through the optimization method. This research successfully solves the installation position and thickness selection problems in the acoustic design of damping control, providing a reliable analysis method and guidance for the design. Key words:cabin noise; Statistical Energy Analysis (SEA); acoustic damping; noise reduction; optimization design; secondary development

0引言

船舶舱室噪声控制通常从声源、传递途径和3接受者这 个环节来综合考虑。一旦主机、螺旋桨等噪声源确定,降低船体板的振动声辐射、抑制结构声的传递及增加结构振动能量的衰减就成为降噪的关键。阻尼技术在以上几个方面均可发挥有效作用,因此在船舶舱室噪声控制中得到了广泛应用。在船舶舱室噪声阻尼控制的研究领域,国内外学者开展了深入研究。文功启[1]研究指出阻尼材料敷设在船舶机舱和舵机舱的底板及桁材的减振降噪效果更好。于大鹏等[2]研究了阻尼结构对舱室噪声的影响,发现在激励源舱室敷设阻尼材料的情况下降噪不明显,但对非声源舱室有降噪作用,并且自由阻尼材料比约束阻尼材料的降噪效果更好;对于非激励源舱室敷设阻尼材料的情况,该方法可起到降噪的作用,并且与自由阻尼材料相比约束阻尼材料的效果更好。蔡旭龙[3]对某船舶生活舱室采用阻尼材料和吸声材料的降噪效果进行了研究与分析,研究结果表明,通过采取阻尼降噪措施,可以较好地改善各类舱室的噪声水水[4]分平。林永 析了在声波传递路径上敷设自由阻尼材料和约束阻尼材料对结构振动响应的影响,比较了阻尼材料连续敷设和间断敷设时的减振效果,但未直接对阻尼材料的降噪效果进行优MATLAB VA One化分析。范明伟[ 5]运用 对 软件的优化功能进行二次开发,并应用到了机舱的阻尼降噪优化分析中,但研究并未建立一个广义的优化数学模型,计算效率和可靠性有待提高。综合分析可知,目前的阻尼减振降噪方法还处于粗放模式阶段,阻尼材料敷设的位置及厚度等主要依据工程经验来确定,甚至是采取在整个局部结构中均匀敷设阻尼材料。这种方式使阻尼材料的重量急剧增大,而降噪效果并未得到显著提高,所以如何使用最少的阻尼材料达到最佳的减振降噪效果正成为一个在科学与工程上需要迫 切解决的问题。一方面,在给定重量约束的条件下,通过选择合适的阻尼材料以及合理布置,以提高单位阻尼重量的减振降噪效果来实现减振降噪目标;另一方面,在给定减振降噪值的约束条件下,通过选择合适的阻尼材料以及合理布置,以降低每分贝噪声值的阻尼重量来满足重量控制目标。因此,当阻尼材料选定后,阻尼材料的布置优化对阻尼减重和降噪的效果将起到十分重要的作用。目前,对舱室噪声进行分析有多种方法,主要Statistical Energy Analysis,包括统计能量分析( SEA FEM)和 法(BEM)、)法、有限元法( 边界元方SEA-FE混合方法以及基于实船测试噪声数据的经验公式法。上述方法中,SEA方法适用于结构的高频声振问题分析[6],FEM方法主要用于解决低频声振问题,Shorter Langley[7]提出的 SEA-FE和混合方法主要用于解决中间频段的声振特性分SEA析。国外很早就采用 方法来预报船舶舱室噪[8-10] [11]以及于大鹏等[ 2 ]声 。在国内,郦茜和吴卫国SEA采用 方法预报了舱室噪声;邱斌等[ 12 ]基于VA One软件首次将船舶舱室噪声预报扩展到全SEA-FE频段,在中间频段采用 混合方法,对船舶舱室噪声进行了全频段预报。鉴于船舶的复杂性,目前舱室噪声的数值预SEA SEA报主要还是采用 方法。本文拟基于 方法对船舶舱室的阻尼降噪布置进行优化分析。首A先,对声腔 计权声压级关于阻尼损耗因子的灵敏度开展研究,探讨敷设位置和阻尼损耗因子对舱室噪声的影响;其次,提出优化数学模型和优化MATLAB VA One程序,集成 的优化功能和 软件的SEA求解功能,建立阻尼控制优化的分析平台;最后,开展船舶舱室噪声阻尼布置优化的数值实验研究,为船舶舱室噪声的阻尼声学设计提供建议。

