Apostilas Concursos Públicos - - MA­TE­MÁ­TI­CA -

A ma­te­má­ti­ca pro­cu­ra um pa­drão pa­ra for­mu­lar de­du­ções ri­go­ro­sas e es­ta­be­le­cer re­sul­ta­dos. Es­tá pre­sen­te um mui­tas áre­as do co­nhe­ci­men­to co­mo en­ge­nha­ria, me­di­ci­na, fí­si­ca, quí­mi­ca, bi­o­lo­gia, e ci­ên­ci­as so­ci­ais.

Se se­pa­rar­mos o nú­me­ro 25.864.179, um a um, no­ta­mos que a po­si­ção de ca­da al­ga­ris­mo é in­di­ca­da por uma or­dem, nu­me­ra­da da di­rei­ta pa­ra a es­quer­da e ca­da gru­po de três or­dens for­ma uma clas­se:

Da ne­ces­si­da­de de con­tar coi­sas, os hu­ma­nos in­ven­ta­ram os números. O nú­me­ro nos dá a ideia de quan­ti­da­de de ele­men­tos e seu sím­bo­lo ou nu­me­ral é usa­do pa­ra re­pre­sen­tar quan­ti­da­de, gran­de­za ou po­si­ção. Por­tan­to:

Nú­me­ro: é a ideia de quan­ti­da­de

Nu­me­ral: é o sím­bo­lo usa­do pa­ra re­pre­sen­tar es­ta quan­ti­da­de Os al­ga­ris­mos in­do-ará­bi­cos são os mais usa­dos e for­mam o Sis­te­ma de Nu­me­ra­ção De­ci­mal (dez al­ga­ris­mos: 0 ~ 9).

A operação de mul­ti­pli­ca­ção é uma adi­ção de par­ce­las iguais pois re­pe­te o pri­mei­ro nú­me­ro co­mo par­ce­la tan­tas ve­zes qu­an­tas fo­rem as uni­da­des do se­gun­do e vi­ce-ver­sa. Veja:

É re­pre­sen­ta­da com o si­nal “x” (ve­zes) ou " . " (pon­to). O mul­ti­pli­can­do e mul­ti­pli­ca­dor são cha­ma­dos fa­to­res, o re­sul­ta­do: pro­du­to.

Se mul­ti­pli­car­mos qual­quer nú­me­ro por ze­ro, seu pro­du­to se­rá sem­pre ze­ro: 8 x 0 = 0. Se mul­ti­pli­car­mos qual­quer nú­me­ro por um, seu pro­du­to se­rá ele mes­mo: 9 x 1 = 9.

A mul­ti­pli­ca­ção ocor­re na se­guin­te sequên­cia: uni­da­des (U); de­ze­nas (D); cen­te­nas (C). Da mes­ma ma­nei­ra que na Adi­ção, a Mul­ti­pli­ca­ção é fei­ta da di­rei­ta pa­ra a es­quer­da, mul­ti­pli­can­do as or­dens: uni­da­de, de­ze­na, cen­te­na, etc.

Usa­mos a Mul­ti­pli­ca­ção “com re­ser­va” quan­do os números ul­tra­pas­sam suas or­dens, ou se­ja, o que era ape­nas uni­da­de, mul­ti­pli­can­do-se, vi­ra de­ze­na e uni­da­de. O mes­mo ocor­re pa­ra ou­tras or­dens.

Na mul­ti­pli­ca­ção com mais de um mul­ti­pli­ca­dor, acha­mos o 1º pro­du­to par­ci­al pe­la mul­ti­pli­ca­ção de 243 por 4 = 972. Acha­mos o 2º pro­du­to par­ci­al pe­la mul­ti­pli­ca­ção de 243 por 1 = 243 e seu re­sul­ta­do é afas­ta­do uma ca­sa pa­ra a es­quer­da ali­nha­do abai­xo de seu mul­ti­pli­ca­dor. Os dois pro­du­tos (1º e 2º) de­vem ser so­ma­dos res­pei­tan­do suas po­si­ções.

Mul­ti­pli­can­do um nú­me­ro por 10, acres­cen­te um ze­ro à di­re­ta des­se nú­me­ro, veja: 5 x 10 = 50.

Mul­ti­pli­can­do um nú­me­ro por 100, acres­cen­te dois ze­ros à di­re­ta des­se nú­me­ro, veja: 7 x 100 = 700. Mul­ti­pli­can­do um nú­me­ro por 1000, acres­cen­te três ze­ros à di­re­ta des­se nú­me­ro, veja: 4 x 1.000 = 4.000.

A operação de di­vi­são é quan­do se­pa­ra­mos uma quan­ti­da­de em par­tes iguais. O si­nal que re­pre­sen­ta a di­vi­são é o “÷ ” ou " : ". A for­ma mais tra­di­ci­o­nal da di­vi­são é co­lo­car os números em uma “cha­ve” que se­pa­ra os ele­men­tos, veja:

Se o re­sul­ta­do da sub­tra­ção é igual a ze­ro (res­to = 0), sig­ni­fi­ca que é uma di­vi­são exa­ta. Po­de­mos di­zer que 6 é di­vi­sí­vel por 2. Ve­ja­mos um nú­me­ro mai­or, com mais ca­sas de­ci­mais:

Per­ce­ba que, com mais al­ga­ris­mos no di­vi­den­do, te­mos que agru­par uma quan­ti­da­de mí­ni­ma de ca­sas de­ci­mais (da es­quer­da pa­ra a di­rei­ta) com­pa­tí­veis com a quan­ti­da­de de al­ga­ris­mos do di­vi­sor. No ca­so, não po­de­ría­mos agru­par 25 (25964) pois é me­nor que o di­vi­sor (34), por­tan­to agru­pa­mos 259 (25964) que per­mi­te a mul­ti­pli­ca­ção 34 x 7 = 238. Não ha­ven­do mais al­ga­ris­mos pa­ra “abai­xar” o quo­ci­en­te da di­vi­são 25964 ÷ 34 = 763 com res­to = 22. Por­tan­to é uma di­vi­são ine­xa­ta.

