1 MÚLTIPLOS E DIVISORES

Superguia Enem - Matemática e Física - - Sumário -

1.1. Di­vi­são

1.2. Nú­me­ros Pri­mos

1.2.1. Nú­me­ros pri­mos en­tre si

1.2.2. Al­go­rit­mo pa­ra de­com­po­si­ção de um nú­me­ro em fa­to­res pri­mos

1.2.3. Quan­ti­da­de de divisores

1.2.4. Al­go­rit­mo pa­ra a de­ter­mi­na­ção dos divisores de um nú­me­ro in­tei­ro

1.2.5. Pro­pri­e­da­des

1.2.6. Prin­ci­pais cri­té­ri­os da di­vi­si­bi­li­da­de

1.3. Má­xi­mo Di­vi­sor Co­mum (MDC)

1.4. Mí­ni­mo Múl­ti­plo Co­mum (MMC)

1.4.1. Pro­pri­e­da­de

De­fi­ni­ção: se­jam ab e dois nú­me­ros in­tei­ros. Se o quo­ci­en­te da di­vi­são de a por b é in­tei­ro, de­sig­nan­do-o por q, te­re­mos ab = x q, is­to é, a é igual ao pro­du­to de b por um in­tei­ro. Di­re­mos, en­tão, que a é di­vi­sí­vel por b, ou que b di­vi­de a. Nes­se ca­so, a se­rá de­no­mi­na­do um múl­ti­plo de bb e de­no­mi­na­do um di­vi­sor de a. As­sim, por exem­plo, 21 é múl­ti­plo de 7 e 7 é di­vi­sor de 21.

1.1. Di­vi­são

To­do in­tei­ro a é ex­pres­sa­do de for­ma úni­ca me­di­an­te um in­tei­ro po­si­ti­vo b na for­ma: abq = x + r; 0 ≤ r < b. O nú­me­ro a é cha­ma­do de di­vi­den­do;

1.2. Nú­me­ros Pri­mos

De­fi­ni­ção: um nú­me­ro na­tu­ral é pri­mo, se e so­men­te se, ti­ver exa­ta­men­te dois divisores na­tu­rais dis­tin­tos: ele mes­mo e a uni­da­de. Ob­ser­ve que 1 não é pri­mo.

Os nú­me­ros pri­mos me­no­res do que 100 são: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97.

1.2.1. Nú­me­ros pri­mos en­tre si

De­fi­ni­ção: são dois ou mais nú­me­ros in­tei­ros que ad­mi­tem pa­ra di­vi­sor co­mum ape­nas um nú­me­ro na­tu­ral: a uni­da­de.

1.2.2. Al­go­rit­mo pa­ra de­com­po­si­ção de um nú­me­ro em fa­to­res pri­mos

De mo­do a de­com­por um nú­me­ro em fa­to­res pri­mos, bas­ta di­vi­dir o nú­me­ro da­do pe­lo seu me­nor di­vi­sor pri­mo; di­vi­de-se o quo­ci­en­te pe­lo seu me­nor nú­me­ro pri­mo; pro­ce­de­mos da mes­ma ma­nei­ra com os de­mais quo­ci­en­tes ob­ti­dos, até se che­gar a um quo­ci­en­te uni­tá­rio. O pro­du­to in­di­ca­do da su­ces­são de pri­mos ob­ti­dos é a de­com­po­si­ção em ques­tão. Ado­ta­mos um al­go­rit­mo que con­sis­te em co­lo­car à di­rei­ta de um tra­ço ver­ti­cal os divisores pri­mos e à es­quer­da, os quo­ci­en­tes en­con­tra­dos.

Exem­plo: va­mos de­com­por em fa­to­res pri­mos o nú­me­ro 360. Ve­ja­mos:

1.2.3. Quan­ti­da­de de divisores

Um nú­me­ro in­tei­ro que po­de ser de­com­pos­to em fa­to­res pri­mos da se­guin­te for­ma: a=p xp . ... . p αn, α1 α2 1 2 n on­de p ,p , ... , p são pri­mos dis­tin­tos

1 2 n e αα , , ... , α são na­tu­rais.

