در هزارتوی بردبار خمینهها و خطوط

از «مریم میرزاخانی» چه در خاطر تاریخ علم خواهد ماند؟

Shargh - - علم - احسان سنایی

«ورنر هایزنبرگ»، فیزیکدان سرشــناس آلمانی، در کتاب «فیزیک و فلســفه» اظهار میکند: «باید این را به خاطر داشــت که آنچه ما مشــاهده میکنیم نفْس طبیعت نیســت، بلکه طبیعت آنچنان اســت که در معرض شــیوه پرسشگری ما واقع شــده اســت.» معنای این گفته «هایزنبرگ» در پرتو دســتاوردهای او و دیگر بنیانگذاران فیزیک جدید ملموستر میشــود، اما بــرای درک دلالتهای عمیقتــر و حقیقت نهفته در آن از زبان یــک فیزیکدان، ناگزیر از مراجعه به یک قلمروی دیگر نیز هســتیم؛ قلمرویی که در آن شــیوههای پرسشگری همواره از قیــد طبیعت آزاد بودهانــد: ریاضیات محض. در اینصورت اســت که جانمایی میراث ریاضیدانی همچون «مریم میرزاخانی» نیز در بســتر تاریخ علم، به عنوان پرسشگر خستگیناپذیری که به پاسخهایی درخشان رسیده بود، دلیلی روشنتر از ملیت، جنسیت، عقبه تحصیلی و حتی افتخارات حرفهای او را برای درک ضایعه فقداناش در اختیار ما معاصرین علم جدید قرار خواهد داد. در این مقاله خواهم کوشــید ابتدا روایتی از نقش ریاضیات و شــهود هندســی در درک زوایای پنهان واقعیت ارائه کنم و بدینوسیله پرتویی بر اهمیت دستاوردهای «میرزاخانی» به عنوان ریاضیدانی در ردیف نامآوران تاریخ این رشته بیفکنم.