Exis­te uma sé­rie de re­gras prá­ti­cas pa­ra ve­ri­fi­car se um nú­me­ro é ou não múl­ti­plo de ou­tro, sem pre­ci­sar efe­tu­ar a di­vi­são de um pe­lo ou­tro, prin­ci­pal­men­te no ca­so de números gran­des co­mo o exem­plo anterior. Ser­ve pa­ra a di­vi­são exa­ta, ou se­ja, o res­to é ze­ro. Veja os cri­té­ri­os de di­vi­si­bi­li­da­de mais co­muns, um nú­me­ro é di­vi­sí­vel por:

25 Quan­do ter­mi­na em dois ze­ros ou quan­do o nú­me­ro for­ma­do pe­los dois úl­ti­mos al­ga­ris­mos da di­rei­ta é múl­ti­plo de 25

Uma vez com­pre­en­di­do as ope­ra­ções de adi­ção, sub­tra­ção, mul­ti­pli­ca­ção, di­vi­são e po­ten­ci­a­ção, po­de­mos apli­cá-las em con­jun­to em uma ex­pres­são arit­mé­ti­ca. Veja:

Em pri­mei­ro lu­gar, de­ve­mos re­sol­ver as mul­ti­pli­ca­ções e as di­vi­sões. Acha­do o re­sul­ta­do, de­ve­mos re­sol­ver as adi­ções e sub­tra­ções na or­dem que apa­re­cem. Veja um ca­so com pa­rên­te­ses:

Quan­do apa­re­ce pa­rên­te­ses em uma ex­pres­são, eles de­vem ser re­sol­vi­dos em pri­mei­ro lu­gar. De­pois se­gui­mos co­mo in­di­ca­do aci­ma: re­sol­ver mul­ti­pli­ca­ções, di­vi­sões e de­pois adi­ções e sub­tra­ções. Veja um ca­so com po­tên­ci­as:

Quan­do em uma ex­pres­são arit­mé­ti­ca apa­re­cem­po­tên­ci­as,elas­de­vem­ser­re­sol­vi­das­pri­mei­ro. De­pois se­gui­mos re­sol­ven­do as mul­ti­pli­ca­ções, di­vi­sões e, por úl­ti­mo, as adi­ções e sub­tra­ções.

Par: é aque­le que, quan­do di­vi­di­do por 2, tem co­mo res­to “ze­ro”. Exem­plo: 0, 2, 4, 6, 8 ou números ter­mi­na­dos por eles.

Im­par: é aque­le que, quan­do di­vi­di­do por 2, tem co­mo res­to “um”. Exem­plo: 1, 3, 5, 7, 9 ou números ter­mi­na­dos por eles.

Na­tu­ral: é aque­le pro­ve­ni­en­te do pro­ces­so de con­ta­gem. Exem­plo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

In­tei­ro: é o nú­me­ro na­tu­ral e seu opos­to, reu­ni­do ao ze­ro. O con­jun­to de números in­tei­ros é cha­ma­do de Z. Exem­plos: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

Pri­mo: é um nú­me­ro in­tei­ro que só po­de ser di­vi­di­do por ele mes­mo e pe­la uni­da­de (1). Exem­plos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37...

Fra­ci­o­ná­rio: é aque­le for­ma­do por uma ou vá­ri­as par­tes de um nú­me­ro in­tei­ro. Exem­plos: 1 , 2 , 9 , 6 , ...

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De­ci­mal: é aque­le for­ma­do por uma par­te in­tei­ra (an­tes da vír­gu­la) e uma par­te de­ci­mal (de­pois da vír­gu­la). Exem­plos: 0,9 , 2,5 , 3,158

Or­di­nal: é aque­le que in­di­ca or­dem, po­si­ção ou lu­gar em uma sequên­cia. Exem­plos: 1º, 7º, 23º, ...

Mis­to: é aque­le que pos­sui uma par­te in­tei­ra e uma fra­ci­o­ná­ria. Exem­plo: 1 2 , ...

3

Adi­ção e Sub­tra­ção: pa­ra o con­jun­to de números in­tei­ros a re­gra é sim­ples: si­nais iguais = so­mar os va­lo­res e atri­buir mes­mo si­nal; si­nais di­fe­ren­tes = sub­trair os va­lo­res ab­so­lu­tos e atri­buir o si­nal do nú­me­ro de mai­or va­lor. Exem­plos:

Mul­ti­pli­ca­ção e Di­vi­são: pa­ra o con­jun­to de números in­tei­ros a re­gra é: si­nais iguais = re­sul­ta­do po­si­ti­vo (+); si­nais di­fe­ren­tes = re­sul­ta­do ne­ga­ti­vo (-). Exem­plos: +12 . - 2 = - 24

Agru­pe o si­nal ao nú­me­ro pa­ra não se con­fun­dir e si­ga as re­gras de si­nais pa­ra ca­da ca­so. Se o nú­me­ro não pos­sui si­nal sig­ni­fi­ca que ele é po­si­ti­vo (+).

