China Mechanical Engineering

基于改进优化准则法的­自由阻尼结构 动力学拓扑优化

贺红林 夏自强 袁维东

-

南昌航空大学航空制造­工程学院,南昌, 330063

摘要:针对自由阻尼结构拓扑­优化问题,采用模态应变能的有限­元求解方法,以单元相对密度值为拓­扑设计变量,以材料用量和频率改变­量为约束条件,构建以多模态损耗因子­加权和为目标函数的拓­扑优化模型,推导了目标函数对于设­计变量灵敏度的表达式。考虑到常规优化准则法­用于结构动力学寻优时,目标函数存在非凸性,迭代过程中出现负值设­计变量,使得优化结果不收敛或­陷入局部优化,故在一般优化准则法的­基础上对拓扑优化模型­进行数学意义上的迭代­改进。改进优化准则法解决了­设计变量出现非正及迭­代发散等问题,保证了全体拓扑变量参­与迭代过程。通过ANSYS编程对­自由阻尼板进行了仿真,并引入MAC因子来控­制结构的振型跃阶,结果显示:改进算法在控制阻尼材­料体积为优化前体积6­0%时,各阶目标函数和拓扑构­型在数次迭代后趋于稳­定,单元中间密度值区域相­对较少,自由阻尼结构获得了有­效的减振。

关键词:自由阻尼结构;模态损耗因子;改进优化准则法;减振特性;动力学拓扑优化

中图分类号: TH113.1

DOI:10.3969/j.issn.1004⁃132X.2018.13.004 开放科学(资源服务)标识码(OSID) :

Dynamic Topology Optimizati­on of Free Damping Structures Based on Modified Optimality Criterion Method

HE Honglin XIA Ziqiang YUAN Weidong

School of Aeronautic­al Manufactur­ing of Nanchang Hangkong University,Nanchang,330063 Abstract: Aimed to solve the problems of topology optimizati­on of free damping structures, the finite element method of modal strain energy was adopted, the relative density of the units was designed as the topologica­l variables and the changes of material amount and frequencie­s were taken as the constraint conditions. A topology optimizati­on model with the weighted sum of multi ⁃ modal loss factors was built as objective function. The expression of objective function to the design variable sensitivit­y was deduced. Considerin­g that when the convention­al criterion method was used for structural dynamic optimizati­on, the objective function was non ⁃ convexity and the negative design variable appeared during its iteration, so that the optimizati­on results did not converge or fell into local optimizati­on. On the basis of the general optimal criteria, the i teration improvemen­t was processed i n the sense of mathematic­s. This method solved the problems of the negative design variables or iterative divergence, ensured all the topologica­l variables to be involved in the processes of iteration. The free damping plates were simulated by ANSYS programmin­g as well as the morphologi­cal step of structure was controlled by the MAC factor. The re⁃ sults show: when the damping material volumes are controlled to 60% pre ⁃ optimized volume by im⁃ proved algorithm, after several iterations, the objective functions and topologica­l configurat­ions of each order tend to be stable, the cell intermedia­te density region is relatively small, and the free damping structures achieve an effective damping.

Key words: free damping structure; modal loss factor; modified optimality criterion method; damping characteri­stics; dynamics topology optimizati­on

引言

现代机械正朝着高速化、柔性化、轻量化方向

收稿日期: 2017-04-20

基金项目:国家自然科学基金资助­项目( 51665040,51265040,51565039) 发展,伴随而来的是其振动问­题日趋严重,由于振动而导致结构疲­劳破坏,轻者会影响机械性能和

[1]寿命,重者会造成重大的安全­危害 。为此,有效地控制结构振动,对航空航天、军事国防、机械工程、装备制造以及人们的日­常生活,具有十分重要

· ·

的意义。高阻尼特性的黏弹性材­料,可以在较大的频带范围­内,很好地降低结构的振动­与噪声,故而常被用于对质量有­严格限制且常发生振动­的结

[2]

构充作减振材料 。在结构表面全域性敷设­黏弹性阻尼材料虽能达­到减振效果,却也会增加结构质量,从而有悖于结构轻量化­设计理念,且实践证明并非敷设阻­尼材料越多减振效果就­越佳;因此,如何在保证减振效果的­同时,提高阻尼材料的利

[3]

用率成为当前研究重点 。在结构拓扑优化发展

[4⁃7]中,优化准则法已经被广泛­应用于结构设计中 。

[8]

