Petit problème d’aménagement intérieur

Vous venez d’acquérir un appartement « atypique » mais « plein de charme », aux dires de l’agent immobilier. En emménageant, vous réalisez surtout que vous disposez de pièces biscornues et que la disposition des murs crée de nombreux recoins. Où placer une ampoule pour pouvoir éclairer toute une pièce ? Vous cherchez un peu, puis renoncez à éclairer directement l’ensemble. Suivant les conseils d’un architecte d’intérieur, vous couvrez tous les murs de miroirs afin d’éliminer les endroits sombres. Pourtant, vous avez l’impression de ne toujours pas éclairer toute la pièce. Vous venez de découvrir le problème mathématique dit de l’illumination !

L’ÉNONCÉ mathématique date des années 1950, lorsque le mathématicien américain Ernst Straus demanda si une pièce couverte de miroirs pouvait toujours être complètement éclairée à partir de tout point ou si toute pièce pouvait être éclairée d’au moins un point. Cette question de géométrie est loin d’être évidente. Il faut comprendre que la lumière rayonne de la source jusqu’aux murs, puis se réfléchit sur les miroirs une première fois, atteint ensuite de nouveaux murs et de nouveaux miroirs… Elle peut ainsi parvenir à un point bien « caché » après de nombreuses réflexions sur les murs (ce qui rapproche la question d’un problème de billard). Le problème initial est tridimensionnel, mais on peut le considérer bidimensionnel en supposant que les murs de la pièce sont une courbe dessinée sur un plan. Une première réponse a été apportée en 1958 par le Britannique Roger Penrose, alors doctorant à l’université de Cambridge – devenu célèbre pour ses travaux en cosmologie et sur les pavages. Il propose un contreexemple en construisant une pièce qui ne peut être illuminée intégralement d’aucun de ses points : sa forme est une ellipse à laquelle sont ajoutés deux recoins. Le problème survit toutefois sous une autre forme avec l’hypothèse additionnelle que la pièce est polygonale. Plusieurs mathématiciens ont montré des exemples de pièces polygonales qui ne pouvaient pas être éclairées de tous leurs points. Le plus fameux est une pièce proposée par le Canadien George Tokarsky en 1995 : elle dispose de 26 murs et il existe une position pour la source lumineuse qui éclaire toute la pièce, sauf un point (1). Le cas a été simplifié par l’étudiant David Castro, qui obtient une pièce analogue ne comptant plus « que » 24 murs. Résultats remarquables d’astuce, mais guère satisfaisants pour le problème de départ. Il n’y a que des mathématiciens pour considérer une pièce privée d’un point. Si la question initiale de Straus est résolue, vous ne savez toujours pas si votre pièce est illuminable dans des conditions raisonnables : vous pouvez vous accommoder d’un unique point non éclairé, mais rien ne vous assure que votre appartement ne fournit pas un contre-exemple plus monstrueux que ceux déjà montrés. Dans un article de 2016, Samuel Lelièvre, Thierry Monteil et Barak Weiss ont apporté une réponse qui devrait vous rassurer. Dans une classe particulière de pièces baptisées surfaces de translation, ils ont démontré que, quel que soit le point où vous placez l’ampoule, il n’existera qu’un nombre fini de points non éclairés (2).

CE RÉSULTAT repose en partie sur les travaux des mathématiciens Alex Eskin, Maryam Mirzakhani (seule femme médaillée Fields, récemment disparue, lire La Recherche n° 527, p. 20) et Amir Mohammadi. Ils ont apporté une compréhension fine de l’action d’un groupe de transformations, baptisé groupe spécial linéaire – SL (Z) pour les intimes.

2 Mais votre appartement n’est pas vraiment une surface de translation : pour obtenir une telle surface, on doit « coller » ensemble des murs parallèles de différentes pièces, ce qui change la topologie du lieu. Toutefois, le résultat se déduit (sous des hypothèses raisonnables) par une technique de dépliements successifs de la surface. Soyez donc rassuré, votre appartement biscornu aux murs couverts de miroirs peut être (presque) intégralement bien éclairé ! (1) G. W. Tokarsky, Am. Math. Mon., 102, 867, 1995. (2) S. Lelièvre et al., Geom. Topol., 20, 1737, 2016.

R o g e r M a n s u y, professeur au lycée Louis-le-Grand, à Paris, nous raconte, chaque mois, un thème mathématique inspiré par un exposé grand public. Howard Masur, mathématicien, parle du problème de l’illumination, en anglais, sur la chaîne Numberphile : http://tinyurl.com/pb-illumination

Dans votre pièce biscornue, il y a un nombre fini de points non éclairés ”