GABARITO CO­MEN­TA­DO

Superguia Enem - Matemática e Física - - Sumário -

Con­sul­to­ria: Fá­bio Ne­po­si­a­no, pro­fes­sor de ma­te­má­ti­ca do Cur­so Pro­gres­são Au­tên­ti­co; equi­pe de pro­fes­so­res da Oficina do Es­tu­dan­te

(FGV - ECONOMIA 2016) 24. C To­das as ques­tões que en­vol­vem fi­gu­ra de­vem ser ana­li­sa­das an­tes da sua re­so­lu­ção. A di­ca fun­da­men­tal es­tá no enun­ci­a­do, qu­an­do é fa­la­do que os pon­tos es­tão igual­men­te es­pa­ça­dos, o que é a ca­rac­te­rís­ti­ca prin­ci­pal da pro­gres­são arit­mé­ti­ca. Te­mos, en­tão: a1= 3/7 e a =4/7. Por

5 de­fi­ni­ção a5=a1 + 4r. Subs­ti­tuin­do a1 te­re­mos 4/7= 3/7 + 4r, que re­sul­ta­rá em r=1/28. O pon­to X re­pre­sen­ta o se­gun­do pon­to na re­ta, o que sig­ni­fi­ca que ele é o a2. Co­mo a2=a1 + r, te­re­mos que a2= 3/7 + 1/28, oca­si­o­nan­do a2=13/28. Co­mo o pro­ble­ma pe­de a so­ma dos ter­mos da fra­ção te­re­mos 13 + 28 = 41.

25. C A ques­tão é uma pro­gres­são ge­o­mé­tri­ca, com 3 ter­mos que va­mos cha­mar de a , a2=a1

1 x r, a3=a1 x r2. A mé­dia arit­mé­ti­ca dos dois pri­mei­ros é 6, lo­go (a1 + a2)/2 = 6. O que vai ge­rar 2 a1 + r=12. A mé­dia arit­mé­ti­ca dos ou­tros dois pri­mei­ros é 18, lo­go (a2 + a3)/2 = 18. O que vai ge­rar 2a1 + 3r = 36. Re­sol­ven­do o sis­te­ma en­vol­ven­do es­sas du­as equações, te­re­mos co­mo re­sul­ta­do: a =3 e r=3. Lo­go a =3, a2= 9 e a3=27.

1 1 Co­mo o pro­ble­ma pe­de a so­ma dos ter­mos, te­re­mos 3 + 9 + 27= 39.

(FUVEST 2017) 26. B Co­mo o pro­ble­ma en­vol­ve 3 lo­jas dis­tin­tas, va­mos de­ter­mi­nar o va­lor uni­tá­rio em ca­da lo­ja pa­ra de­ci­dir­mos qual é a que pos­sui me­lhor pre­ço.

Va­lor da lo­ja A = co­mo ca­da dú­zia cus­ta R$40,00, te­mos que o va­lor uni­tá­rio é R$ 3,33 (só po­de ser ven­di­do em dú­zi­as).

Va­lor da lo­ja B = o va­lor uni­tá­rio é R$3,80 (só po­de ser ven­di­da em pa­res).

Va­lor da lo­ja C = A x C: A lo­ja C é mais ba­ra­ta. Ca­da ca­ne­ta cus­ta R$3,20 (uni­da­de).

As­sim, co­me­ça­re­mos com­pran­do 25 ca­ne­tas em C, gas­tan­do R$80,00.

Co­mo re­sul­ta­do des­sa com­pra, so­bra­rá 150 - 80 = R$ 70,00.

Se­rá pos­sí­vel ape­nas com­prar um kit de 12 ca­ne­tas em A, e o res­tan­te se­rá com­pra­do na lo­ja B. No to­tal, ele com­pra 43 ca­ne­tas (12 em A, 6 em B e 25 em C)

Por ou­tro la­do, se João com­prar dois kits em A (24 ca­ne­tas = 2 dú­zi­as), ele te­rá R$ 150 - 80 = R$ 70,00 pa­ra gas­tar em B e C.

Op­tan­do por C, ini­ci­al­men­te, ele con­se­gue com­prar 21 ca­ne­tas.

Des­se mo­do, ele con­se­gue mais ca­ne­tas, um to­tal de 45 (24 em A, 0 em B e 21 em C).