از فیزیک به ریاضیات: درنگی تاریخی

ســه دهه پیش از آنکه «هایزنبرگ» جمله یادشــده در پیشانی مقاله حاضر را در جریان درسگفتارهای دانشــگاه سنتاندروز اسکاتلند ایراد کند، انتظار بیان این دیــدگاه از او بعید مینمود. در آن مقطع، او به عنوان دانشــجوی جوانی از خیل علاقهمندان به فلســفه اثباتگرایی )که ملاک صدق یک گزاره را تنها اثبات تجربی آن میداند(، مشغول تدوین یک توصیف ریاضی از رفتار اتم بود که فقط به متغیرهای مشاهدهپذیر آن اســتناد میکرد؛ متغیرهایی که امکان محاسبه و اثباتشان وجود دارد. سالها بود که فیزیکدانان به رابطه بین درخشندگی نسبی خطوط طیفی یک اتم و احتمال حضور الکترونهایش در فواصلی مشــخص از هسته آن پی برده بودند، اما از آن پیشتر نمیشد رفت. «هایزنبرگ» مصمم بود از طریق بازتعریف این رابطه بر حســب متغیرهای مشــاهدهپذیر اتم و همچنین اصل پایســتگی انرژی، این بنبســت را پشــت ســر بگذارد. در فیزیک کلاسیک، مقــدار انرژیای کــه در جریان گذار یک الکتــرون از وضعیتی به وضعیت دیگر گســیل میشود، با مجذور موقعیت الکترون در اطراف هسته متناسب است؛ اما از آنجاکه نزد «هایزنبرگ»، موقعیت دقیق الکترون یک متغیر غیرمشــاهدهپذیر محسوب میشد، او این متغیر دقیق را با متغیر احتمالاتی «شانس گذار الکترون از وضعیــت اولیه به وضعیت نهایی» جایگزین کرد. اینجا بود که بنبســتی تازه رخ نمود: گذار یک الکتــرون از وضعیت اولیه به وضعیت نهایی لزوما طی یک مرحله رخ نمیدهد. ممکن است الکترون ابتدا به یک وضعیت میانه )موسوم به وضعیت شبهپایدار( وارد شود و سپس به وضعیت نهایی خود برسد. اما جمعزدن احتمال گذار الکترون از وضعیت اولیه به وضعیت شبهپایدار و سپس وضعیت شــبهپایدار به وضعیت نهایی و سپس مجذور گرفتن از این مقدار، جوابگو نبود. طبق اصل پایســتگی انرژی، مقدار انرژی گسیلشــده از اتم میبایست با حاصل تفریــق انرژی نهایی اتم از انرژی اولیه آن برابر باشــد؛ اما عــددی که از مجذور گرفتن حاصلجمع احتمالات ناظر بر گذار الکترون به وضعیتهای شــبهپایدار و سپس پایدار به دست میآمد، با حاصل تفریق انرژی نهایی اتم از انرژی اولیهاش برابر نبود. «هایزنبرگ» کوشــید از مســیر برهان خُلف به مســئله ورود کند: او با در اختیارداشــتن مقدار انرژیهایی که از وضعیتهای مختلفِ برانگیختگی اتم هیدروژن گســیل میشوند، کوشــید قواعد ریاضی توصیف خود را چنان آرایش بدهد که حاصلجمع احتمالات ناظر بر گذار الکترون به این وضعیتها، با مقدار انرژی نهایی اتم برابر به دســت آید. معلوم شــد کــه دراینصورت، ترتیب ضرب دو متغیــر احتمالاتی )اینکه مثلا a در b ضرب بشــود، یــا b در a) مهم خواهد بــود؛ چراکه هرکدام، مقدار انرژی متفاوتی به دســت میداد. به این میمانَد که در ترتیب مراحل پختن کیک، ابتدا تخممرغ را به بیکینگپودر بیفزاییم و ســپس کیک را بپزیم، یا ابتدا بیکینگپودر را به تخممرغ بیفزاییم و ســپس کیک را بپزیم. در هر مــورد، نتیجه متفاوت خواهد بود. و درخصــوص توصیف «هایزنبرگ» از رفتار اتم، فقط یکی از این موارد به نتیجه مطلوب میانجامید. «هایزنبرگ» نتایج