17- Das re­gel­mä­ßi­ge Eck

Das al­te Jahr geht, das neue kommt. Aus 6 wird 7. Wir ha­ben auf 17 er­wei­tert. Und wir ha­ben Hei­ner Platz­be­cker, frü­her Ma­the-Leh­rer am Gym­na­si­um Kor­schen­broich, ge­be­ten, sich mit der 17 zu be­schäf­ti­gen. Da­bei ist er auf ein ma­the­ma­ti­sches Husa­ren­stück des

Rheinische Post Moenchengladbach - - LOKALES - VON HEI­NER PLATZ­BE­CKER

Was ha­ben ein fünf­ecki­ger Weih­nachts­stern und Herr Gauß ge­mein? Bei­de ver­bin­det ei­ne der auf­re­gends­ten Ent­de­ckun­gen der Ma­the­ma­tik­ge­schich­te: die Kon­struk­ti­on des re­gel­mä­ßi­gen 17- Ecks durch Carl Fried­rich Gauß. In sei­nem Kult­buch „Un­ter­su­chun­gen über hö­he­re Arith­me­tik“schreibt Gauß im Jah­re 1801: „Es ist si­cher­lich sehr merk­wür­dig, dass, wäh­rend schon zu Eu­klids Zei­ten die geo­me­tri­sche Teil­bar­keit des Krei­ses in drei und fünf Tei­le be­kannt war, die­sen Ent­de­ckun­gen im Ver­lauf von 2000 Jah­ren nichts hin­zu­ge­fügt wor­den ist.“

In Eu­klids Ele­men­ten (ca.300 v.Chr.) und auch bei Pto­le­mai­os fin­det man raf­fi­nier­te Kon­struk­tio­nen von re­gel­mä­ßi­gen Drei-, Fünf- und Fünf­zehne­cken. Al­lein – kei­ne an­de­ren re­gel­mä­ßi­gen n-Ecke wer­den bei den „Grie­chen“und in den fol­gen­den zwei Jahr­tau­sen­den un­ter­sucht. Die „Grie­chen“konn­ten re­gel­mä­ßi­ge Fünf­ecks­ter­ne bas­teln, aber z.B. kein re­gel­mä­ßi­ges Sieb­zehneck mit Zir­kel und Li­ne­al kon­stru­ie­ren.

Die ge­nia­le Idee, die der jun­ge Gauss am 30. März 1796 in sein Ta­ge­buch ein­trug, soll am re­gel­mä­ßi­gen Fünf­eck er­läu­tert wer­den:

Da das Fünf­eck re­gel­mä­ßig ist, kann man 5 gleich lan­ge Pfei­le vom Mit­tel­punkt M zu den 5 Eck­punk­ten ein­zeich­nen. Wenn man jetzt die­se fünf Pfei­le an­ein­an­der­setzt (ad­diert), er­hält man den Null­pfeil. Phy­si­ka­lisch bleibt der Punkt M in Ru­he, wenn fünf gleich gro­ße Kräf­te in die ein­ge­zeich­ne­ten Pfeil­rich­tun­gen wir­ken. Da­mit gilt 1 + z + z2 + z3 + z4 = 0.

Die­se Glei­chung kann man lö­sen. Setzt man z4 = 1/z und z3 = 1/ z2, so gilt (Vor­sicht!) (z + 1/z) + (z + 1/z) - 1 = 0. Dies ist ei­ne qua­dra­ti­sche Glei­chung mit der Lö­sung z + 1/z = z + z4 = x mit

Jetzt kommt der ent­schei­den­de Punkt: Qua­drat­wur­zeln kann man zum Bei­spiel nach dem Satz des Pytha­go­ras mit Zir­kel und Li­ne­al kon­stru­ie­ren! Al­so kann im obi­gen Fünf­eck die Stre­cke MX kon­stru­iert wer­den. Das Lot im Mit­tel­punkt die­ser Stre­cke schnei­det den Kreis in den „Eck­punk­ten“z und z4.

Tei­le die­ser Lö­sung zum re­gel­mä­ßi­gen Fünf­eck kann man auf das re­gel­mä­ßi­ge Sieb­zehneck über­tra­gen. Gauß legt den Eck­punkt 1 auf die xAch­se. Die ver­blei­ben­den 16 Eck­punk­te (beim Fünf­eck sind dies 4) wer­den so in zwei Grup­pen zu­sam­men­ge­fasst, dass die Sum­men und die Pro­duk­te die­ser Zah­len be­stimm­te al­ge­brai­sche Ge­set­ze er­fül­len. Beim Fünf­eck bil­den z und z4 so­wie z2 und z3 je­weils ei­ne Grup­pe. Jetzt un­ter­teilt Gauß je­de Grup­pe mit 8 Eck­punk­ten ge­eig­net in zwei Grup­pen zu je 4 Wer­ten. Die­se Vie­rer­grup­pen un­ter­teilt er wie beim Fünf­eck in pas­sen­de Zwei­er­grup­pen. Am En­de er­hält er wie­der ei­ne qua­dra­ti­sche Glei­chung für x = z + z16. Na ja – und jetzt wird es rich­tig wild: Aus den obi­gen Über­le­gun­gen er­hält man für x den fol­gen­den Term:

Es tre­ten nur qua­dra­ti­sche Wur­zeln auf. Al­so ist die „wil­de Zahl“x prin­zi­pi­ell kon­stru­ier­bar. Hier­aus er­gibt sich für die Sei­ten­län­ge s der Term

Al­so ist auch s kon­stru­ier­bar. Für In­si­der: x ist der Ko­si­nus von 360°/17 (0.93247…) und s die Sei­ten­län­ge des re­gel­mä­ßi­gen 17-Ecks im Ein­heits­kreis (0.36749…). Gauß hat die Grund­la­gen ent­deckt! Kon­kre­te Kon­struk­tio­nen hat er an­de­ren Ma­the­ma­ti­kern über­las­sen. Zum Wei­ter­le­sen: www.ma­the­ma­ti­k­olym­pia­den.de/pu­b­lic/17_257_65537 und 2. Os­ter­mann / Wan­ner: Geo­me­try by ist His­to­ry, S.241 ff..

FO­TO: PLATZ­BE­CKER

Ein fünf­ecki­ger Stern: Wer ihn be­rech­nen will, darf sich ger­ne an den For­meln ver­su­chen, die Hei­ner Platz­be­cker hier er­läu­tert.

AR­CHIV: BUN­DES­BANK

Der Herr Gauß, als er nicht mehr so jung war. Ge­ra­de Äl­te­re er­in­nern sich viel­leicht noch an ihn: Er zier­te einst den 10-Mark-Schein.

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