27. C Pri­mei­ra­men­te, de­ter­mi­na­mos o va­lor do raio no mo­men­to em que o re­ser­va­tó­rio en­con­tra-se com a me­ta­de da sua ca­pa­ci­da­de. Fa­zen­do uma re­la­ção en­tre as al­tu­ras e as ba­ses te­re­mos que r/4=6/12, oca­si­o­nan­do r=2.

Ago­ra, va­mos cal­cu­lar os dois vo­lu­mes, uti­li­zan­do a fór­mu­la do vo­lu­me do co­ne= 1/3 x (área da ba­se x al­tu­ra). No co­ne me­nor te­re­mos o seu vo­lu­me igual a 8π. Já no co­ne mai­or, apli­can­do a mes­ma fór­mu­la te­re­mos o vo­lu­me igual a 64π. Sub­train­do os va­lo­res 64π– 8π = 56π e fa­zen­do π= 3,14 te­re­mos vo­lu­me igual a, apro­xi­ma­da­men­te, 176m3. Por úl­ti­mo, va­mos fa­zer uma re­la­ção en­tre a sua va­zão de 500l (0,5 m3) por minuto e o vo­lu­me, (176m3) por meio de uma re­gra de três, ob­ten­do co­mo res­pos­ta: 5 ho­ras e 50 mi­nu­tos.

(PUC – SP 2017) 28. A An­tes de co­me­çar a re­sol­ver a ques­tão, te­mos que ob­ser­var que o pro­ble­ma im­põe ape­nas uma res­tri­ção: que a cor da lis­ta e a da la­te­ral pre­ci­sam

ser di­fe­ren­tes. Apli­can­do o prin­cí­pio fun­da­men­tal da con­ta­gem, tem-se 5(cor da tam­pa) x 4(cor da lis­tra) x 5(cor da la­te­ral) = 100 ma­nei­ras.

29. D Va­mos cal­cu­lar ini­ci­al o ar­gu­men­to do nú­me­ro com­ple­xo i87 (i + √3). Va­mos pe­gar o

105 ex­po­en­te 87 e di­vi­dir por 4; te­re­mos en­tão que i87 = i3. Fa­zen­do o mes­mo pa­ra 105 te­re­mos en­tão

i i87= i1; fa­zen­do as subs­ti­tui­ções , te­re­mos i3 (i1 + √3) = 1 - √3i.

Fa­zen­do o ar­gu­men­to de V = ½ - √3/2i, te­re­mos que V= ½ (i - √3i). Con­clu­são: os nú­me­ros pos­su­em o mes­mo ar­gu­men­to.

(UNESP 2017) 30. D To­da fi­gu­ra tem uma re­pre­sen­ta­ção mui­to gran­de na re­so­lu­ção das ques­tões. O alu­no de­ve ob­ser­var que as du­as ba­lan­ças es­tão em equi­lí­brio, ou se­ja, a car­ga da es­quer­da é igual à car­ga da di­rei­ta. Tra­ta-se um pro­ble­ma clás­si­co de sis­te­ma li­ne­ar. Va­mos cha­mar de A os pe­sos de cor pre­ta e de L os pe­sos de cor cin­za. Te­re­mos na pri­mei­ra ba­lan­ça 2A + L=2. Já na se­gun­da ba­lan­ça, te­re­mos A + 3 = 2L. Re­sol­ven­do o sis­te­ma (por adi­ção ou subs­ti­tui­ção) te­mos co­mo re­sul­ta­do L = 8/5 e A = 1/5. O pro­ble­ma so­li­ci­ta que se­ja efe­tu­a­da a sub­tra­ção en­tre os ter­mos, ou se­ja, L – A, o que re­sul­ta­rá em 7/5. Fa­zen­do a di­vi­são, ten­do em vis­ta que to­das as res­pos­tas es­tão em for­ma de nú­me­ros de­ci­mais, te­re­mos R = 7/5 = 1,4kg.