بررسی خود را برای همکار فیزیکدانش «ولفگانگ پائولی» و مافوق ریاضیدانش در دانشگاه گوتینگن، «ماکس بورن» ارسال کرد. ابتکار «هایزنبرگ» در معرفی این رابطه بهاصطلاح «غیرتراگذری» در حاصلضرب متغیرهای احتمالاتی رفتار اتم، ابتدا توجه بورن را به خــود جلب کرد. او بعدها در کتاب «فیزیک در زمانه من» نوشت: «... قاعده ضرب هایزنبرگ آشفتهخاطرم کرد، و پس از یک هفته فکرکردن و کوشــیدن، ناگهان به یاد یک نظریه جبری افتادم که از استادم ... در ]دانشگاه[ وروتســواف ]لهســتان[ آموخته بودم. چنین چندجملهایهای درجهدومی نزد ریاضیدانان کاملا آشناست، و ماتریس خوانده میشوند، و قواعد ضربی مختص خود را دارند.» مقاله «هایزنبرگ»، «پائولی» را نیز به همان اندازه مشــعوف کرد. «پائولــی» در نامهای به فیزیکدان آلمانی «رالف کرونیگ» نوشــت: «اگرچه این پاســخی به معما نیســت، اما مطمئنم که بار دیگر امکان پیشروی فراهم آمده اســت.» همزمان، «بــورن» در نامهای به «پائولی» از او خواســت تــا به اتفاق «هایزنبرگ»، ســطح ریاضیات مقالهاش را بهبود بخشــند؛ اما «پائولی» که خود همچون «هایزنبرگ» فیزیکدانی اثباتگرا بود و از پیچیدهســازی صورت ریاضی مسائل اجتناب میکرد، درخواست «بورن» را رد کرد و در پاسخ نوشت: «میدانم که تو شــیفته فرمالیســم خســتهکننده و پیچیدهای. فقط میخواهی ایدههای فیزیکــی هایزنبرگ را بــا ریاضیات بیثمرت آلوده کنــی.» بنابراین «بورن» ناگزیر از دســتیار ریاضیدان خود «پاســکال یوردان» دعوت به همکاری کرد و آن دو به اتفاق یکدیگر، مبانی ریاضیاتی مدل «هایزنبرگ» را در مقالهای مربوط به سپتامبر ۱9۲4 ارتقاء بخشــیدند. به مجرد انتشار مقاله بورن-یوردان، «هایزنبرگ» اعتماد ازدسترفته خود را به ریاضیات محض بازیافت و در نامهای دوستانه به «پائولی» نوشــت: «... مســلما میپذیری که ما عمدا فیزیک را خراب نمیکنیم. اگر از این مینالی که چقدر بیشــعوریم چون هنوز به هیچ چیز جدیدی از حیث فیزیکی نرســیدهایم، احتمالا حق با توست. اما در اینصورت تو هم همانقدر بیشعوری؛ چون تو هم بــه جایی نرســیدهای.» «هایزنبرگ» به جمع «بــورن» و «یوردان» پیوست تا چندی بعد، بنیان «مکانیک ماتریسی» نهاده شود؛ مدلی ریاضیاتی برای توصیف رفتار اتم که دو سال بعد با ادغام در «مکانیک موجی»، به تدوین نظریه دورانســاز کوانتوم انجامید. تا پیش از این دســتاورد، ماتریس صرفا ابزاری برای حل همزمــان چند معادله و یک ترفند ریاضیاتی به شــمار میرفت. کنجکاوی محض ریاضیدانان در طول چندین قرن عاقبت از این ابزار انتزاعی چراغی ساخت که فقط از طریق همان میشــد به دنیای درون اتم وارد شد. اما نمونهها به تنها همین مورد محدود نمیشــود و باید اذعان داشــت این مــوارد آنچنان در تاریخ علم فراواناند که نمیتوان بهیقین گفت آیا پیشیجستن ایدههای ریاضیدانان از تصورات فیزیکدانان در درک سازوکار جهان یک قاعده است یا استثناء. برای ورود به حتی آستانه جهان ایدههای ریاضیدانی همچون «میرزاخانی»، ضروری است تا به شرح دستکم یک مورد تاریخی دیگر نیز بپردازیم: تولد شاخه توپولوژی.

