DU NOMBRE DE GÉO­DÉ­SIQUES À L’ES­PACE DES MO­DULES

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Au cours de sa thèse de doc­to­rat sou­te­nue en 2004, Ma­ryam Mir­za­kha­ni est par­ve­nue à comp­ter le nombre de courbes par­ti­cu­lières sur une sur­face. Pre­nons une sur­face à deux trous et pla­çons-y une courbe quel­conque (la­cet orange). Si on dé­forme ce la­cet pour mi­ni­mi­ser sa lon­gueur, on ob­tient une géo­dé­sique (la­cet vert). Ces géo­dé­siques peuvent éven­tuel­le­ment se re­cou­per (en rouge). Mais en se re­strei­gnant à celles ne se re­cou­pant pas, Ma­ryam Mir­za­kha­ni a dé­mon­tré que le nombre de géo­dé­siques de lon­gueur in­fé­rieure à une li­mite L crois­sait comme cL6, où c est une constante dont elle a trou­vé l’ori­gine. Au pas­sage, elle a éta­bli une for­mule per­met­tant de cal­cu­ler l’en­semble de toutes les struc­tures hy­per­bo­liques pos­sibles sur une sur­face don­née (le vo­lume de l’es­pace des mo­dules), et elle a don­né une nou­velle dé­mons­tra­tion élé­gante d’une conjec­ture pro­po­sée par le phy­si­cien Ed­ward Wit­ten liée à la théo­rie des cordes.

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