O Mí­ni­mo Múl­ti­plo Co­mum de vá­ri­os números é o me­nor nú­me­ro que é di­vi­sí­vel por eles ao mes­mo tem­po. Exem­plo: cal­cu­le o MMC de 8, 10 e 4:

Os va­lo­res são di­vi­di­dos pe­lo mes­mo di­vi­sor e seu re­sul­ta­do vai abai­xo de ca­da nú­me­ro. Quan­do não é pos­sí­vel di­vi­dir, re­pe­te-se o va­lor até uma pos­sí­vel di­vi­são em que re­sul­te 1. O re­sul­ta­do ob­ti­do (la­do di­rei­to da bar­ra) po­de ser es­cri­to: MMC (8, 10, 4) = 2 x 2 x 2 x 5 = 40 ou 23 x 5 = 40. Es­se pro­ces­so de de­com­po­si­ção de um nú­me­ro em um pro­du­to de fa­to­res pri­mos é co­nhe­ci­do co­mo fa­to­ra­ção. O MMC de (8, 10, 4) é 40.

O Má­xi­mo Di­vi­sor Co­mum de vá­ri­os números é o mai­or nú­me­ro que di­vi­de dois ou mais números sem dei­xar res­to. O MDC é se­me­lhan­te ao MMC, po­rém o re­sul­ta­do é o mai­or di­vi­sor co­mum. O MDC é for­ma­do to­man­do-se os fa­to­res co­muns sem­pre com o me­nor ex­po­en­te. Exem­plo: cal­cu­le o MDC de 120 e 250.

Por fa­to­ra­ção de­com­po­mos os números em fa­to­res pri­mos:

Con­cluí­mos que po­de ser es­cri­to:

Quan­do um nú­me­ro não pos­sui ex­po­en­te, di­ze­mos que o ex­po­en­te é “1” pois qual­quer nú­me­ro mul­ti­pli­ca­do por 1 tem re­sul­ta­do igual a ele mes­mo. Por­tan­to con­cluí­mos que: MDC (120, 250) = 21 x 51 = 10, ou se­ja, o MDC de (120, 250) é 10.

Nos números ra­ci­o­nais o nú­me­ro é es­cri­to da for­ma “a ” on­de "a" e "b" são b números in­tei­ros e "b" é z de ze­ro.

Adi­ção e Sub­tra­ção de Fra­ções: quan­do pos­su­em o mes­mo de­no­mi­na­dor bas­ta man­tê-lo e fa­zer a adi­ção ou sub­tra­ção:

Quan­do pos­su­em de­no­mi­na­do­res di­fe­ren­tes bas­ta re­du­zi-las ao mes­mo de­no­mi­na­dor (pe­lo MMC) e en­tão re­a­li­zar a adi­ção ou sub­tra­ção:

Acha­do o no­vo de­no­mi­na­dor atra­vés do MMC, cal­cu­la­re­mos os no­vos nu­me­ra­do­res, se­pa­ra­da­men­te, com a se­guin­te re­gra:

Quan­do uma fra­ção não pos­sui de­no­mi­na­dor, po­de­mos ima­gi­nar o de­no­mi­na­dor “1” pois qual­quer nú­me­ro di­vi­di­do por 1 tem re­sul­ta­do igual a ele mes­mo.

Mul­ti­pli­ca­ção de Fra­ções: mul­ti­pli­que os nu­me­ra­do­res e de­no­mi­na­do­res se­pa­ra­da­men­te (em li­nha):

Di­vi­são de Fra­ções: in­ver­ta a se­gun­da fra­ção e mul­ti­pli­que os nu­me­ra­do­res e de­no­mi­na­do­res (em li­nha):

Quan­do são mais de du­as fra­ções, re­pe­ti­mos a pri­mei­ra fra­ção e in­ver­te­mos to­das as ou­tras pa­ra as­sim mul­ti­pli­car em li­nha.

Sim­pli­fi­ca­ção de fra­ção: sig­ni­fi­ca re­du­zi-la a um me­nor nú­me­ro, di­vi­din­do si­mul­ta­ne­a­men­te por um mes­mo di­vi­sor, sem al­te­rar seus ter­mos. Po­de­mos di­vi­dir o nu­me­ra­dor e o de­no­mi­na­dor de uma fra­ção até não ser mais pos­sí­vel a sim­pli­fi­ca­ção. Po­dem ser fei­tas em qual­quer fra­ção, des­de que pos­sí­vel, mes­mo an­tes da adi­ção, sub­tra­ção, mul­ti­pli­ca­ção ou di­vi­são. É me­lhor cal­cu­lar com números pe­que­nos.

São números que pos­su­em ca­sas de­ci­mais separados por vír­gu­la. In­di­cam um nú­me­ro que não é in­tei­ro.

Adi­ção e sub­tra­ção com vír­gu­la: de­ve­mos ali­nhar as vír­gu­las e efe­tu­ar a operação nor­mal­men­te.

Mul­ti­pli­ca­ção com vír­gu­la: ig­no­ra­mos a pre­sen­ça da vír­gu­la e re­a­li­za­mos a mul­ti­pli­ca­ção nor­mal­men­te. Con­ta­mos as ca­sas de­ci­mais após a vír­gu­la dos números en­vol­vi­dos e acres­cen­ta­mos, da di­rei­ta pa­ra a es­quer­da ao pro­du­to.