1 基于SEA的阻尼灵敏度分析

1.1 一阶灵敏度分析模型根据互易原理,给出如下功率流平衡方程:

变量 x 是连续可微的; e ( x f )为模态能量矩阵, e ( x f )=[e1 e 2  ek ]T ;P 为 独立于设计变量in的输入功率向量。通过式(1)推导的模态能量矩阵为[13] ( x f )= 1 N ( x f )-1 P (2) e 2πf in式中,中心频率带宽内的总能量 E ( x f )可用该中心频率下的模态密度 n ( x f ) 和模态能量矩阵e ( x f )来表达: ( x f )= ( x f ( x f ) (3) E n )e式中: n ( x f )为由子系统模态密度组成的对角

矩阵。声腔子系统 Q 在中心频率 fj 下的声压( )

PQ fj 计算公式如下: ( ) 0.5 ( )= ρc2 EQ fj (4) PQ fj V式中: ρ为空气密度;c为空气中的声速; V 为声( )腔体积;EQ fj 为声腔子系统Q 中心频率 fj 带宽

内的总能量。中心频率 fj 下声腔子系统 Q 的声压级( )

LPQ fj 计算公式为éρc2 EQ ( fj) Vù 0.5 ( )= ë û (5) LPQ fj 20 lg 2 ´ 10-5

A整个计算频域内声腔子系统Q 的 计权声压级 LPAQ ( f )计算公式为100.1[LPQ ( )+ ( )] LPAQ ( f )= 10 lg åWf fj δP fj (6 ) j =1 ( ) A式中:δP fj 为中心频率 fj 下 计权声压级的修正值;Wf 为整个计算频域内中心频率的个数。1.2 A计权声压级关于设计变量的一阶灵敏度分析对于设计变量 X =[x1 x  xk ] ,推导声腔2子系统能量关于子系统阻尼损耗因子的灵敏度时,假定设计变量中单个子系统的内损耗因子改变,然后将其扩展到多个变量值。由式(3),得到总能量关于设计变量 x 的一阶灵敏度为dE(x f) de(x f) dn(x f) n(x e(x 7 = f) + f) () dx dx dx假定输入功率向量 P 与设计变量x相互独in

¶P ,对式(1)求导可得立,因此 in = 0 ¶x N de =- dN e (8 ) dx dx N 关于设计变量 x 的导数为dN =å k ¶N dni +å k ¶N dηi + dx i = 1 ¶ni dx i = 1 ¶ηi dx

dηij å k 1å k ¶N i = j > 1 ¶η dx (9) ij板子系统的模态密度 n ( f )为n ( f )= C3SLh (10)式中:C L ,h分别为纵波波速及板的厚度;S 为声腔总的表面积。声腔子系统的模态密度为n ( f )=( 4πf 2V c3 )+( π fS 2c2 )+( lt 8c) (11)

式中,lt 为声腔的总周长。板子系统的内损耗因子为[9] η = 0.47f -0.7 (12)声腔子系统的内损耗因子为[10,14] η = cS αˉ ( 4ωV ) (13)式中:αˉ为声腔的平均吸声系数;ω = 2πf ,为角频率。板子系统 i 与板子系统 j 的连接耦合损耗因子 ηij 为[6] ηij = 2c lij τij ( πωSi) (14) Bi式中:c 为板中弯曲波的波速;τij 为板子系统间Bi传递系数;Si 为板子系统i 的面积;lij 为结构间连接长度。板子系统 i 与声腔子系统 j 的耦合损耗因子ηij 为[6]