1 2 n O nú­me­ro de divisores na­tu­rais de a é da­do por: ( α + 1) x ( α + 1) x ... x ( α + 1)

1 2 n O nú­me­ro de divisores in­tei­ros é o do­bro des­se pro­du­to, pois te­mos que con­si­de­rar os nú­me­ros po­si­ti­vos e os nú­me­ros ne­ga­ti­vos.

Co­mo exem­plo, ve­ri­fi­ca­re­mos o nú­me­ro 360, que já foi de­com­pos­to em fa­to­res pri­mos. Vi­mos que: 360 = 23 x 32 x 5 Lo­go, o nú­me­ro de divisores na­tu­rais é igual a (3 + 1) x (2 + 1) x (1 + 1) = 4 x 3 x 2 = 24 e o nú­me­ro de divisores in­tei­ros igual a 24 x 2 = 48.

Ago­ra, va­mos ve­ri­fi­car a igual­da­de aci­ma, en­con­tran­do to­dos os divisores de 360.

Divisores de 360 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10; 12; 15; 18; 20; 24; 30; 36; 40; 45; 60; 72; 90; 120; 180; 360}

Ou se­ja, o nú­me­ro 360 pos­sui 24 divisores na­tu­rais.

1.2.4. Al­go­rit­mo pa­ra a de­ter­mi­na­ção dos divisores de um nú­me­ro in­tei­ro

De­com­põe-se o nú­me­ro da­do em fa­to­res pri­mos. Em se­gui­da, co­lo­ca-se à di­rei­ta des­sa de­com­po­si­ção um tra­ço ver­ti­cal. À di­rei­ta des­te co­lo­ca­mos to­dos os divisores do nú­me­ro da­do, co­me­çan­do pe­lo di­vi­sor 1, que é co­lo­ca­do aci­ma e à di­rei­ta do pri­mei­ro fa­tor da de­com­po­si­ção. Os de­mais divisores são ob­ti­dos mul­ti­pli­can­do-se ca­da fa­tor pri­mo pe­los divisores an­te­ri­or­men­te en­con­tra­dos, evi­tan­do re­pe­ti­ções.

Exem­plo: va­mos de­ter­mi­nar o con­jun­to dos divisores de 90.

Por­tan­to po­de­mos con­cluir que são divisores na­tu­rais de 90 = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 30; 45; 90}

São divisores in­tei­ros de 90 = {±1; ±±± 2; 3; 5; ±±± 6; 9; 10; ± 15; ± 30; ± 45; ± 90}

Exem­plo: va­mos de­ter­mi­nar os divisores ím­pa­res de 180.

Em pri­mei­ro lu­gar, va­mos de­com­por em fa­to­res pri­mos o nú­me­ro 180. Ve­ja­mos: 180 | 2 90 | 2 → 180 = 22 x 32 x 5 45 | 3 15 | 3 5|5 1| Os divisores ím­pa­res de 180 não pos­su­em fa­tor 2, is­to é, são divisores de 32 x 5. O nú­me­ro de divisores na­tu­rais de 32 x 5 é (2 + 1) x (1 + 1) = 3 x 2 = 6. Lo­go, o nú­me­ro de divisores in­tei­ros é 2 x 6 = 12. Por­tan­to, po­de­mos di­zer que 180 pos­sui 12 divisores ím­pa­res in­tei­ros.

1.2.5. Pro­pri­e­da­des

I) Se­jam a, b e c in­tei­ros. Se a di­vi­de b e c, en­tão ele di­vi­de b + c e b – c.

Con­sequên­ci­as: Se a di­vi­de b, en­tão a di­vi­de qual­quer múl­ti­plo de b.

Se a di­vi­de b e b + c, en­tão a di­vi­de c.

II) Um nú­me­ro na­tu­ral é di­vi­sí­vel por ou­tro, de­com­pos­to em fa­to­res pri­mos en­tre si qu­an­do o pri­mei­ro for di­vi­sí­vel por to­dos os fa­to­res des­sa de­com­po­si­ção.

