马尔可夫链在股价预测中的应用分析

张 溪（北京物资学院，北京１０１１４９）

［摘要］在当前股票市场的研究背景下，通过对马尔可夫链模型的理论产生以及发展过程和基本原理进行了介绍，并对相关的指数波动状况进行了预测，为马尔可夫模型的应用拓广提供了参考。［关键词］马尔可夫链；股价预测；概率转移矩阵ＤＯＩ １０  １３９３９／ ｊ  ｃｎｋｉ  ｚｇｓｃ  ２０１７  １８  ０７９ ［ ］

１ 引 言

由于我国的资本市场不发达，在实际利率为负的情况下，投资股市成为主流，从而便面临着因为股价波动而带来的市场价格风险。由于大盘指数往往是随机波动的，我们可以通过分析过去信息来模拟预测出大盘未来的变动趋势，这样就可以为分析股市提供有价值的信息。而在此分析过程中，马尔可夫模型便是有效的分析手段。

２马尔可夫基本理论

２ １基本定义马尔可夫假设： Ｓ，如果设定某个系统在其随机过程中有不同的状态 而且在各个状态分布中某个状态概率分布只与其前一个状态相Ｐ（ Ｓｔ／ Ｓ２， Ｓ３，… Ｓｔ－ １） ＝ Ｐ Ｓｔ／ １）关，即 （ 而也即是说在已知“现在”的条件下， “将来”与“过去”无关即呈现马尔可夫性，也就形成了马尔可夫过程。可见马尔可夫是描述各种状态与状态之间相互转换关系的理论。用数学公Ｘ（ ｔ）， ｔ∈ Ｔ｝式来表达就是：假设某一个随机过程 ｛ 的状Ｓ， ｎ≥ ２， ＞ ＞… ＞ ∈ Ｔ，态空间为 对于任意正整数Ｘ（ ）＝ ｘｉ∈ Ｓ， ｉ＝ １，２，３，…， ｎ－ １， Ｘ（ ， 满足在 ）的条Ｘ（ １）＝件 １下的条件分布函数，即Ｐ｛ Ｘ（ ）≤ ｘｎ Ｘ（ １）＝ Ｘ（ ２）＝ Ｘ（ ）＝ １， ２，… ｘ１｝＝ Ｐ｛ Ｘ（ ））≤ ｘｎ Ｘ（ １）＝ Ｘ １｝则称此随机过程 ｛ ｔ）， ｔ∈ Ｔ｝ （ 为马尔可夫过程。Ｉ Ｔ根据状态空间和时间参数集是连续的还是分散的可以分为四类，而其中马尔可夫链是以马尔可夫性为核心的，同时在其系统中的各个随机过程状态均是分散的。因此，马Ｘｉ， ｔ∈ Ｔ｝尔可夫链可以描述为：如果随机过程 ｛ 满足条件： Ｘｉ ＝ ｔ ｘｉ， ｔ＋ １ ，即过程在时刻 处于状态 那么下个时刻ｘｊ Ｐｉｊ（ ｔ）：处于的概率就是固定的Ｐｉｊ（ ｔ）＝ Ｐ｛ Ｘｔ＋ １ ＝ ｜ Ｘ１ ＝ Ｘｔ－ １ ＝ １， Ｘｔ＝ ｘｉ｝＝ Ｐ｛ Ｘｔ＋ １ ＝ Ｘｔ）＝ ｝则这个过程被称为马尔可夫链，简称马氏链。２ ２基本特点１） Ｔ０ （无后效性：在时刻所处的状态为已知的条件Ｔ＞下，过程在时刻 所处状态的条件分布，与过程在Ｔ０时刻之前处的状态无关的特性称为马尔可夫性或无后效性。 ２） （平稳分布性：假设马尔可夫链的状态概率分布为η（ ｉ）， ｉ∈ Ｉ｝， Ｉ Ｐ＝ ｛ 为状态空间，矩阵 为状态转移矩阵， ｉ∈ Ｉ， ｊ∈ Ｉ， Ｉ其中 为状态空间。则此概率分布与转移矩阵一∞ η( ｉ＝ ｊｐｉｊ，定满足： ) ( ) 即马尔可夫链的平稳分布性。ｊ＝ １ ２  ３自回归模型ｎ马尔可夫预测模型用数学可以描述为：假设系统有 Ｓ个状态且各状态间互不相容，系统的初始状态向量为０） ＝ Ｓ１ ０）， Ｓ２ ０），…， Ｓｊ ０），…， Ｓｊ ０）， （ （ （ （ （ 其中Ｓｊ ０） ｊ ｋ （为该系统处于状态的初始概率。经过 步状态转ｊ Ｓｊ ｋ），移，系统处于状态的概率为 （ 则经过状态转以后Ｓ（ ｋ） ＝｜ Ｓ１ ｋ）， Ｓ２ ｋ），…， Ｓｊ ｋ），的状态向量为 （ （ （ Ｓｎ ｋ） ｜， Ｓｊ ｋ） ｋ ｊ …， （ 其中 （ 为该系统在时刻处于状态的概率。则马尔可夫预测模型可以表示为： Ｐ１１ Ｐ１２ Ｐ１ｎ … Ｐ２１ Ｐ２２ Ｐ２ｎ Ｓ（ ｋ）＝ Ｓ（ ｋ－ １） Ｐ＝ Ｓ（ ｋ－ １） ＝ … · … … … … Ｐｎ１ Ｐｎ２ Ｐ … ｎｎ Ｐ１１ Ｐ１２ Ｐ１ｎ … Ｐ２１ Ｐ２２ Ｐ２ｎ Ｓ（ ０） Ｐｋ ＝ Ｓ（ ０） … · … … … … Ｐｎ１ Ｐｎ２ Ｐ … ｎｎ