(15) ηij = ρ0 cSi σ ( ωm′i)式中:ρ0 为声腔中流体密度;m′i 为板子系统 i 的面密度;σ 为辐射比。[6]声腔与声腔之间的耦合损耗因子 ηij 为(16) ηij = cSij τij ( 4ωVi)式中:Sij 为声腔子系统 i 和声腔子系统 j 面连接的面积;τij 为声腔子系统间传递系数;Vi 为声腔子系统 i 的体积。当设计变量值 x 为第 i个板子系统的阻尼损12)~式(16耗因子 ηi ,即 x = ηi 时,将式( )代入式(19),可得dηij dN = ¶N +å k 1å k ¶N (17) dη ¶η i = j >1 ¶ηij dηi i i对于扩散声场,第 i 个板子系统相关的耦合

损耗因子 ηij 相对于第i个板子系统的阻尼损耗因

dηij ,因此,式(17)右子 ηi 是独立的,即 =0 端可dηi简化为一个k´ k 阶矩阵,该矩阵 k ( i i )= ni ,其他0。元素均为由式(2)和式(8),可得de =- N -1 dN e =- 1 N -1dN N-1 P (18) dηi dηi 2πf dηi in

18 7将式( )代入式( ),可得dE = n dei (19) dηi dη

由此,声腔子系统Q 的总能量 EQ 关于第 i 个板子系统的内损耗因子的灵敏度为dEQ =[0 ] de 20 η 0 ( ) dηi Q dηi

式中,ηQ 为声腔子系统Q的内损耗因子。对式(5)两边关于设计变量 η求导,可得å Wf 1 100.1[LPQ ( ηi fj )+ δP j] j =1 2πfj dLPAQ =- 10 dηi ln 10 1.3 灵敏度数值分析2 9 m×6 m×3 m模型由 个 的长方形舱室组成, 1两者尺度和结构属性相同,如表 所示。整个系SEA 2 11统 模型包含 个声腔子系统和 个板子系1所示为子系统划分情况,其中:1统。图 为声源2~7室的声腔子系统,子系统 分别为声源室的板13子系统;子系统 为非声源室的声腔子系统,子2,8,9,10,11,12系统 为非声源室的板子系统。6,空气声激励作用结构声激励作用于板子系统1。于声腔子系统2图 所示为在空气声激励作用时,对声源舱A室声腔子系统和非声源舱室声腔子系统的 计权声压级关于阻尼损耗因子的一阶灵敏度的分析结果。结果表明,空气声激励作用时,改变了板子系表1 舱室的特征参数Table 1 The characteristic parameters of a single cabin板子系统尺度 上/下面板 左/右侧板 前/后壁板(6/7,11/12) (4/5,9/10) (3/2,2/8)长/m宽/m高/m板厚/m 0.003 0.003 ( fj) ( fj) dLPQ ηi dEQ = 10 1 21 ( ) dηi ( fj) ln 10 EQ dηi对式(6)两边关于设计变量 η求导,可得( fj) 100.1[LPQ ( )+ δPj] dLPQ ηi åWf ηi fj dLPAQ j =1 dηi 22 = ( ) dηi [ ( )+ j] å 100.1 LPQ ηi fj δP Wf j =1将式(20)代入式(21),可得( fj) dLPQ ηi [0 ] 10 1 de 23 = η 0 ( ) () Q dηi ln 10 EQ fj dηi 18 23将式( )代入式( ),可得( fj) dLPQ ηi [0 ]· =- 10 1 1  ηQ  0 () dηi ln 10 2πfj EQ fj -1dN ( fj) (24) N N-1 P dηi in ( )式中,P fj 为中心频率 fj 下的输入功率。in将式(24)代 式(22),得入 到目标函数的一阶灵敏度表达式1 [0 0]N -1dN ( fj)  ηQ  N -1P () dηj in E fj 25 ( ) Q [ ( ]