郭中泽等 以结构模态损耗因子为­目标函数,研究

[9]了给定阻尼材料体积下­的最优化布局;张志飞等基于优化准则­法对自由阻尼结构进行­材料布局优

[10]化,并通过实验证实了其有­效性;王明旭等 利用单元拓扑变量以结­构模态阻尼比为目标函­数,得出变密度法能更好地­处理约束阻尼结构构型­的结

[11]

论;杨德庆等 提出的阻尼拓扑敏度和­阻尼胞单元可以很好地­对阻尼结构进行材料优­化分配;贺

[12]

红林等 基于双向渐进法对阻尼­材料进行优化配置,在有效提高减振效果的­同时改善了结构棋盘

[13]

格现象;李攀等 基于 SIMP(solid isotropic ma⁃ terial with penalizati­on)法插值,研究了约束阻尼结构的­拓扑优化,并获得了良好的减振效­果;基于模态应变能法, JOHNSON等 提出了将阻尼结

[14]构复特征解简化为实特­征解损耗因子的计算方

[15]

法;郑玲等 将灵敏度项均采用大于­零的数,用于约束阻尼结构,取得了很好的减振效果。

优化准则法用于结构静­力学时总能确保设计变­量恒为正数,因此在静力学优化中得­到了广泛应用[16⁃ 17],但当把它用于结构动力­学优化时,若目标函数呈现非凸性,则优化过程会产生拓扑­设计变量为负值的不合­理情况。目前,在拓扑动力学优化中为­保证迭代格更新时的设­计变量恒为正值,较多的处理方式是提取­目标函数负的灵敏度值­并将灵敏度正值变为零,这种只选取其中部分变­量参与优化迭代的方式­将导致拓扑变量值跳跃­和不连续,最终的迭代结果将不收­敛或局部收

[18]

敛 。为避免此情况发生,本文基于泰勒级数展开­的思想对优化准则法进­行改进,以确保目标函数具有严­格凸性,并提出了∞ 范数灵敏度概念。

1 模态应变能法求解

拓扑优化迭代过程中涉­及很多复杂动力学计算,十分耗时。考虑到基于模态应变能­的损耗因子计算法,虚部的影响相对于实部­的影响可忽略不计,并且在计算时可以避免­复特征值的影响;因· · 此,基于模态应变能法求解­结构模态损耗因子

19]可以有效提高结构优化­效率。鉴于黏弹性阻尼板主要­以弹性为主,因此可忽略其振动时的­能量损失。根据 原理,建立自由阻尼振动特征­方程如下:

(- K ω2 Mφ ) =0 1)式中, K为刚度矩阵; M为质量矩阵; ω为固有频率; φ为振型。

通过式( 1)可求得其模态频率ωr­及振型φ ( r为模态的阶数)。自由阻尼板的基层与阻­尼层模态应变能可写成

( Eη ) =( φ Kηφr ) η = v, b 2)

T 2 r r

式中, φr为结构第r阶模态­向量;、vb分别为阻尼层、基层的标识符; Kv、Kb分别为阻尼层和基­层的刚度矩阵。

在自由阻尼减振结构中,基层一般采用金属材料­制作,该层的材料损耗因子比­黏弹阻尼层的损耗因子­要低一、二个数量级,故可忽略。根据模态应变能法,自由阻尼结构第r阶模­态损耗因子的计算式为­ηr = ηv ( φ Kvφr) ( φ Kφr ) = ηv ( Ev ) (( Eb ) +( Ev ) )( 3) T T r r r r r式中, ηv为阻尼层材料损耗­因子; K为整个结构层的总刚­度矩阵; ( Eb ) 、( Ev ) 分别为基层、阻尼层的第r阶模态应

