L’équi­libre de Nash et la théo­rie des jeux

Le qua­trième ar­ticle de notre sé­rie sur les idées éco­no­miques fon­da­trices se penche sur l’équi­libre de Nash, qui a per­mis aux éco­no­mistes de com­prendre com­ment l’au­to-amé­lio­ra­tion les in­di­vi­dus peut conduire à l’au­to­mu­ti­la­tion du groupe

Le Nouvel Economiste - - La Une - THE ECONOMIST

John Nash est ar­ri­vé à l’uni­ver­si­té de Prin­ce­ton en 1948 pour faire son doc­to­rat avec une seule phrase de re­com­man­da­tion : “C’est un gé­nie en ma­thé­ma­tiques”. Il n’a pas dé­çu. Il avait 19 ans et n’avait sui­vi qu’un cours d’éco­no­mie...

John Nash est ar­ri­vé à l’uni­ver­si­té de Prin­ce­ton en 1948 pour faire son doc­to­rat avec une seule phrase de re­com­man­da­tion : “C’est un gé­nie en ma­thé­ma­tiques”. Il n’a pas dé­çu. Il avait 19 ans et n’avait sui­vi qu’un cours d’éco­no­mie du­rant son pre­mier cycle, ce qui ne l’em­pê­cha pas de pro­duire en 14 mois les tra­vaux qui lui va­lurent, en 1994, le No­bel d’éco­no­mie pour sa contri­bu­tion à la théo­rie des jeux. Le 16 no­vembre 1949, John Nash en­voya une note d’à peine plus d’une page aux Actes de l’Aca­dé­mie amé­ri­caine des sciences, dans la­quelle il ex­po­sait le concept qui est de­puis de­ve­nu “l’équi­libre de Nash”. Ce concept dé­crit un ré­sul­tat stable lorsque les per­sonnes ou ins­ti­tu­tions font des choix ra­tion­nels en se ba­sant sur la ma­nière dont ils pensent que les autres agi­ront. Dans un équi­libre de Nash, nul n’est en me­sure d’amé­lio­rer sa propre si­tua­tion en chan­geant de stra­té­gie : chaque joueur fait de son mieux, même si ce­la ne si­gni­fie pas que le ré­sul­tat se­ra op­ti­mal pour la so­cié­té. S’ai­dant de grandes for­mules ma­thé­ma­tiques élé­gantes, John Nash dé­montre que chaque “jeu” avec un nombre don­né de joueurs, dis­po­sant cha­cun d’un nombre don­né d’op­tions, at­tein­drait au moins une fois cet équi­libre. Ses idées ont élar­gi le champ de l’éco­no­mie. Dans des mar­chés par­fai­te­ment concur­ren­tiels, où les bar­rières à l’en­trée sont in­exis­tantes et les pro­duits de cha­cun iden­tiques, au­cun ache­teur ou ven­deur in­di­vi­duel ne peut in­fluen­cer le mar­ché : nul n’a be­soin de por­ter une at­ten­tion par­ti­cu­lière à ce que font les autres. Mais la plu­part des mar­chés ne sont pas comme ce­la : les dé­ci­sions des concur­rents et des clients im­portent. Des ventes aux en­chères au mar­ché du tra­vail, l’équi­libre de Nash a four­ni à une science ré­bar­ba­tive de quoi faire des pré­dic­tions réelles en se ba­sant sur les mo­ti­va­tions de cha­cun. Un exemple en par­ti­cu­lier sym­bo­lise l’équi­libre : le di­lemme du pri­son­nier. John Nash a uti­li­sé l’al­gèbre et les chiffres pour dé­fi­nir cette si­tua­tion dans un do­cu­ment plus im­por­tant pu­blié en 1951, mais la ver­sion fa­mi­lière aux étu­diants en éco­no­mie est tout aus­si cap­ti­vante. (Al­bert Tu­cker, le di­rec­teur de thèse de John Nash, l’avait pris pour une pré­sen­ta­tion de­vant des psy­cho­logues.) Deux condam­nés dé­te­nus dans des cel­lules sé­pa­rées sont in­quiets, ils ont re­çu cha­cun la même offre du pro­cu­reur du dis­trict. S’ils avouent tous deux un as­sas­si­nat, ils se­ront condam­nés à dix ans de pri­son. Si l’un n’avoue rien mais que l’autre le dé­nonce, le mou­chard se­ra ré­com­pen­sé, et son com­plice se­ra condam­né à per­pé­tui­té. Si au­cun n’avoue, ils au­ront une condam­na­tion mi­neure et un an ferme. Il n’y a qu’une seule so­lu­tion au di­lemme du pri­son­nier de l’équi­libre de Nash : les deux avouent. L’aveu est la meilleure ré­ponse à la stra­té­gie de l’autre. Puisque l’autre peut avoir cra­ché le mor­ceau, avouer évite une peine per­pé­tuelle. Le mal­heur est que s’ils pou­vaient trou­ver un moyen de se co­or­don­ner pour ne rien dire, la so­lu­tion se­rait meilleure pour cha­cun. L’exemple dé­montre que les foules peuvent être stu­pides mais aus­si rai­son­nables ; la meilleure so­lu­tion pour l’in­di­vi­du peut être dé­sas­treuse pour le groupe. Ce tra­gique ré­sul­tat est trop com­mun dans le monde réel. Libres de piller la mer, les in­di­vi­dus pêchent plus que ce qui est meilleur pour le groupe, épui­sant ain­si les stocks de pois­sons. Les em­ployés qui, pour im­pres­sion­ner leur pa­tron, res­tent plus long­temps au bu­reau, poussent leurs col­lègues à l’épui­se­ment. Les banques sont in­ci­tées à prê­ter da­van­tage plu­tôt que de ne rien prê­ter lorsque les prix de l’im­mo­bi­lier montent en flèche.

La dif­fi­cul­té du groupe

L’équi­libre de Nash a per­mis aux éco­no­mistes de com­prendre com­ment l’au­to-amé­lio­ra­tion des in­di­vi­dus peut conduire à l’au­to-mu­ti­la­tion du groupe. Mieux en­core, il leur a per­mis de ré­soudre le pro­blème : ils de­vaient juste s’as­su­rer que chaque in­di­vi­du soit face aux meilleures mo­ti­va­tions pos­sibles. Si les choses tour­naient quand même mal – par exemple des pa­rents ne fai­sant pas vac­ci­ner leurs en­fants contre la rou­geole –, ce se­rait donc que les gens n’agissent pas dans leur propre in­té­rêt. Dans de tels cas, le dé­fi de la po­li­tique pu­blique se­rait l’in­for­ma­tion.

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