III) Se um nú­me­ro for múl­ti­plo de um pro­du­to de n in­tei­ros con­se­cu­ti­vos, en­tão cer­ta­men­te ele se­rá di­vi­sí­vel por n.

Exem­plo: Se n é um nú­me­ro na­tu­ral, en­tão pro­va­re­mos que n3 – n é múl­ti­plo de 3.

Fa­to­ran­do n3 – n = n x (n2 – 1) = n x (n + 1) x (n – 1) n3 – n = (n + 1) x n x (n – 1) Ou se­ja, n3 – n é um pro­du­to de 3 in­tei­ros con­se­cu­ti­vos. Lo­go, n3 – n é múl­ti­plo de 3.

IV) O res­to da di­vi­são de uma so­ma por um cer­to nú­me­ro é o mes­mo que o da di­vi­são da so­ma dos res­tos que se ob­têm das di­vi­sões das res­pec­ti­vas par­ce­las.

Con­sequên­cia: Se b e c di­vi­di­dos por a dei­xa­rem res­tos iguais, en­tão b–c se­rá di­vi­sí­vel por a.

Co­mo exem­plo, de­ter­mi­na­re­mos o res­to da di­vi­são de 5.689 + 3.412 por 5, sem efe­tu­ar a so­ma. Ve­ja­mos: Di­vi­din­do 5.689 por 5 en­con­tra­mos 1.137 com res­to 4.

Di­vi­din­do 3.412 por 5 en­con­tra­mos 682 com res­to 2. So­man­do os res­tos te­mos 4 + 2 = 6. Di­vi­din­do 6 por 5 en­con­tra­mos 1 com res­to 1. En­tão, po­de­mos con­cluir que o res­to da di­vi­são da so­ma de 5.689 com 3.412 por 5, é igual a 1. Va­mos con­fe­rir: 5.689 + 3.412 = 9.101. Di­vi­din­do 9.101 por 5 en­con­tra­mos 1.820, com res­to 1.

V) O res­to da di­vi­são de um pro­du­to por um cer­to nú­me­ro é o mes­mo que o da di­vi­são do pro­du­to dos res­tos que se ob­têm qu­an­do se di­vi­de ca­da fa­tor por es­se nú­me­ro.

Co­mo exem­plo, de­ter­mi­na­re­mos o res­to da di­vi­são de 1.9011902 por 5, sem efe­tu­ar a potenciação. Ve­ja­mos: Di­vi­din­do 1.901 por 5, en­con­tra­mos 380 com res­to 1.

Co­mo uma po­tên­cia na­da mais é do que um pro­du­to, po­de­mos con­cluir que o res­to da di­vi­são de 19011902 por 5 se­rá igual à 11902 = 1.

1.2.6. Prin­ci­pais cri­té­ri­os da di­vi­si­bi­li­da­de

Em al­gu­mas si­tu­a­ções só pre­ci­sa­mos sa­ber se um nú­me­ro na­tu­ral é di­vi­sí­vel por ou­tro nú­me­ro na­tu­ral, an­tes mes­mo de re­a­li­zar o cál­cu­lo e ob­ter o re­sul­ta­do da di­vi­são. É qu­an­do po­de­mos uti­li­zar as re­gras co­nhe­ci­das co­mo cri­té­ri­os de di­vi­si­bi­li­da­de. Te­mos al­gu­mas re­gras que nos per­mi­tem ve­ri­fi­car se um nú­me­ro é di­vi­sí­vel ou não por ou­tro sem ne­ces­si­da­de de efe­tu­ar a di­vi­são.

1.3. Má­xi­mo Di­vi­sor Co­mum (MDC)

De­fi­ni­ção: o má­xi­mo di­vi­sor co­mum en­tre dois ou mais nú­me­ros é o mai­or en­tre os divisores co­muns a es­ses nú­me­ros. Co­mo exem­plo, en­con­tra­re­mos o MDC en­tre 12 e 16.

Cal­cu­lan­do os divisores de 12, en­con­tra­mos D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Cal­cu­lan­do os divisores de 16, en­con­tra­mos D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}

Po­de­mos ve­ri­fi­car que os divisores co­muns en­tre 12 e 16 são {1, 2, 4}

Lo­go, o MDC(12,16) = 4.