fj) + å Wf 100.1 LPQ ηi δPj j =1 图1 SEA舱室的 子系统划分图Fig.1 The cabin SEA subsystems demarcation plan A统的阻尼损耗因子,对声源舱室 计权声压级的影响甚微,对非声源舱室的影响较大;而传递途径2)的阻尼损耗因子对非声源上板子系统(子系统A舱室 计权声压级的影响明显。3图 所示为在结构声激励作用时,对声源舱A室声腔子系统和非声源舱室声腔子系统的 计权声压级关于阻尼损耗因子的一阶灵敏度的分析结果。结果表明,结构声激励作用时,改变了板子系A统的阻尼损耗因子,对两种舱室 计权声压级影响较大,尤其是改变了激励作用区的阻尼损耗因子。因此,采用阻尼材料来降低噪声将会取得显著的效果,尤其是阻尼材料敷设在激励作用区时。

2 3此外,由图 和图 还可以看出,在内损耗因=0.02子 η 附近,灵敏度值呈现陡峭的变化趋势; =0.02~0.1 >0.1当 η 时,灵敏度变化趋缓;当 η 时,灵敏度值几乎不变,这说明当板子系统的阻尼损0 0.1 A耗因子从 增加到 时,对声腔的 计权声压级有较明显的影响,而阻尼值继续增加时,对其影响甚微。因此,当阻尼厚度达到一定值后,继续增加厚度,其降噪效果并不会显著增加。2 基于SEA的舱室阻尼降噪布置优化

2.1 舱室阻尼降噪布置优化数学模型A假设规范规定的船舶目标舱室G 的 计权声压级的限制值为 L ,未敷设阻尼材料时目标PAGH A舱室初始的 计权声压级为 LPAGI 。舱室噪声阻尼布置优化问题的约束条件为目标舱室的噪声级满足规范要求,且阻尼总重量最轻。4如图 所示,该模型将阻尼材料敷设分为 M个区域,第 i 个区域的底材厚度为 ti ,面积为 Si ,阻尼层厚度为 h ,约束层厚度为 h ,ρ 和 ρ 分1i 2i 1 2别为自由阻尼层及约束层密度,阻尼材料与底材的厚度比 y = (h + h ) t 。约束层厚度 h用变i 1i 2i i 2i

量 yi 表示为

(26) h = y ´ t - h ;i = 1 2 M 2i i i 1i 图4 约束阻尼结构示意图Fig.4 Schematic of constraint damping structure根据文献[5],敷设阻尼钢板的复合损耗因子随阻尼层厚度的增加而增大,当阻尼层与底材的厚度比大于一定值时,复合损耗因子增加的速率降低,定义此时厚度比为临界厚度比。因此,阻尼厚度比的上限值取 y ,有c 1 < yi < yc (27) ti的A优化数学模型中约束条件是目标舱室G计权声压级的减少量 δ L -L。设敷阻G PAGI PAGH A尼材料之后舱室的 计权声压级为 LPAG ( Y ) ,则目标舱室声压级约束条件可以改写为LPAG ( Y) (28)  1; G = 1 2 m LPAGI - δG

]。式中:Y =[ y1 y 2  yM根据多元函数不等式约束优化问题的求解方法,数学优化模型可以表述为: min f ( )= å [ ( (29) Y M ρ1 - ρ ) Sih1i + ρ Siti yi] i = 1 2 2 LPAG ( Y) s.t. )= gG ( Y - 1 0 LPAGI - δG (30) G = 1 2 m式中:f ( Y ) 为目标函数;gG ( Y )为约束条件的梯度,其矩阵分别表示如下: ¶f ( Y) ) = 2[S1t1 ]T(31) Df ( Y = ρ  S t2 SM tM ¶ yi 2

¶gG ( Y) DgG ( Y )= = ¶ yi DLPAG ( y1) DLPAG ( y ) DLPAG ( yM ) 1 2  ( LPAGI - δG ) Dy1 Dy2 DyM (32)