31. B No seu enun­ci­a­do, o pro­ble­ma men­ci­o­na que nas du­as da­tas (10 de mar­ço e 10 de abril) pos­su­em a mes­ma quan­ti­da­de de quilô­me­tros no con­ges­ti­o­na­men­to (200 km), e que es­se va­lor cor­res­pon­de a 25% da área de mo­ni­to­ra­men­to. Ou se­ja, se qui­ser­mos achar to­da a área con­ges­ti­o­na­da, bas­ta fa­zer­mos uma re­gra de três, aon­de va­mos achar que a área to­tal cor­res­pon­de a 800 km. Co­mo no mês se­guin­te hou­ve um au­men­to de 10% do nú­me­ro de quilô­me­tros mo­ni­to­ra­dos, o nú­me­ro de quilô­me­tros mo­ni­to­ra­dos pas­sou de 800 pa­ra 880. Pa­ra achar­mos a no­va porcentagem, va­mos fa­zer uma no­va com­pa­ra­ção por meio de re­gra de três (880 km equi­va­lem a 100% , as­sim co­mo 200 es­tá pa­ra a porcentagem pro­cu­ra­da), uma re­la­ção que é di­re­ta­men­te pro­por­ci­o­nal, que da­rá co­mo re­sul­ta­do apro­xi­ma­do 23%.

32. C A ques­tão en­vol­ve a aná­li­se dos pos­sí­veis va­lo­res que a va­riá­vel X po­de as­su­mir pa­ra que ha­ja um re­sul­ta­do no uni­ver­so do con­jun­to dos Re­ais. Ana­li­san­do o nu­me­ra­dor, te­mos du­as equações do se­gun­do grau. A pri­mei­ra, após a de­vi­da re­so­lu­ção, vai ge­rar co­mo raí­zes X = 5 e X = 6. Já a se­gun­da equa­ção após a de­vi­da re­so­lu­ção, vai ge­rar co­mo raí­zes X = 7 e X = 8. No de­no­mi­na­dor, após a re­so­lu­ção da equa­ção ir­ra­ci­o­nal, os re­sul­ta­dos com­pre­en­di­dos nos in­ter­va­los são de­fi­ni­dos co­mo X<5 e X>7. Fa­zen­do a com­pa­ra­ção en­tre os três re­sul­ta­dos, che­ga­re­mos à con­clu­são que so­men­te o re­sul­ta­do X = 8 po­de­rá fa­zer par­te da res­pos­ta, pois aten­de si­mul­ta­ne­a­men­te o nu­me­ra­dor e o de­no­mi­na­dor.

33. A No pró­prio enun­ci­a­do a ques­tão já in­for­ma se tra­tar de uma pro­ba­bi­li­da­de. Te­mos que ima­gi­nar as ma­nei­ras pos­sí­veis pa­ra que o peão che­gue à ca­sa que con­tém a bom­ba.

Pri­mei­ra ma­nei­ra: qu­an­do en­con­tra­mos os nú­me­ros nos da­dos 2 e 4, 4 e 2, 1 e 5 ou 5 e 1, ou se­jam 4 pos­si­bi­li­da­des. Co­mo os da­dos fo­ram lan­ça­dos si­mul­ta­ne­a­men­te te­mos 6 x 6 = 36 pos­si­bi­li­da­des, ou se­ja, a pro­ba­bi­li­da­de de is­so acon­te­cer é P = 4/36

Se­gun­da ma­nei­ra: ao lan­çar­mos os da­dos e en­con­tra­mos os nú­me­ros nos da­dos 1 e 1, de­ve­mos jo­gar no­va­men­te e ob­ter 1 e 3, 2 e 2, 3 e 1, ou se­ja, exis­tem 3 pos­si­bi­li­da­des. Co­mo os da­dos fo­ram lan­ça­dos si­mul­ta­ne­a­men­te, te­mos 6 x 6 = 36 pos­si­bi­li­da­des. Apli­can­do o prin­cí­pio mul­ti­pli­ca­ti­vo, te­re­mos 1/36 x 3/36 = 3/1296.

Ter­cei­ra ma­nei­ra: qu­an­do en­con­tra­mos os nú­me­ros nos da­dos 2 e 2, no pri­mei­ro lan­ça­men­to e jo­gan­do no­va­men­te vai apa­re­cer 1 e 1. Co­mo os da­dos fo­ram lan­ça­dos

si­mul­ta­ne­a­men­te te­mos 6 x 6 = 36 pos­si­bi­li­da­des. Apli­can­do o prin­cí­pio mul­ti­pli­ca­ti­vo, te­re­mos 1/36 . 1/36 = 1/1296

Co­mo os eventos são dis­tin­tos, va­mos efe­tu­ar a so­ma dos re­sul­ta­dos ob­ti­dos:

4/36 + 3/1296 + 1/1296= 148/1296= 37/324

(UNICAMP 2017) 34. D No pró­prio enun­ci­a­do, o exer­cí­cio in­di­ca em se tra­tar de uma pro­ba­bi­li­da­de. Te­mos que ima­gi­nar as ma­nei­ras pos­sí­veis pa­ra que a so­ma se­ja me­nor que 3, ou se­ja, qu­an­do apa­re­cem os nú­me­ros nos da­dos 1 e 1, 1 e 2, 2 e 1 ou 2 e 2 no lan­ça­men­to, to­ta­li­zan­do 4 pos­si­bi­li­da­des. Co­mo os da­dos fo­ram lan­ça­dos si­mul­ta­ne­a­men­te, te­mos 6 x 6 = 36 pos­si­bi­li­da­des, ou se­ja, a pro­ba­bi­li­da­de de is­so acon­te­cer é P = 4/36 = 1/9

35. B Ques­tão clás­si­ca de fun­ção. Co­mo a fun­ção pe­de f(1), va­mos fa­zer f(0) pa­ra ter­mos uma re­fe­rên­cia do com­por­ta­men­to da fun­ção. X = 0, 0.f(0) = (0-3)f(0) + 3, lo­go 3f(0) = 3, oca­si­o­nan­do f(0)=1. Fa­zen­do ago­ra f(1), que é o que que­re­mos, te­re­mos, 1.f(1-1) = (1 -3)f(1) +3, lo­go 1.f(0)=(-2)f(1) + 3, co­mo f(0) = 1 te­re­mos que 1 = -2.f(1) +3, em con­sequên­cia f(1) = 1.

36. B Ques­tão de ma­triz. Te­mos que ob­ser­var an­tes de ini­ci­ar a re­so­lu­ção que é da­da uma fun­ção ele­va­da a uma po­tên­cia. Ao re­sol­ver­mos as po­tên­ci­as da ma­triz A, te­re­mos ape­nas du­as pos­si­bi­li­da­des a pri­mei­ra, qu­an­do N for um nú­me­ro par que vai sem­pre nos le­var a ma­triz ori­gi­nal , e a se­gun­da qu­an­do N for ím­par vai nos le­var a ma­triz . Co­mo 2017 é um nú­me­ro im­par, te­re­mos co­mo res­pos­ta .

37. D Ques­tão en­vol­ven­do sis­te­ma li­ne­ar. An­tes de re­sol­vê-la, va­mos ob­ser­var as res­pos­tas. São em re­fe­rên­cia às le­tras a e b. Uma das ma­nei­ras de re­sol­ver­mos é sub­train­do as li­nhas da pri­mei­ra com a se­gun­da, aí te­re­mos co­mo re­sul­ta­do x – z = a – 1. Já na se­gun­da, te­re­mos x – z = 2 – b, co­mo x - z es­tá nas du­as equações ob­ti­das, te­re­mos a -1 = 2-b, oca­si­o­nan­do a + b = 3.

38. A Ques­tão en­vol­ven­do po­linô­mi­os. An­tes de re­sol­vê-la, va­mos ob­ser­var as res­pos­tas. São em re­fe­rên­cia aos ex­po­en­tes n e m, por­tan­to, te­mos que exa­mi­nar qual o com­por­ta­men­to do po­linô­mio em fun­ção dos mes­mos. O pro­ble­ma afir­ma que o res­to da di­vi­são de px por x + 1=3. Va­mos fa­zer en­tão p( 1)=3. Subs­ti­tuin­do no po­linô­mio te­re­mos (-1) + (-1) + 1=3, lo­go

n m (-1) + (-1) =2. Ob­ser­va­mos que o re­sul­ta­do é

n m po­si­ti­vo e a úni­ca ma­nei­ra de ter­mos dois re­sul­ta­dos po­si­ti­vos é qu­an­do n e m fo­rem po­si­ti­vos.

(ENEM 2016 - 1ª apli­ca­ção) 39. D Tér­reo: 4 pes­so­as 1° an­dar: 5 pes­so­as 2° an­dar: 5 pes­so­as 3° an­dar: 5 pes­so­as 4° an­dar: 7 pes­so­as 5° an­dar: 3 pes­so­as A mo­da do nú­me­ro de pes­so­as é igual a 5

40. D Ba­se­a­do na ta­be­la, te­mos: 1.270.729 pes­so­as vi­ven­do em capital em 1940 na re­gião Nor­des­te. Já em 2000, es­se nú­me­ro é igual a 10.162.346. O au­men­to per­cen­tu­al é da­do por 10.162.346 - 1.270.729/ 1.270.729 = 6,99, ou se­ja, apro­xi­ma­da­men­te 700%.

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