３模型的建立与实证过程

３ １模型的建立Ｘ对于股市大盘而言，令 ｎ）表示表示股市大盘点数在（ ｎ Ｘ Ｘ ｎ≥ ０）第天的收盘价，显然 ｎ）是一个随机变量， ｎ）（ 是（ （一个随机过程，这里假定股市大盘具有无后效性与齐次性。３００ ２０１６ ２ ２８ ４ ２７我们选取了沪深 指数 年 月 日至 月 日共４０ ３０个交易日收盘价变动情况。同时根据股指涨跌 点为划分依据，分为上升、持平和下降三种状态，而且将三种状态３” ２” １”分别用数字 “““来标记，也即每个数字代表了３０点。３ ２实证检验过程３００ ２０１６ ２ ２７ ４ ２４下面整理沪深 大盘指数 年 月 日至 月４０日一共个交易日内的数据如下表所示。１由此表可知，最后一个交易日内大盘状态为 并且无状１ ８－ １＝ ７ ２ １３态转移，因此出现 的次数为 次， 的次数为３ １８次，的次数为 次。

１ １ ０ Ｐ１１ ＝ ０由 转为 的次数为次，故转移概率为：

１ ２ ３由 转为 的次数为次，故转移概率为： Ｐ１２ ＝ ＝０  ４２９

１ ３ ４由 转为 的次数为次，故转移概率为： Ｐ１３ ＝ ＝０  ５７１

２ １ ５由 转为 的次数为次，故转移概率为：

５ Ｐ２１ ＝

１３＝ ０  ３８５ ２ ２ ２由 转为 的次数为次，故转移概率为：

２ Ｐ２２ ＝

１３＝ ０  １５４ ２ ３ ６由 转为 的次数为次，故转移概率为：

６ Ｐ２３ ＝

１３＝ ０  ４６１ ３ １ ３由 转为 的次数为次，故转移概率为： Ｐ１１ Ｐ１２ Ｐ１３ Ｐ＝ Ｐ２１ Ｐ２２ Ｐ２３ ＝ Ｐ３１ Ｐ３２ Ｐ ３３

０

０ ０  ４２９ ０  ５７１ ５ ２ ６ ＝ ０  ３８５ ０  １５４ ０  ４６１ １３ １３ １３ ０  １６７ ０  ３８９ ０  ４４４ ３ ７ ８ １８ １８ １８ ３ Ｐ３１ ＝ １８＝ ０  １６７ ７ ３ ２ ７ Ｐ３２ ＝ ＝ １８由 转为 的次数为次，故转移概率为： ０  ３８９ ８ ３ ３ ８ Ｐ３３ ＝ １８＝由 转为 的次数为次，故转移概率为： ０  ４４４因此转移矩阵为： Ｐ（ １） ＝ Ｐ（ ０） Ｐ＝ １ ０ ０） （ ０ ０  ４２９ ０  ５７１ { ４６１} ０  ３８５ ０  １５４ ０  ＝ ０ ０  ４２９ ０  ５７１） （ ０  １６７ ０  ３８９ ０  ４４４ ４ ２４ Ｐ（ ０） ＝月日沪深大盘收盘价为初始状态， １ ０ ０） （ ２０１６ ４ ２４这表明 年 月日之后的第一个交易日沪深大盘０， ４２  ９％，指数下跌的可能性为 持平的可能性为 上涨的可５７  １％能性为 。第二个交易日大盘指数状态概率向量为： Ｐ（ ２）＝ Ｐ（ １） Ｐ＝ Ｐ（ ０） Ｐ２ ＝（ ３０  ２６１ ０  ２８８ ０  ４５１） · · …… ｎ第个交易日大盘指数状态概率向量为： Ｐ（ ｎ）＝ Ｐ（ ０） Ｐｎ从上面结果可知，两种预测方法所得结论一致，也就是３００随着交易日不断增加并且达到一定程度，沪深 指数最终２９  ３％ ３７  ５％ ３３  ２％以 的概率下跌，以 的概率持平，以 的３３  ２％，概率上涨。虽然上涨的概率预测为 但是不能由此判定大盘处于上涨趋势，应该保持谨慎的态度，只有当股市５０％大盘的指数上涨的概率超过 时才可以认为大盘指数上涨的可能性比较大。但是由第一个交易日上涨概率是５７  １％，可见上涨的可能性比较大。总体来看，只要交易日足够多，各个状态基本都是相同的，各个状态的概率基本持３００ ３７  ５％ ３０平。其中沪深 指数以 的概率持平，在 点内波动，说明大盘仍以调整为主，并且伴随着向下的趋势下跌。

４总结与展望

本文详细说明了马尔可夫的相关理论，包括马尔可夫过程的定义、特点及马尔可夫模型和计算方法，并且在马尔可夫预测模型的基础上介绍了基于马尔可夫状态转换条件上的自回归模型。

参考文献： １  － Ｊ ． ［］韩东 时间序列马尔可夫链组合预测模型 ［ ］ 数理统２０１３： ７５－ ７８ 计与管理：增刊， ２  Ｊ． ［］叶宗文股票价格的马氏链预测法 ［ ］重庆师范大学学２０１４（ ３）： ６４－ ６６ 报， ３ Ｈａｍｉｌｔｏｎｊｄ  Ｔｉｍｅｓｅｒｉｅｓａｎａｌｙｓｉｓ Ｍ ． ＮＪ： Ｐｒｉｎｃｅｔｏｎｕｎｉ  ［］ ［ ］ ｖｅｒｓｉｔｙｐｒｅｓｓ， ２０１４ 檶檶檶檶檶檶檶檶檶１９９２—）， ［作者简介］张溪 （ 女，汉族，河北人，金融学专业研究生。