式中,Dyi 为设计变量的变化值。2.2 优化算法和优化函数在求解优化问题的过程中,将同时采用解析方法和数值方法。解析方法使用到拉格朗日函Kuhn-Tucker条件[15]。数,拉格朗日函数必须满足29对 于 式( )中 的 设 计 变 量 向 量 , Y =[ y1  y  yM ]T 为 M 维向量,它受到 m 个不2等式约束的限制。 γ是对应于不等式约束的拉格=[γ1 γm]T朗日乘子向量,γ γ  ,并有非负的要2求。在使用拉格朗日乘子法推导出相应的极值条件时,需要引入m个松弛变量,χ =[ χm]T χ1  χ  , 2使式(30)中的不等式约束 gj (Y)  0( j = 1 2  m)变成等式约束 gj (Y ) + χ2 =0( j = 1 2  m) ,从而j组成相应的拉格朗日函数,即å (( ) 33 )+åm Γ= f ( Y )+ (y )+χ ( ) M 2 1vihi 1γj gj y i = j= j =[ν1 ]式中:ν  ν  νM ,为拉格朗日乘子向量。2根据式(33),可得Kuhn-Tucker条件为¶Γ ¶Γ ¶Γ ¶Γ 34 = = = =0 ( ) ¶yi ¶v ¶ γi ¶χi i MATLAB fmincon文中采用 自带的优化函数进行求解,具体的优化算法是序列二次规划法。2.3 基于VA One和MATLAB的优化程序设计VA One SEA程序以 软件为 模型声压级计算的求解器,MATLAB为主控程序,提供优化算法, API两者之间的数据交换通过 函数实现。首先, VA One SEA在 中建立优化所用的 模型,并在预定的区域敷设阻尼材料,作为初始输入模型。其次, MATLAB在 中定义目标函数与设计变量,通过API函数对输入模型进行参数修改,即厚度比。VA One A然后,用 计算目标舱室G 的 计权声压API级,并通过 函数数据接口将计算后的目标值MATLAB传递给 程序,程序根据返回值判断是否满足约束条件。如此循环下去,直到获得最优结5。果,具体流程见图

2.4 阻尼材料布置优化数值分析

SEA计算模型为一艘巡逻艇的 模型,目标舱2室取个噪声超标的舱室(会议室和驾驶室),降dB dB。阻尼材料采用噪值分别为 δ  8 和 δ  9 1 2化工部海洋涂料研究所研制的无溶剂阻燃型船用T54/T60,阻 2、表 3 6所阻尼涂料 尼参数如表 及图6示。图 中同一种颜色代表涂区敷设的阻尼层厚度相等。根据文献[16],阻尼层厚度 m, h1i = 0.001阻尼厚度比上限值 yc = 2。T54/T60复合损耗因子计算采用谱有限元法[18],第 i个波型的阻尼损耗因子 ηi 公式如下:

Table 2 The表2 properties聚氨酯和环氧树脂属性[17]of polyurethane and epoxy密度 ρ 剪切模量涂料 (/ kg·m -3 ) 泊松比 μ E/ MPa 内损耗因子 η聚氨酯 1 100 0.48 16.6 1.1环氧树脂 1 500 0.48 1 182 0.1表3 阻尼区域面积与底板厚度Table 3 Damping area and plate's thickness阻尼敷设区域M 1 2 3 4 5面积/m2 24.000 18.452 20.544 4.368 4.200厚度/m 0.006 0.006 0.006 0.004 0.004

å ( j) jηj Φ T Kr Φi i 35 ηi = ( ) ΦT K Φi i r (j)式中: ηj 为第 j 层的阻尼损耗因子; K 为第 j r层的刚度矩阵;K 为总的刚度矩阵;Φ T 为第i个r i

波型对应横截面的位移特征向量。阻尼厚度比向量取初始值Y = [1.5 1.5 1.5 691.3 kg 1.5 1.5] ,目标函数初始值为 ,程序运行4h 6约 ,经过 次迭代完成优化求解,厚度比的计7 8算结果如图 所示。从图 可以看出,目标函数的273.9 kg最优解为 ,此时会议室和驾驶室的噪T54/T60声水平满足规范的要求,同时阻尼涂料=[1.320.170.171.511.77],的质量也最轻。此时,Y