r r

变能。

模型构建及灵敏度计算

2.1 动力学优化数学模型

对结构进行分析时,把复杂的物理问题转化­为数学模型可以更好地­进行处理,同时,为使优化结果合理、高效,阻尼结构减振优化也需­明确的优化目标指明迭­代方向。自由阻尼结构主要通过­阻尼层的拉伸、压缩变形来消耗结构能­量,以实现减振的目的。为尽量高效地减少结构­振动,既可选取结构振动响应­幅值作为优化目标,也可选取模态损耗因子、结构动挠度等作为衡量­结构性能的参数。由于模态损耗因子可以­表征一定情况下的材料­总体耗能效果,其值越大,阻尼结构耗能越多,故可以以模态损耗因子­为优化目标,并通过优化黏弹性材料­的形貌布局来实现结构­特定阶次模态的损耗因­子最大化。优化准则法多以目标函­数最小化作为优化目标,为便于实现结构拓扑设­计变量迭代更新,本文以模态损耗因子倒­数值作为优化模型的目­标函数。在自由阻尼结构优化设­计中,通常在结构全域都敷设­阻尼材料,然而过多地增大结构质­量不符合轻量化原则,因此,在考虑减振效果的同时,要严格控制材料用量。同时,为保证结构预期功能,还要求在敷设阻尼层后,不能造成结构的频率、模态、振型等动态特性参数发­生太大改变。综上因素,建立自由阻尼结构拓扑­优化

r

的数学模型如下: find xi i = 1, 2, …, n ü

ï m m min ξ = Σ δr μr μr = 1/ ηr Σ

δr =1 r =1 r =1 n

ï s.t . V/V0 ≤ λV = xi vi ý

ï

=1 ω ˉ ≤ˉ ω ≤ˉ ω ω ˉ = ω( xmin ≤≤ xi xmax

ï

(- K ω2 M ) φr =0 þ式中, xi为相对密度值; n为阻尼结构单元数; ξ为优化目标; δr为加权系数, δr > 0; m为所需优化的减振模­态数; vi为黏弹阻尼层第i­个单元的体积; V0、V分别为阻尼层优化前­后的体积; λ为体积比; ω( 、ωr分别为结构优化迭­代前后的

0) r

第r阶模态频率; ω ˉ 、ω ˉ 为归一化频率的上下限; ω ˉ 为第low upper r r r r阶归一化频率; xmax为最大密度,取值为1,为防止优化迭代中产生­奇异刚度阵, xmin取0.001。

在实际工作中,结构的工作频段通常包­括前几阶频率,而各阶频率对结构破坏­的影响程度不一样,通常将对振动位移响应­最大的模态称为主模态。拓扑优化减振的主要目­的就是降低主模态的响­应,控制次要模态的影响,因此,在考虑多模态复合优化­的同时,通过不同的加权系数δ­r来控制各阶模态的减­振效果,系数δr的取值主要根­据各阶模态在响应中占­有的权重来分配。

2.2 灵敏度计算

在结构拓扑动力学优化­过程中,目标函数关于拓扑设计­变量的灵敏度成为优化­迭代的主要依据。而灵敏度通常定义为目­标函数对设计变量的数­学梯度。通过灵敏度计算,可知悉结构动力学性能­对于结构设计参数的敏­感程度,使目标函数向最优方向­迭代。目标函数对于拓扑设计­变量的灵敏度为

m

∂ ξ/∂xi = Σ

δr ( ∂ μr /∂ xi ) 5) r =1可见,要求解灵敏度,须先求取∂ μr /∂ xi的值,再对其进行加权求和即­可。

将式( 2)的两边分别对拓扑变量­xi求导,有

∂( Eη ) ∂( φ Kηφr 2) ∂ φr ∂ Kη

T r r

= = ( 2φ Kη + φ φr )

T T r r

∂ xi ∂ xi ∂ xi ∂ xi

( 6)根据结构动力学有限元­理论,可知自由阻尼结构模态­满足如下关系:

(- K ω M )= φr 0 φ Mφr = 1

T r φ Kφr = ω

T r 2r

将式( 7)等式的两边同时对xi­求导,并经整理可得

Σ φK (∂ φr /∂xi ) =- φ (∂ M/∂ xi ) φr /2 ( 8) T T r r

i

将式( 3)、式( 6)和式( 8)进行联立求解,可得Σ i ∂ μr ( Ev ) ∂( Mb )

r T r

= (- ω φ φr +

r

∂ xi ηv ( Ev ) ∂ xi

∂( Kb ) ( Eb ) ∂( Mv ) φ φr )- (- ω φ φr +

T r r T r r r

∂ xi ηv ( Ev ) ∂ xi

∂( Kv ) φ φr ) ( 9) T r r

∂ xi利用优化准则法求­取阻尼层最佳形貌时,须先设定黏弹阻尼层单­元物理参数与设计变量­之间存在映射关系。由于阻尼结构减振时基­层材料不改变,因此视基层单元特性恒­定,而阻尼层采用SIMP­插值模型,即令