Di­vi­são com vír­gu­la: igua­la­mos as ca­sas de­ci­mais (acres­cen­tan­do "ze­ros" con­for­me ne­ces­sá­rio) e di­vi­di­mos nor­mal­men­te ig­no­ran­do a vír­gu­la.

Equa­ção é uma igual­da­de en­vol­ven­do va­lo­res co­nhe­ci­dos (for­ne­ci­dos) e uma in­cóg­ni­ta (x, y, z...). Quan­do te­mos du­as equa­ções com du­as in­cóg­ni­tas (x e y), mon­ta­mos um sis­te­ma de equa­ções re­pre­sen­ta­do por uma cha­ve:

Re­sol­ve­mos as du­as in­cóg­ni­tas pe­lo mé­to­do da adi­ção, com me­nos eta­pas: x = 30 2

En­con­tra­mos a in­cóg­ni­ta "x". Ago­ra subs­ti­tuí­mos o va­lor de "x" em qual­quer uma das equa­ções pa­ra des­co­brir "y".

Equa­ção do 1º grau: as po­tên­ci­as das in­cóg­ni­tas são de grau 1 ou x1 e y1. Exem­plo: 3x + 4y = 27

Equa­ção do 2º grau: a po­tên­ci­as de pe­lo me­nos uma das in­cóg­ni­tas é de grau 2 ou x2. Exem­plo: x2 - 4x + 4 = 0

Sis­te­ma de equa­ções do 1º grau é mui­to apli­ca­do na re­so­lu­ção de pro­ble­mas nos exa­mes. É a tra­du­ção ma­te­má­ti­ca que es­ta­be­le­ce as in­cóg­ni­tas e equa­ções.

Pro­ble­ma: Em uma fa­zen­da há por­cos e pe­rus, num to­tal de 27 ani­mais e 84 pa­tas. Quan­tos são os por­cos e quan­tos são os pe­rus?

Re­so­lu­ção: a pri­mei­ra coi­sa a se fa­zer é se­pa­rar os da­dos e tra­du­zir o pro­ble­ma em da­dos ma­te­má­ti­cos:

Quan­ti­da­de de Por­cos: x

Quan­ti­da­de de Pe­rus: y

To­tal de Por­cos e Pe­rus: x + y = 27

To­tal de pa­tas (Por­cos, Pe­rus): 4x + 2y = 84 O to­tal de pa­tas é 84, mas não se es­que­ça de que um porco tem 4 pa­tas (4x) e um Pe­ru tem 2 pa­tas (2y).

Com is­so, mon­ta­mos o sis­te­ma:

Pa­ra eli­mi­nar uma das in­cóg­ni­tas, mul­ti­pli­ca­re­mos a equa­ção I pe­lo co­e­fi­ci­en­te do y da equa­ção II, mas com si­nal ne­ga­ti­vo. Daí fa­ze­mos a adi­ção das du­as.

Subs­ti­tuin­do o va­lor “x” em qual­quer uma das du­as equa­ções des­co­bri­mos o va­lor de “y” (es­co­lhe­mos a equa­ção I).

Res­pos­ta: São 15 por­cos (x = 15) e 12 pe­rus (y = 12).

A po­ten­ci­a­ção é for­ma­da por uma base e um ex­po­en­te. Na­da mais é do que um al­ga­ris­mo (base) mul­ti­pli­ca­do pe­lo nú­me­ro de ve­zes iguais de seu pró­prio al­ga­ris­mo (ex­po­en­te).

Mul­ti­pli­ca­ção de po­tên­ci­as de mes­ma base: o pro­du­to é ob­ti­do da so­ma dos ex­po­en­tes, con­ser­van­do-se a base.

Di­vi­são de po­tên­ci­as de mes­ma base: o quo­ci­en­te é ob­ti­do da sub­tra­ção dos ex­po­en­tes, con­ser­van­do-se a base.

Po­tên­ci­as de po­tên­ci­as de mes­ma base: o pro­du­to é ob­ti­do da mul­ti­pli­ca­ção dos ex­po­en­tes, con­ser­van­do-se a base.

Ra­di­ci­a­ção na­da mais é do que a operação opos­ta à po­ten­ci­a­ção. Co­nhe­ça suas par­tes:

A con­di­ção pa­ra as trans­for­ma­ções é que a base se­ja mai­or que ze­ro (a > 0). É aque­la que obe­de­ce a es­tru­tu­ra:

"a", "b" e "c" são números re­ais e co­e­fi­ci­en­tes da equa­ção. Se fo­rem z 0, a equa­ção é com­ple­ta; se "b" ou "c" for = 0, a equa­ção é in­com­ple­ta. Re­sol­ve­mos equa­ções com­ple­tas do 2º grau uti­li­zan­do a fór­mu­la de Bhás­ka­ra:

O que vai den­tro da raiz é cha­ma­do de ' (del­ta) ou “b2 - 4ac”. A equa­ção do 2º grau po­de ter até du­as raí­zes re­ais de­vi­do ao si­nal ± que nos dá du­as op­ções.

Na for­ma de pro­ble­mas, o te­ma é mui­to pe­di­do em exa­mes das mais va­ri­a­das for­mas.

Pro­ble­ma: Te­mos ma­te­ri­al pa­ra fa­zer 54 m de cer­ca. Pre­ci­sa­mos de um cer­ca­do re­tan­gu­lar com 180m2 de área. Qu­an­to de­vem me­dir os la­dos do cer­ca­do?

