Pe­tit pro­blème d’amé­na­ge­ment in­té­rieur

La Recherche - - Sommaire - Ro­ger Man­suy

Vous ve­nez d’ac­qué­rir un ap­par­te­ment « aty­pique » mais « plein de charme », aux dires de l’agent im­mo­bi­lier. En em­mé­na­geant, vous réa­li­sez sur­tout que vous dis­po­sez de pièces bis­cor­nues et que la dis­po­si­tion des murs crée de nom­breux re­coins. Où pla­cer une am­poule pour pou­voir éclai­rer toute une pièce ? Vous cher­chez un peu, puis re­non­cez à éclai­rer di­rec­te­ment l’en­semble. Sui­vant les conseils d’un ar­chi­tecte d’in­té­rieur, vous cou­vrez tous les murs de mi­roirs afin d’éli­mi­ner les en­droits sombres. Pour­tant, vous avez l’im­pres­sion de ne tou­jours pas éclai­rer toute la pièce. Vous ve­nez de dé­cou­vrir le pro­blème ma­thé­ma­tique dit de l’illu­mi­na­tion !

L’ÉNON­CÉ ma­thé­ma­tique date des an­nées 1950, lorsque le ma­thé­ma­ti­cien amé­ri­cain Ernst Straus de­man­da si une pièce cou­verte de mi­roirs pou­vait tou­jours être com­plè­te­ment éclai­rée à par­tir de tout point ou si toute pièce pou­vait être éclai­rée d’au moins un point. Cette ques­tion de géo­mé­trie est loin d’être évi­dente. Il faut com­prendre que la lu­mière rayonne de la source jus­qu’aux murs, puis se ré­flé­chit sur les mi­roirs une pre­mière fois, at­teint en­suite de nou­veaux murs et de nou­veaux mi­roirs… Elle peut ain­si par­ve­nir à un point bien « ca­ché » après de nom­breuses ré­flexions sur les murs (ce qui rap­proche la ques­tion d’un pro­blème de billard). Le pro­blème ini­tial est tri­di­men­sion­nel, mais on peut le consi­dé­rer bi­di­men­sion­nel en sup­po­sant que les murs de la pièce sont une courbe des­si­née sur un plan. Une pre­mière ré­ponse a été ap­por­tée en 1958 par le Bri­tan­nique Ro­ger Pen­rose, alors doc­to­rant à l’uni­ver­si­té de Cam­bridge – de­ve­nu cé­lèbre pour ses tra­vaux en cos­mo­lo­gie et sur les pa­vages. Il pro­pose un contreexemple en construi­sant une pièce qui ne peut être illu­mi­née in­té­gra­le­ment d’au­cun de ses points : sa forme est une el­lipse à la­quelle sont ajou­tés deux re­coins. Le pro­blème sur­vit tou­te­fois sous une autre forme avec l’hy­po­thèse ad­di­tion­nelle que la pièce est po­ly­go­nale. Plusieurs ma­thé­ma­ti­ciens ont mon­tré des exemples de pièces po­ly­go­nales qui ne pou­vaient pas être éclai­rées de tous leurs points. Le plus fa­meux est une pièce pro­po­sée par le Ca­na­dien George To­kars­ky en 1995 : elle dis­pose de 26 murs et il existe une po­si­tion pour la source lu­mi­neuse qui éclaire toute la pièce, sauf un point (1). Le cas a été sim­pli­fié par l’étu­diant Da­vid Cas­tro, qui ob­tient une pièce ana­logue ne comp­tant plus « que » 24 murs. Ré­sul­tats re­mar­quables d’as­tuce, mais guère sa­tis­fai­sants pour le pro­blème de dé­part. Il n’y a que des ma­thé­ma­ti­ciens pour consi­dé­rer une pièce pri­vée d’un point. Si la ques­tion ini­tiale de Straus est ré­so­lue, vous ne sa­vez tou­jours pas si votre pièce est illu­mi­nable dans des condi­tions rai­son­nables : vous pou­vez vous ac­com­mo­der d’un unique point non éclai­ré, mais rien ne vous as­sure que votre ap­par­te­ment ne four­nit pas un contre-exemple plus mons­trueux que ceux dé­jà mon­trés. Dans un ar­ticle de 2016, Sa­muel Le­lièvre, Thier­ry Mon­teil et Ba­rak Weiss ont ap­por­té une ré­ponse qui de­vrait vous ras­su­rer. Dans une classe par­ti­cu­lière de pièces bap­ti­sées sur­faces de trans­la­tion, ils ont dé­mon­tré que, quel que soit le point où vous pla­cez l’am­poule, il n’exis­te­ra qu’un nombre fi­ni de points non éclai­rés (2).

CE RÉ­SUL­TAT re­pose en par­tie sur les tra­vaux des ma­thé­ma­ti­ciens Alex Es­kin, Ma­ryam Mir­za­kha­ni (seule femme mé­daillée Fields, ré­cem­ment dis­pa­rue, lire La Re­cherche n° 527, p. 20) et Amir Mo­ham­ma­di. Ils ont ap­por­té une com­pré­hen­sion fine de l’ac­tion d’un groupe de trans­for­ma­tions, bap­ti­sé groupe spé­cial li­néaire – SL (Z) pour les in­times.

2 Mais votre ap­par­te­ment n’est pas vrai­ment une sur­face de trans­la­tion : pour ob­te­nir une telle sur­face, on doit « col­ler » en­semble des murs pa­ral­lèles de dif­fé­rentes pièces, ce qui change la to­po­lo­gie du lieu. Tou­te­fois, le ré­sul­tat se dé­duit (sous des hy­po­thèses rai­son­nables) par une tech­nique de dé­plie­ments suc­ces­sifs de la sur­face. Soyez donc ras­su­ré, votre ap­par­te­ment bis­cor­nu aux murs cou­verts de mi­roirs peut être (presque) in­té­gra­le­ment bien éclai­ré ! (1) G. W. To­kars­ky, Am. Math. Mon., 102, 867, 1995. (2) S. Le­lièvre et al., Geom. To­pol., 20, 1737, 2016.

R o g e r M a n s u y, pro­fes­seur au ly­cée Louis-le-Grand, à Pa­ris, nous ra­conte, chaque mois, un thème ma­thé­ma­tique ins­pi­ré par un ex­po­sé grand pu­blic. Ho­ward Ma­sur, ma­thé­ma­ti­cien, parle du pro­blème de l’illu­mi­na­tion, en an­glais, sur la chaîne Num­ber­phile : http://ti­nyurl.com/pb-illu­mi­na­tion

Dans votre pièce bis­cor­nue, il y a un nombre fi­ni de points non éclai­rés ”

Newspapers in French

Newspapers from France

© PressReader. All rights reserved.