与阻尼厚度比向量对应的阻尼厚度为H =[7.921.021.026.047.08] 。结合工程实际,根据优化结果取约束层厚度 H =[ 70056] , S A此时会议室和驾驶室的 计权声压级分别为69.13 69.99 dB和 ,满足控制要求,阻尼涂料T54/T60 273.7 kg,较初始设计值的重量的质量为60.4%。减轻了 7 8 1 3由图 和图 可知,子系统 在 个底板子系统中敷设的约束阻尼厚度最大,说明阻尼材料布1置在子系统 降噪的效果最好,且激励作用在子1系统 上,也说明阻尼材料布置在激励作用区域 2,3更能发挥阻尼材料的减振降噪作用。子系统的阻尼约束层可以忽略,说明在声振动传递路径4,5上采用自由阻尼即可。子系统 的阻尼层较厚,说明船底肋板和纵桁是能量传递的重要途径,尤其是横向构件,其敷设约束阻尼材料后更能大幅降低能量的传递。总之,优化结果说明了非均匀敷设阻尼材料较均匀敷设的效果更佳,合理布置阻尼敷设材料的位置与厚度,可大幅提高阻尼减振降噪的效果,并减轻阻尼材料的重量。 3结论本文采用统计能量分析方法对船舶舱室噪声的阻尼降噪布置优化进行了研究,提出阻尼布置MATLAB的数学优化模型及程序,并运用 对VA One软件进行二次开发,建立了噪声阻尼控制布置的优化系统。通过对实际船舶舱室的阻尼材料降噪布置优化数值分析,得到如下结论: 1)当空气声激励时,阻尼材料对声源舱室的降噪效果甚微;当结构声激励时,阻尼的降噪效果显著,且在激励作用区域敷设约束阻尼降噪效果最佳,在传递路径上敷设自由阻尼的效果次之;阻尼厚度达到一定值后,降噪效果并不会随阻尼厚度的增加而显著增加。

2)结构横向和纵向强构件是结构声传递的重要通道,敷设约束阻尼材料可抑制结构噪声的传递,有效降低非声源舱室的噪声。3)与传统的阻尼材料均匀布置方式相比,优化后的阻尼材料布置可显著提高单位阻尼质量的降噪效果。本研究结果可为舱室噪声阻尼控制中阻尼材料敷设位置和厚度的选择提供可靠的分析方法,并为其声学设计提供指导。参考文献: [ 1] 文功启.高速船结构噪声传播及其阻尼被动控制的研究[D].武汉:武汉理工大学,2002. WEN G Q. Research of the propagation of the struc⁃ ture-borne noise in high-speed ship and the inactive noise controlling by damping treatments[D]. Wuhan: Wuhan University of Technology,2002(in Chinese). [ 2] 于大鹏,赵德有,汪玉.船舶声学建模和阻尼结构对舱室噪声影响研究[ J]. 船舶力学, 2010,14(5): 539-548. YU D P ,ZHAO D Y,WANG Y. Influence of damped material and the ship model of acoustic on the ship cab⁃ in noise[J]. Journal of Ship Mechanics,2010,14 (5):539-548(in Chinese). [ 3]蔡旭龙. AHTS的舱室噪声预报及控制研究[ D ]. 广州:华南理工大学,2016. CAI X L. Study on the cabin noise in AHTS about the prediction and control[D]. Guangzhou:South China University of Technology,2016(in Chinese). [ 4] 林永水.钢铝混合结构高速船声振传递分析与控制

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Fig.5 图5 阻尼控制优化布置二次开发程序流程图Flow chart of secondary development program for layout optimization of damping control

Fig.8 图8 每一次迭代目标函数的取值The objective function values of each iteration

Fig.6 图6 板系统阻尼敷设示意图Schematic of damping layout for plate system

图7 每一次迭代厚度比的取值The thickness ratio values of each iteration

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