Re­so­lu­ção: co­mo to­do pro­ble­ma, va­mos se­pa­rar os da­dos e tra­du­zir em da­dos ma­te­má­ti­cos:

Com­pri­men­to do cer­ca­do: x

Lar­gu­ra do cer­ca­do: y

Pe­rí­me­tro que po­de ser cons­truí­do: 54 m Pe­rí­me­tro é a me­di­da do com­pri­men­to de um con­tor­no, ou se­ja:

Te­mos du­as equa­ções com du­as va­riá­veis (x e y), que for­mam um sis­te­ma:

Iso­lan­do o “y” na equa­ção I e subs­ti­tuin­do na equa­ção II te­mos:

Che­ga­mos a uma equa­ção do 2º grau. Com­pa­re com a es­tru­tu­ra ax2 + bx + c = 0, pa­ra iden­ti­fi­car "a", "b" e "c" e apli­car a fór­mu­la de Bhás­ka­ra:

Subs­ti­tuin­do "a", "b" e "c":

En­con­tra­mos dois va­lo­res pa­ra “x”, (x1 e x2), por­tan­to de­vem ser tes­ta­dos pa­ra achar­mos “y” subs­ti­tuin­do am­bos os va­lo­res na equa­ção I do sis­te­ma que de­ter­mi­na “y”:

Res­pos­ta: con­cluí­mos que, nos re­sul­ta­dos 12 e 15, um é o com­pri­men­to e o ou­tro a lar­gu­ra. Por­tan­to os la­dos do cer­ca­do me­dem 12 m e 15 m.

Exis­tem vá­ri­as uni­da­des de me­di­das con­ven­ci­o­na­das e co­bra­das em ques­tões ma­te­má­ti­cas. Qua­se to­das se­guem um mes­mo pa­drão de múl­ti­plos e sub­múl­ti­plos. Po­de­mos com­pre­en­der as me­di­das de Com­pri­men­to, Ca­pa­ci­da­de e Mas­sa com uma úni­ca tabela:

Pa­ra fa­zer qual­quer re­la­ção com as me­di­das en­vol­ven­do me­tro, li­tro e gra­ma bas­ta ter em men­te a tabela anterior. Pa­ra con­ver­ter um da­do va­lor, co­lo­que-o na tabela na po­si­ção cor­re­ta - vír­gu­la ali­nha­da à ca­sa cor­res­pon­den­te e “an­de” com a vír­gu­la. Veja a trans­for­ma­ção de 15.000.000 cm em km:

A vír­gu­la fi­ca­va na co­lu­na do cen­tí­me­tro (cm), co­mo trans­for­ma­mos em quilô­me­tro (km) a vír­gu­la an­da pa­ra a co­lu­na do km. Ca­pa­ci­da­de e Mas­sa se­guem es­se mes­mo mo­de­lo.

A Me­di­da de Área é ex­pres­sa em uni­da­de de m2 em que re­pre­sen­ta uma re­gião qua­dran­gu­lar de 1 me­tro de la­do. Se no mo­de­lo de com­pri­men­to, ca­da ca­sa re­pre­sen­ta múl­ti­plos de 10, no m2 são mul­ti­pli­ca­dos ou di­vi­di­dos por 100.

A Me­di­da de Vo­lu­me é ex­pres­sa em uni­da­de de m3 em que re­pre­sen­ta um cu­bo cu­ja ares­ta me­de 1 me­tro. Se no mo­de­lo de com­pri­men­to, ca­da ca­sa re­pre­sen­ta múl­ti­plos de 10, no m3 são mul­ti­pli­ca­dos ou di­vi­di­dos por 1000.

Cui­da­do! Mui­tas ve­zes o exa­mi­na­dor quer sa­ber se, além de so­lu­ci­o­nar a ques­tão, vo­cê es­tá aten­to e sa­be con­ver­ter o tem­po. Pro­va­vel­men­te a so­lu­ção er­ra­da, an­tes da con­ver­são, es­ta­rá en­tre as al­ter­na­ti­vas: pe­ga­di­nha.

1 ho­ra equi­va­le a 60 mi­nu­tos

1 mi­nu­to equi­va­le a 60 se­gun­dos Área do qua­dra­do: é igual ao qua­dra­do de um de seus la­dos: A = x2 x x

Área do re­tân­gu­lo e do pa­ra­le­lo­gra­mo: é igual ao pro­du­to da base pe­la al­tu­ra: A = b . h b

Área do Tri­ân­gu­lo: po­de ser cal­cu­la­da de du­as ma­nei­ras: a) co­nhe­cen­do um la­do e sua res­pec­ti­va al­tu­ra; b) co­nhe­cen­do as me­di­das dos três la­dos.

Área do Tra­pé­zio: di­vi­dir por 2 o pro­du­to da so­ma da base me­nor com a base mai­or pe­la al­tu­ra: A = (b+B).h

Área do Cír­cu­lo: é igual ao pro­du­to da cons­tan­te Pi (S | 3,14) pe­lo raio (r) ele­va­do ao qua­dra­do. A = S . r2

Área do Se­tor Circular: cal­cu­lar a área do cír­cu­lo cor­res­pon­den­te e cal­cu­lar pro­por­ção em re­la­ção ao ân­gu­lo do se­tor.