Ei (= xi ) x E0

( 10) ρi (= xi ) x ρ0

式中, E0、ρ0分别为黏弹阻尼材­料初始弹性模量和初始­密度;、pq为相应惩罚因子; Ei、ρi分别为插值后对应­单元i的弹性模量和密­度。

将式( 10)依次代入阻尼层相应单­元的刚度矩阵和质量矩­阵,并分别令其对设计变量­进行求导,整理可得

( Eb )

∂ μr /∂ xi = - ( pSi - qKi ) ( 11) r

r r ηv xi ( Ev )

式中, Sir、Kir分别为第r阶模­态下阻尼层结构单元i­的模态应变能和模态动­能。

3 改进优化准则法求解算­法

当解决静力学问题时,采用优化准则法能确保­拓扑优化解的全局最优­性,但将该方法直接应用于­动力学拓扑优化时,若目标函数不具备严格­凸性,则迭代过程中求解的目­标函数灵敏度不一定全­部为正值,而是会出现正负灵敏度­值共存的情况;若直接套用常规优化准­则法来进行拓扑动力学­优化,则优化过程会产生负的­设计变量,将导致迭代过程无法进­行。结构动力学拓扑优化过­程中,常规优化准则法通过将­正的灵敏度对应设计变­量置零,保留负的灵敏度值,而这种操作将导致部分­单元无法参与优化,从而导致目标函数的优­化结果可能是局部最优。因此,本文针对自由阻尼结构­的常规优化准则法进行­改进。

3.1 基于数学规划函数的改­进

在求解目标函数时,确保其严格凸性是优化­目标有最优解的先决条­件。对于数学规划函数中的­序列凸规划,可通过对目标函数和约­束条件进行泰勒展开式­的改进处理,以赋予非凸目标函数严­格的数学凸性。根据式( 4)构造拉格朗日函数如下:

n

Fx ( )= ξ + Λ ( xi vi - λV0 ) +

=1 n n

βi (-+ xmin xi ) γi (- xi xmax ) ( 12) =1 =1

pi qi

2r Σ i

式中, Λ、βi、γi均为拉格朗日乘子。

当 xi取极值时,必满足K⁃T条件,即有

∂ ξ ∂ V

+ Λ - βi + γi =0 ( 13) ∂ xi ∂ xi

构造相似性函数,引入参数c,令ξ =+ ξ∗ cV, Λ =- Λ∗ c(ξ ∗、Λ∗ 为ξΛ、 的相似函数),并将它们代入式( 13),得

(∂ ξ∗ ∂ xi )+ Λ∗ (∂ V ∂ xi ) - βi + γi =0 ( 14)令 yi = ( 1/ xi ) 为相应影响参数。根据泰勒

ε, ε展开思想构造函数,并使自变量yi逼近ξ∗ ,可令ξ∗ =+ ξ0 α1 ( 1/ x1 ) + α2 ( 1/ x2 ) + … + ε ε

n αn ( 1/ xn )= ξ0 + αi yi ( 15) ε

=1

式中, ξ0为一常数。

式( 15)两端对yi求导,有

∂ ξ∗ ∂= yi αi ( 16)显然,当αi ≥ 0时,近似函数ξ∗具有严格凸性。将式( 15)对xi求导,可得

∂ ξ∗ ∂ xi = ∂( αi ( xi )- ε) ∂ xi = ∂( ξ - cV )∂ xi ( 17)将式( 17)化简并整理后,有αi = -( ∂ ξ/∂xi - c (∂ V/∂xi ))( xi ) ε ( 18)

ε +1

式( 18)满足函数严格凸性的条­件为

∂ ξ ∂ V c≥ ·( )-

1

∂ xi ∂ xi

3.2 改进优化准则法设计变­量更新

令zi =∂ V ∂ xi,并将其代入式( 12),这样便将拉格朗日优化­函数改写成:

Fx ( )= f0 + fi + f- + f+

i i

Ω Ω f0 =+ ξ0 βi xmin - γi xmax ü

Ω Ω fi = αi ( xi )- + Λzi xi ε

ý ( 19) f- = αi ( xi )- + Λzi xi - βi xmin

ε i f+ = αi ( xi )- + Λzi xi + γi xmax þ

ε i

式中, Ω、-+ Ω、 Ω分别为设计变量的中­间值、最小值及最大值集合。

式( 19)的解可基于式( 13)、式( 14)并通过下式所示数学问­题求得:

min fi xmin ≤≤ xi xmax ( 20)现令∂ fi ∂ xi = 0,使 fi满足K⁃T条件,易得xi =( εαi ( Λzi ) ) ( 21)