از ریاضیات به شهود تجربی: تولد شاخه توپولوژی

پیشینه شــاخه توپولوژی به سؤالی ســاده راجع به موقعیت هفت پل شهر کونیگســبرک )کالینینگــراد امــروز( در امپراطوری پروس مربوط میشــود. این شــهر به واسطه مســیر عبور رودخانه پرگِل، به چهار خشکی مجزا تقسیم شده اســت، که در آن دوران با هفت پل به یکدیگر متصل شده بودند. پیادهرویهای معمول یکشنبههای اهالی کونیگســبرگ در سطح شهر و عبور پیاپیشان از این پلها، امروزه برای توجیه این ســؤال ساده آن موقعشــان کافی مینماید که: آیا میتوان مســیری را تعریف کرد کــه در جریان آن، از طریق هــر هفت پل، از هر چهار خشکی شهر عبور کرد و در عین حال بیش از یک بار از آن پلها نگذشت؟ پاسخ این پرســش را عاقبت «لئونارد اویلر»، ریاضیدان سرشناس قرن هجدهم، در شــرایطی مطرح ساخت که تا پیش از آن نمیشد راهحلی را برای آن متصور بود. «اویلر» متوجه شــد که گرچه این مسئله ذاتا یک مسئله هندسی است، اما از یک لحاظ با مســائل متعارف هندســه اقلیدســی تفاوت دارد: اینکه در آن از مسافتها صرفنظر میشــود. مهم نیست که ابعاد آن چهار خشکی یا طول آن هفت پل چقدر باشــد، مهــم نحوه اتصال آنها به یکدیگر اســت. پس ابتدا باید صورتمسئله را از مؤلفههای مربوط به مسافت زدود؛ اقدامی که گرچه تا به آن مقطع در بین ریاضیدانان ســابقهای نداشت، اما نیمقرن پیشتر از آن، فیلسوف و ریاضیدان آلمانی، «گوتفرید لایبنیتس» به امکانپذیریاش اشــاره کرده بود. «اویلر» از طریق این اســتدلال ثابت کرد کــه نمیتوان طی یک راهپیمایی واحد، با تنها یک بار گذشــتن از هر هفت پل کونیگســبرگ، از هر چهار خشکی آن عبور کرد. او برای اثبات این اســتدلال، تمام مؤلفههای مسئله را به هفت «رشته» (به نمایندگی از هفت پل( و چهار «گره» (به نمایندگی از چهار خشکی( ساده کرد و به نموداري که در صفحه ميبینید، رســید. از این نمودار امروزه تحت عنوان یک «گراف» یاد میشــود. تنها مؤلفهای که در این نمودار اهمیت دارد، اتصالات آن اســت؛ بهطوریکه موقعیت گرهها و طول و شکل رشتهها در این بین هیچ تأثیری بر اصل مسئله نخواهد داشت. به عبارت دیگر، این نمودار را میتوان به بینهایت حالت دیگر نیز ترســیم کرد و از منظر توپولوژیک کماکان یک شکل واحد داشت. چنانچه بخواهیم از هر چهار خشکی با عبور یکباره از هر هفت پل بگذریم، طبق این نمودار باید تعداد رشــتههای عبوری از هر گره )یا به عبارت امروزی، «درجه گره») عددی زوج باشــد )نیمی از آنها برای ورود به خشکی و نیمی از آنها برای خروج از آن(. این در حالی اســت که درجات هر چهار گره در گراف فوق، عددی فرد است. و از آنجاکه در یک مسیر پیادهروی نهایتا دو گره در نقش نقاط شروع و پایان مسیر ظاهر میشوند، گزاره «عبور از هر چهار خشکی از طریق عبور یکباره از هر هفت پل»، گزارهای تناقضآمیز خواهد بود. مســئله هفت پل کونیگسبرگ از این لحاظ اغواکننده اســت که پیچیدگی ظاهریاش ما را اشتباها به این تصور وامیدارد که «شــاید» بتوان از طریق آزمون و خطا به مســیر مطلوب دست پیدا کرد. و توپولوژی راهی برای زدودن همین پیچیدگیهای گمراهکننده است؛ چراکه از منظر توپولوژیک، کلیه مســیرهای ممکن راهپیمایی که از هر چهار خشکی و هر هفت پل بگذرد، مســیرهایی اصطلاحا «همریخت» هستند و به همین دلیل هیچکدامشــان قادر به برآوردن شرط صورتمســئله نخواهند بود. مثلا حروف همریخت الفبای انگلیسی را میتوان بر حسب تعداد «حفره»ها و «دُم»هایشان در این دستهها جا داد: ‪R A، ۱)‬ (یک حفره، دو دم( ‪B ۲)‬ (دو حفره( ‪Z،W،V،U،S،N،M،L،J،I،G،C ۳)‬ (یک دم( ‪O، D 4)‬ (یک حفره( ‪Y،T،F،E 5)‬ (سه دم( ‪X،K،H ۶)‬ (چهار دم( ‪Q،P ۷)‬ (یک حفره، یک دم( به عنوان نمونه، حروف Aو Rرا میتوان صرفا با خمکردنشــان به یکدیگر مبــدل کرد. حروف D و Oرا نیز به همین ترتیب. اما نمیتوان با صِرف خمکردن حــرف A، آن را به شــکل حــرف O درآورد. چنین کاری مســتلزم برشدادن و چســباندن بخشهایی از حرف A اســت. مادامکه برای تغییر حالت دو شــکل احتیاجی به برشدادن یا چســباندن اجزایشــان نباشــد، آن دو شکل از حیث توپولوژیک همریخت هستند؛ در غیراینصورت، آن دو شکل اصطلاحا از دو «گونه» توپولوژیــک متفاوتاند. یعنی از منظر توپولوژیک، الفبای انگلیســی تنها هفت حرف دارد – یا به عبارت بهتر، از هفت «گونه» تشکیل شده است.