Uma vol­ta com­ple­ta no cír­cu­lo pos­sui 360º, por re­gra de três, cal­cu­la­mos a área do se­tor cor­res­pon­den­te:

Área da Elip­se: é igual ao pro­du­to da cons­tan­te Pi (S | 3,14) pe­la me­ta­de do ei­xo mai­or "a", pe­la me­ta­de do ei­xo me­nor "b": A = S .a.b

Pro­ble­ma: Se­ja um qua­dra­do ABCD ins­cri­to em um cír­cu­lo de raio 5 cm. Cal­cu­le a área des­ta­ca­da.

Te­mos a área do cír­cu­lo e a área do qua­dra­do (lo­san­go), ago­ra é só sub­trair a área do qua­dra­do da área do cír­cu­lo:

Sim­ples: en­vol­ve du­as gran­de­zas di­re­ta­men­te ou in­ver­sa­men­te pro­por­ci­o­nais.

Com­pos­ta: en­vol­ve mais de du­as gran­de­zas di­re­ta­men­te ou in­ver­sa­men­te pro­por­ci­o­nais.

Em am­bos os ca­sos, a pri­mei­ra coi­sa a fa­zer é des­co­brir se as gran­de­zas são di­re­ta­men­te ou in­ver­sa­men­te pro­por­ci­o­nais.

Gran­de­zas di­re­ta­men­te pro­por­ci­o­nais: uma au­men­ta à me­di­da que a ou­tra tam­bém au­men­ta. Exem­plo: dis­tân­cia e tem­po.

Gran­de­zas in­ver­sa­men­te pro­por­ci­o­nais: uma au­men­ta à me­di­da que a ou­tra di­mi­nui. Exem­plo: ve­lo­ci­da­de e tem­po.

Pro­ble­ma: Uma tor­nei­ra, com­ple­ta­men­te aber­ta, le­va 33 se­gun­dos pa­ra en­cher um bal­de de 20 li­tros. Qu­an­to tem­po se­ria ne­ces­sá­rio pa­ra es­sa mes­ma tor­nei­ra en­cher uma pis­ci­na de 1240 li­tros?

Re­so­lu­ção: nes­se pro­ble­ma apa­re­cem du­as gran­de­zas: tem­po pa­ra en­cher e ca­pa­ci­da­de de um re­ci­pi­en­te. É fá­cil per­ce­ber que se au­men­ta a ca­pa­ci­da­de do re­ci­pi­en­te (bal­de/pis­ci­na), au­men­ta o tem­po que a tor­nei­ra le­va pa­ra en­chê-lo. Por­tan­to são gran­de­zas di­re­ta­men­te pro­por­ci­o­nais (uma gran­de­za au­men­ta à pro­por­ção que a ou­tra tam­bém au­men­ta).

Quan­do as gran­de­zas são di­re­ta­men­te pro­por­ci­o­nais, mul­ti­pli­ca­mos as fra­ções em cruz (nas mes­mas uni­da­des):

Res­pos­ta: se­rão ne­ces­sá­ri­os 2046 se­gun­dos pa­ra a tor­nei­ra en­cher a pis­ci­na de 1240 li­tros.

Pro­ble­ma: Um car­ro, à ve­lo­ci­da­de cons­tan­te de 50 km/h, vai de São Pau­lo ao Rio de Ja­nei­ro em 8 ho­ras. Se o mes­mo car­ro de­sen­vol­ves­se a ve­lo­ci­da­de cons­tan­te de 80 km/h, em qu­an­to tem­po fa­ria o mes­mo per­cur­so?

Re­so­lu­ção: nes­se pro­ble­ma apa­re­cem du­as gran­de­zas: ve­lo­ci­da­de do car­ro e tem­po de per­cur­so. É fá­cil per­ce­ber que se au­men­ta a ve­lo­ci­da­de do car­ro, di­mi­nui o tem­po do per­cur­so.

Por­tan­to são gran­de­zas in­ver­sa­men­te pro­por­ci­o­nais (uma gran­de­za au­men­ta à pro­por­ção que a ou­tra di­mi­nui).

Quan­do as gran­de­zas são in­ver­sa­men­te pro­por­ci­o­nais, in­ver­te­mos uma das ra­zões pa­ra con­ti­nu­ar:

Res­pos­ta: o car­ro fa­ria o per­cur­so em 5 ho­ras. Pro­ble­ma: Pa­ra ali­men­tar 50 ra­tos du­ran­te 15 di­as são ne­ces­sá­ri­os 90 kg de ra­ção. Quan­tos ra­tos é pos­sí­vel ali­men­tar em 20 di­as com 180 kg de ra­ção?

Re­so­lu­ção: apa­re­cem três gran­de­zas: quan­ti­da­de de ra­tos, tem­po e quan­ti­da­de de ra­ção. Mon­ta­re­mos o es­que­ma.

Ana­li­sa­mos as gran­de­zas se­pa­ra­da­men­te, du­as a du­as, pa­ra sa­ber qual a re­la­ção (di­re­ta­men­te ou in­ver­sa­men­te) de pro­por­ção en­tre elas. Ana­li­sa­mos as gran­de­zas sem­pre em tor­no da in­cóg­ni­ta (x) que nes­te ca­so são a quan­ti­da­de de ra­tos. Re­gra de três com­pos­ta.