Tam­bém po­de­mos en­con­trar o MDC en­tre dois ou mais nú­me­ros por meio de sua de­com­po­si­ção em fa­to­res pri­mos e, de­pois, por com­por o MDC com os fa­to­res pri­mos co­muns, to­ma­dos com o me­nor ex­po­en­te. Ve­ja­mos co­mo fi­ca o ca­so. 12 = 22 x 3 e 16 = 24 Lo­go, MDC(12,16) = 22 = 4.

1.4. Mí­ni­mo Múl­ti­plo Co­mum (MMC)

De­fi­ni­ção: me­nor múl­ti­plo co­mum de dois ou mais nú­me­ros, di­fe­ren­te de ze­ro, é cha­ma­do de mí­ni­mo múl­ti­plo co­mum des­ses nú­me­ros. Co­mo exem­plo, en­con­tra­re­mos o MMC en­tre 12 e 20.

Cal­cu­lan­do os múltiplos de 12, en­con­tra­mos M(12) = {0, 12, 34, 36, 48, 60, 72, 84, ...}

Cal­cu­lan­do os múltiplos de 20, en­con­tra­mos M(20) = {0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, ...}

Po­de­mos ve­ri­fi­car que os múltiplos co­muns en­tre 12 e 20 são {0, 60, 120, ...} Lo­go, o MMC(12,20) = 60. Tam­bém po­de­mos en­con­trar o MMC en­tre dois ou mais nú­me­ros de­com­pon­do es­ses nú­me­ros em fa­to­res pri­mos e, de­pois, por meio da com­po­si­ção do MMC com os fa­to­res pri­mos co­muns e não co­muns, to­ma­dos com o mai­or ex­po­en­te. Ve­ja­mos co­mo fi­ca o ca­so. 12 = 22 x 3 e 20 = 22 x 5. Lo­go, MMC(12,20) = 22 x 3 x 5 = 4 x 3 x 5 = 60.

1.4.1. Pro­pri­e­da­de

Se­jam A e B o con­jun­to dos fa­to­res pri­mos das de­com­po­si­ções dos nú­me­ros in­tei­ros po­si­ti­vos a e b, res­pec­ti­va­men­te.

A B é o con­jun­to dos fa­to­res pri­mos co­muns aos nú­me­ros a e b. O pro­du­to dos ele­men­tos de A B é igual ao MDC(A,B) que se­rá re­pre­sen­ta­do por M.

A – B e B – A são os con­jun­tos dos fa­to­res pri­mos que per­ten­cem ape­nas ao nú­me­ro a e ao nú­me­ro b, res­pec­ti­va­men­te. Os pro­du­tos dos ele­men­tos de A – B e B – A se­rão re­pre­sen­ta­dos por p e q, res­pec­ti­va­men­te; es­ses nú­me­ros pq e são pri­mos en­tre si. Des­se mo­do, po­de­mos es­cre­ver que:

O MMC dos nú­me­ros a e b se­rá re­pre­sen­ta­do por m. Lo­go, m = p x Mx q Mul­ti­pli­can­do-se os dois mem­bros da igual­da­de por M, te­re­mos: m xm= p x Mx q x M Co­mo: a= p x M e b= q x M, en­tão m xm= ab x Con­clu­são: o pro­du­to de dois nú­me­ros in­tei­ros po­si­ti­vos é igual ao pro­du­to do MMC pe­lo MDC des­ses nú­me­ros.

Ve­ja­mos o se­guin­te exem­plo: o pro­du­to de dois nú­me­ros na­tu­rais é 2.400 e o MMC de­les é 240. Cal­cu­la­re­mos quais são es­ses nú­me­ros.

Des­co­bri­mos que MDC(A,B) = 10. Lo­go, a = 10p e b = 10q, on­de pq e são pri­mos en­tre si.

As­sim, te­mos que: a x b = 10p x 10q = 2.400.

Os va­lo­res de p e de q po­dem ser (1 e 24) ou (3 e 8). En­tão, os nú­me­ros pro­cu­ra­dos po­dem ser (10 e 240) ou (30 e 80).

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