از شهود تجربی به شهود هندسی: روزنهای به جهان «میرزاخانی»

شهود تجربی، قرنها پیش از آنکه زمینه را برای تولد شاخه توپولوژی فراهم کند، به تعریف مبادی هندســه اقلیدســی پرداخته بود. پیرو این شهود، «فضا» در این هندســه به عنوان امتداد صفحه در راســتای ســه بعد تعریف میشود، «صفحه» به عنوان امتداد خط در راستای دو بعد، و «خط» به عنوان امتداد نقطه در راســتای یک بعد. بر همین مبنا، اقلیدس به تعریف پنج اصل موضوعه برای هندســه خود پرداخت. اما ریاضیدانان متأخرتــر )از جمله عمر خیام( پی بردند کــه از بین اصول پنجگانه اقلیدس، اصل پنجم دچار یک خطای منطقی اســت. مطابق این اصل )موســوم به «اصل تــوازی»،) چنانچه دو خط دلخواه را با یک خط سوم قطع کنیم، در آن سمتی که مجموع زوایای داخلی کمتر از مجموع دو زاویه قائمه است، دو خط در ادامهْ یکدیگر را قطع خواهند کرد. «خیام» در رساله «فی شرح ما أشــکل من مصادرات کتاب اقلیدس» میپرسد )ترجمه از عربی(: «چه ارتباطی اســت بین هندسه، حرکت و آنچه به منزله حرکت فهم میشود؟ طبق تلقی علماء، شــکی نیســت که یک خط فقط بر روی یک صفحه میتواند وجود داشــته باشــد، و یک صفحه نیــز فقط در یک فضا؛ یعنــی یک خط فقط میتوانــد در یک فضا واقع شــود و نمیتواند مقدم بر یک صفحه باشــد. با این حساب، اگر ]این خط[ از موضوع خود انتزاع یابد، چگونه میتواند حرکت کند؟» به عبارت دیگر، نمیتوان پیشــاپیش با اســتناد به مفهوم صفحه )که به عنوان امتداد خط در دو بعد تعریف میشود(، اصلی را راجع به خط تعریف کرد؛ چراکه در اینصورت یک قضیه خواهیم داشت، نه اصل. از همینرو جمعی از ریاضیدانان اوایل قرن نوزدهم اصل پنجم را به عنوان یک گزاره زائد حذف کردند و به ساحت هندسه آزادی بیشتری از آنچه صرفا شهود متعارف حکم میکرد عطا کردند. در این «هندسه نااقلیدسی»، اگرچه فضا و صفحه همچنان به عنوان امتداد صفحه و خط تعریف میشــوند، اما میتوان به تعریف صفحــات و فضاهای دیگری با انحناهای متفاوت نیز پرداخت. در اینصورت، فضاهای نااقلیدسی به منزله امتداد صفحاتی از یک «گونه» توپولوژیک تعریف خواهند شــد. این صفحات، پیرو نام ریاضیدان آلمانی برنهارت ریمان، اصطلاحا «ســطوح ریمان» خوانده میشوند. پیرو تشــبیهات بخش پیشین مقاله، میتوان ســطوح ریمان را بر حسب تعداد «دسته»هایشان گونهبندی کرد: مثلا یک کُره، فاقد دسته است و بنابراین از سطح آن با عنوان یک سطح ریمان با گونه صفر یاد میشود. سطح یک فنجان )با یک دســته(، یک ســطح ریمان با گونه ۱ اســت و ســطح دو دونات بههمچسبیده )نظیر علامت بینهایت(، یک سطح ریمان با گونه۲ (در اصطلاح ریاضی، به سطوح ریمان با گونه بیش از ۱ اصطلاحا «سطوح هذلولی» گفته میشــود.( یک ســطح ریمان میتواند به بینهایت شکل همریخت تغییر حالت بدهد، بهطوریکه تغییر حالت یک ســطح ریمان با گونه g، بر پارامتر مبتنی است. به عبارت دیگر، هر سطح ریمان با گونه g، در یک فضای بُعدی تغییر حالت میدهد، که از آن با عنوان «فضای مدولی» یاد میشود. درک ساختار کلی یک فضای مدولی، از دشــوارترین مســائل ریاضیات جدید به شمار میرود. ریاضیدانان از مدتها پیش میدانستهاند که بین برخی خواص سطوح ریمان و برخی توصیفات از دیگر رشتههای ریاضیات، ارتباطاتی گنگ و مبهم وجود دارد. یکــی از این خواص به تعداد اصطلاحا «خطوط ژئودزیک بســته»ای که بر روی