Quan­ti­da­de de ra­tos X quan­ti­da­de de ra­ção: qu­an­to mai­or a quan­ti­da­de de ra­tos, mai­or a quan­ti­da­de de ra­ção ne­ces­sá­ria. Co­mo as pa­la­vras mai­or e mai­or es­tão pre­sen­tes as gran­de­zas são di­re­ta­men­te pro­por­ci­o­nais.

Quan­ti­da­de de ra­tos X tem­po: qu­an­to mai­or a quan­ti­da­de de ro­e­do­res, me­nor o tem­po que du­ra­rá a ra­ção. Co­mo as pa­la­vras mai­or e me­nor es­tão pre­sen­tes as gran­de­zas são in­ver­sa­men­te pro­por­ci­o­nais.

Com es­sa aná­li­se, po­de­mos mon­tar o re­al es­que­ma, in­ver­ten­do a fra­ção que é in­ver­sa­men­te pro­por­ci­o­nal:

Na pri­mei­ra fra­ção fi­ca sem­pre a in­cóg­ni­ta (x) e nas ou­tras du­as ra­zões, mul­ti­pli­ca­mos sem es­que­cer de inverter os di­as.

Res­pos­ta: é pos­sí­vel ali­men­tar 75 ra­tos em 20 di­as com 180 kg e ra­ção.

Cha­ma­mos de pro­por­ção a re­la­ção de igual­da­de en­tre du­as Ra­zões. É exem­pli­fi­ca­da pe­la igual­da­de a se­guir (sen­do to­dos os números di­fe­ren­tes de ze­ro):

Cha­ma­mos de es­ca­la a Ra­zão en­tre um com­pri­men­to no de­se­nho (ma­pa ou car­ta ge­o­grá­fi­ca) e o com­pri­men­to re­al cor­res­pon­den­te, me­di­dos na mes­ma uni­da­de. A re­la­ção de es­ca­la é re­pre­sen­ta­da por:

Es­ca­la = Com­pri­men­to no de­se­nho Com­pri­men­to Re­al

Pro­ble­ma: Em um ma­pa do es­ta­do de Goiás cu­ja es­ca­la é 1:10.000.000, a dis­tân­cia en­tre Goiás e Aná­po­lis é mar­ca­da co­mo 1,5 cm. Qual a dis­tân­cia re­al em km en­tre Goiás e Aná­po­lis?

Re­so­lu­ção: bas­ta igua­lar a es­ca­la com o que se pe­de 10.001.000 = 1,5 cm

10.000.000 x

Res­pos­ta: 150 km, se­gun­do a trans­for­ma­ção de cm pa­ra km (pá­gi­na 11).

É o va­lor ob­ti­do quan­do apli­ca­mos uma ra­zão cen­te­si­mal (ra­zão com de­no­mi­na­dor 100) a um de­ter­mi­na­do va­lor. Quer di­zer "so­bre 100". Veja as for­mas de re­pre­sen­tar cin­quen­ta e qua­tro por cen­to:

As ques­tões en­vol­ven­do por­cen­ta­gem são re­sol­vi­das usan­do re­gra de três sim­ples e di­re­ta­men­te pro­por­ci­o­nais.

Pro­ble­ma: Em uma ci­da­de, a en­tra­da de um cir­co pas­sou de R$ 16,00 pa­ra R$ 24,00. Qual o por­cen­tu­al de au­men­to?

Re­so­lu­ção: a en­tra­da ori­gi­nal do cir­co R$ 16,00 re­pre­sen­ta 100%. Pas­sou a cus­tar R$ 24,00, ou se­ja, au­men­tou R$ 8,00 (R$ 24,00 - R$ 16,00). O pro­ble­ma quer sa­ber qual é es­se va­lor de au­men­to, só que em por­cen­ta­gem. Com a re­gra de três sim­ples di­re­ta­men­te pro­por­ci­o­nal:

Ter­mos da Ma­te­má­ti­ca Fi­nan­cei­ra: a quan­tia (ca­pi­tal ini­ci­al) que uma pes­soa apli­ca em um in­ves­ti­men­to por um de­ter­mi­na­do pe­río­do (tem­po), lhe ren­de­rá um cer­to va­lor (ju­ros) que, so­ma­do com o ca­pi­tal apli­ca­do, dá um to­tal (mon­tan­te). O va­lor a ser ga­nho de­pen­de da por­cen­ta­gem (ta­xa de ju­ros).

Ju­ro Sim­ples "J": é o va­lor pa­go uni­ca­men­te so­bre o ca­pi­tal ini­ci­al "C" sen­do di­re­ta­men­te pro­por­ci­o­nal a es­se ca­pi­tal e o tem­po "t" em que es­tá apli­ca­do. São acrés­ci­mos so­ma­dos ao ca­pi­tal ini­ci­al no fim da apli­ca­ção. É re­pre­sen­ta­do pe­la fór­mu­la J = C.i.t on­de "i" é a ta­xa de ju­ro. A sim­bo­lo­gia fi­ca es­ta­be­le­ci­da em por­cen­ta­gem e de­ve­mos sem­pre men­ci­o­nar a uni­da­de de tem­po (12% ao ano ou ao mês). Mon­tan­te "M" é a so­ma do Ca­pi­tal ini­ci­al + Ju­ro do pe­río­do.

Pro­ble­ma: Uma pes­soa lhe em­pres­ta R$ 2.000,00, a ju­ro sim­ples, pe­lo pra­zo de 3 me­ses, à ta­xa de 3% ao mês. Quais os ju­ros pro­du­zi­dos?

Re­so­lu­ção: se­pa­rar os da­dos e tra­du­zir em da­dos ma­te­má­ti­cos.