این سطوح واقع شدهاند مربوط میشــود، خطوطی که نمیتوان طولشان را با تغییر حالت صفحه کوتاهتر کرد. حدود نیمقرن است که میدانیم تعداد خطوط ژئودزیک بستهی کوتاهتر از یک مقدار دلخواه )گیریم L) بر روی یک سطح ریمان، به ازای افزایش L، با الگویــی خاص افزایش مییابد. این الگو به طرز عجیبی با الگوی افزایش تعــداد اعداد اولِ کمتر از یک عدد صحیح دلخواه )گیریم L،) به ازای افزایش L همارز اســت. به همین دلیل از این قضیه هندســی تحت عنوان «قضیه اعداد اول برای خطوط ژئودزیک» یاد میشود؛ عبارتی ظاهرا نامتجانس که بر دو شــاخه متفاوت از ریاضیات دلالت دارد: هندسه ریمانی و نظریه اعداد. «مریم میرزاخانی» طی تدوین رساله دکتری خود )مربوط به سال ۲004( کوشید معادل قضیه فوق را برای نوع خاصی از خطوط ژئودزیک بســته بر روی سطوح هذلولی استخراج کند: خطوط ژئودزیک بستهای که در هیچ نقطهای خود را قطع نمیکنند. از این خطوط تحت عنوان «خطوط ژئودزیک بسته ساده» یاد میشود. این کنجکاوی ساده، رفتهرفته به دستاوردی بزرگ انجامید. «میرزاخانی» دریافت که تعداد خطوط ژئودزیک بســته ســاده با طول L بر روی یک ســطح هذلولی، به ازای افزایش L، با نســبتی بســیار متفاوت )از مرتبه L به توان ( افزایش مییابد؛ نســبتی که میتوانست پلی برای کســب یک چشمانداز بهتر از خواص فضاهای مدولی باشــد. «میرزاخانی» از همین طریق، موفق به استخراج روشی برای محاســبه حجم فضاهای مدولی در اطراف سطوح ریمان شد؛ اقدامی که تا پیش از آن، حتی تصور آن نیز دشــوار مینمود. اما این شروع روندی بود که در یک دهه آتی، به دستاوردهایی ارزنده برای «میرزاخانی» و همکاراناش انجامید. تلاشهای او در جهت تعمیــم رهیافت فوق، به برقراری پیوندهایی غیرمنتظره بین دیگر شــاخههای ریاضیات نیز انجامید؛ از جملــه ارائه اثباتی متفاوت برای «حدس ویتن» (مبحثی در هندســه جبری(، اثبــات تناظر بین «حدس اوپنهایم» )مبحثــی در نظریه اعداد( و مســئله بیلیــارد در چندضلعیهــای محدب )در چارچوب مبحث سیستمهای دینامیکی(، تبیین رفتار «شار زلزله ترستن» (مبحثی در هندسه هذلولی(، و تعمیم نظریه راتنر )مبحثی در نظریه ارگودیک(. صرفنظر از پیچیدگی عناویــن و غرابت مباحث فوق، موفقیت «میرزاخانی» در پیونددادن این مباحث پراکنده، تلویحا بر اهمیت بیشتر هندسه هذلولی از یک حالت صرفا خاص از هندسه ریمانی دلالت داشته و دارد و نوید برقراری پیوندهایی بیشتر بین شــاخههای مختلف ریاضیات را میدهد؛ هندسهای که چهبسا در آینده ظرفیت ارائه تفاســیر فیزیکی نیز از آن فراهم آیــد و از زوایایی نادیده از رفتار جهان پرده برگیرد. سال گذشــته، جایزه نوبل فیزیک به کشف «حالتهای توپولوژیکی ماده و تغییر حالتهایشــان» اختصاص یافت. اما ۲80 ســال پیــش از آن، «اویلر» در مقالهای راجع به شــاخه نوظهور توپولوژی )که در آن مقطع «هندســه مکان» نامیده میشــد( نوشــته بود: «هنوز به طرز مشخصی روشــن نیست که چهنوع مســئلههایی به این هندســه مکان ارتباط پیدا میکنند یا باید از چه راهکارهایی نسبت به حلشان اقدام کرد». همین توصیف امروزه بر دستاوردهای «میرزاخانی» نیز مصداق پیدا میکند؛ ریاضیدانی که با طرح پرسشهای درخشان، قلمروهای سابقا گنگ ریاضیات را به ارائه پاسخهایی غیرمنتظره واداشت.

Newspapers in Persian

Newspapers from Iran

© PressReader. All rights reserved.