Res­pos­ta: R$ 180,00 de ju­ros em 3 me­ses. No­te que, se fi­zer­mos a con­ta mês a mês, o va­lor do ju­ro se­rá de R$ 60,00 por mês. Es­se va­lor se­rá so­ma­do mês a mês, não mu­da. O Mon­tan­te "M" a ser de­vol­vi­do após 3 me­ses se­rá de R$ 2.180,00 (2.000,00 + 180,00).

Ju­ro Com­pos­to "J": são acrés­ci­mos so­ma­dos ao ca­pi­tal "C" ao fi­nal de ca­da pe­río­do "t" de apli­ca­ção, ge­ran­do com es­ta so­ma, um no­vo ca­pi­tal. É o fa­mo­so ju­ros so­bre ju­ros co­bra­do por pra­ti­ca­men­te to­do o co­mér­cio lo­jis­ta. É re­pre­sen­ta­do pe­la fór­mu­la: M = C.(1+i)t

Pro­ble­ma: Uma pes­soa lhe em­pres­ta R$ 2.000,00, a ju­ro com­pos­to, pe­lo pra­zo de 3 me­ses, à ta­xa de 3% ao mês. Quais os ju­ros pro­du­zi­dos?

Re­so­lu­ção: se­pa­rar os da­dos e tra­du­zir em da­dos ma­te­má­ti­cos.

Ca­pi­tal ini­ci­al (C) = R$ 2.000,00 Tem­po (t) = 3 me­ses

Ta­xa (i) = 3% ao mês ou 0,03

Res­pos­ta: o exa­mi­na­dor per­gun­tou quais os ju­ros pro­du­zi­dos, por­tan­to é o Mon­tan­te R$ 2.185,45 me­nos o Ca­pi­tal Ini­ci­al R$ 2.000,00. Ao fi­nal do em­prés­ti­mo, pa­ga­rá R$ 185,45 de ju­ros.

Com­pa­ran­do Ju­ro Sim­ples e Ju­ro Com­pos­to pa­ra os ca­sos an­te­ri­o­res:

Ou se­ja, o Ju­ro Com­pos­to (ju­ros so­bre ju­ros) faz o mon­tan­te cres­cer de ma­nei­ra evo­lu­ti­va ba­se­a­do sem­pre em um no­vo ca­pi­tal (do mês anterior). Já o Ju­ro Sim­ples é um ju­ro fi­xo mês a mês ou cal­cu­la­do pa­ra um pe­río­do in­tei­ro. "a" e "b" é en­con­trar uma pro­gres­são arit­mé­ti­ca (PA) on­de o pri­mei­ro ter­mo é "a", e o úl­ti­mo é "b" e a quan­ti­da­de to­tal de ter­mos é "k+2".

Res­pos­ta: po­de­mos for­mar 120 números com 3 al­ga­ris­mos.

Per­mu­ta­ção sim­ples: ti­po de agru­pa­men­to or­de­na­do, sem re­pe­ti­ção em que en­tram to­dos os ele­men­tos em ca­da gru­po. Pn = n!

Pro­ble­ma: Quan­tos ana­gra­mas po­dem ser for­ma­dos com a pa­la­vra VES­TI­BU­LAR, em que as 3 le­tras UES, nes­ta or­dem, per­ma­ne­çam jun­tas?

Re­so­lu­ção: a pa­la­vra VES­TI­BU­LAR tem 10 le­tras e as le­tras UES de­vem per­ma­ne­cer jun­tas, en­tão te­mos as le­tras V, T, I, B, L, A, R e UES to­ta­li­zan­do 8 le­tras (UES é con­ta­do co­mo uma letra). P = n!

Res­pos­ta: po­dem ser fei­tos 210 ti­pos de sa­la­das.

Es­tu­da a for­ma de es­ta­be­le­cer as pos­si­bi­li­da­des de ocor­rên­cia de ca­da ex­pe­ri­men­to ale­a­tó­rio. Pa­ra cal­cu­lar uma pro­ba­bi­li­da­de con­si­de­ra­mos:

Ex­pe­ri­men­to ale­a­tó­rio: apre­sen­tam re­sul­ta­dos va­ri­a­dos, sem pre­vi­são. Exem­plo: lan­ça­men­to de uma mo­e­da com lei­tu­ra da fa­ce "cara" ou "co­roa", lan­ça­men­to de um da­do com lei­tu­ra de sua fa­ce "1 até 6", sor­teio de uma car­ta de um ba­ra­lho com 52 car­tas.

Es­pa­ço amos­tral (U): con­jun­to de to­dos os re­sul­ta­dos pos­sí­veis de um ex­pe­ri­men­to ale­a­tó­rio. Exem­plo: "cara" ou "co­roa" (no ca­so de uma mo­e­da), 1, 2, 3, 4, 5 e 6 (no ca­so de um da­do), 52 car­tas (no ca­so de um ba­ra­lho).

Even­to (ca­sos fa­vo­rá­veis): qual­quer sub­con­jun­to do es­pa­ço amos­tral. Exem­plo: Uma ur­na con­tém 3 bo­las (p) pretas e 3 ver­me­lhas (v). Des­sa ur­na são re­ti­ra­das su­ces­si­va­men­te, 3 bo­las. As chan­ces são:

Res­pos­ta: a pro­ba­bi­li­da­de de que apa­re­ça "cara" nas qua­tro ve­zes é de 6,25%.

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