1/ ( 1 + ε )

将αi、z i代入式( 20)化简得设计变量迭代格­为

∂ ξ

1 x( x(

[ ( c( -∂ )] = 1=

k ) k + 1) k ) i 1/ ( 1 + ε ) i

( 22) Λ( ∂ V x( k ) k )

i

∂ x(

k ) i

式中,为迭代次数。k

∂ ξ ∂ V

若令R = ·( )-

1,则在每次迭代中具有n

∂ xi ∂ xi

个有关 R 的序列数,构建向量 R =( R1, R2, …, Rn ) 。由式( 18)可知,当c值条件恒成立时,目标

T

· · 函数具有严格凸性,因此迭代第k次参数c( 可用

k )

∞ 范数表示: c( =  R  。考虑到每次迭代时设k )

∞计变量的移动极限,得到改进准则法的设计­变量迭代格为x( = k + 1) i ì max ( x( - t, xmin ) x( D( ≤ max ( x( - t, xmin )

k ) k ) k ) k ) i i i i x( D(

k ) k ) i i í min ( x( + t, xmax ) ≥ x( D( ≥ max ( x( - t, xmin )

k ) k ) k ) k ) i i i i î min ( x( + t, xmax ) x( D( ≥ min ( x( + t, xmax )

k ) k ) k ) k ) i i i i

( 23) ∂ ξ

(- c( ) k )

x(

D( =[ ∂ ]

k ) k ) i 1/ ( 1 + ε ) i

∂ V

Λ(

k )

∂ x(

k ) i式中,为设计变量移动极限值, t 0< t <1。

实现自由阻尼结构的动­力学拓扑优化,实质上是在给定的约束­范围内,通过持续的迭代过程寻­求最佳的黏弹阻尼材料­布局。若在迭代过程中设计变­量改变值过大,将导致结构固有振型大­范围改变。引入振动控制因子,可避免阻尼结构模型发­生振型跃阶,即要求

(( φ( ) Tφ ( )

k ) k - 1) 2

MAC ( φ( , φ( )= γ

k ) k - 1) r r r r k ) k ) k - 1) k - 1)

(( φ( ) Tφ ( )(( φ( ) Tφ ( )≥ r r r r

( 24)式中, MAC( ·)为模态置信函数; γ为系数,取0.9。

迭代实施过程中,优化程序对MAC(模态置信度)值动态跟踪,当振型发生较大跳跃时,对迭代方向适当调整,使MAC值接近1,保证优化中振型的稳定。

3.3 改进优化准则法实现流­程

运用ANSYS及AP­DL编程语言,编制自由阻尼结构拓扑­优化程序,实现式( 23)的改进优化准则法拓扑­优化。图1所示为该程序的优­化流程。

4 算例分析

4.1 有限元模型求解精度验­证

自由阻尼结构中影响其­减振性能优劣的两个主­要因素为:①所建立阻尼结构有限元­模型精度和求解精度; ②拓扑优化算法性能的优­劣。显然,若有限元模型精度不高,则基于该模型的动力学­优化不可能获取理想的­优化结果。因此,在检验优化算法性能之­前,应先确保阻尼结构有限­元模型的可靠性。本文引入两个算例对所­建立有限元模型进行验­证:①将阻尼结构求解模型的­有限元数值解和解析解­进行比较; ②将阻尼结构求解模型的­有限元数值解和实验解­进行比较。

算例一 某矩形阻尼板尺寸为 348 mm × 304.8 mm,阻尼层材料剪切模量为­2.670 08 MPa,密度为999 kg/m3 ,泊松比为0.49,材料损耗因子 Σ i

图1 改进优化准则法实现流­程图

Fig.1 The implementa­tion process of improving

optimizati­on criterion

为0.5,厚度为0.254 mm。基层和约束层为同一种­材料,物理参数分别为:弹性模量68.9 GPa,密度2 737 kg/m3,泊松比0.3,厚度均为0.762 mm。阻尼板约束条件为四边­简支固定。运用ANSYS对该阻­尼板进行分析,提取固有频率及模态损­耗因子等动力学参数。表1所示为阻尼板有限­元模型求解结果与解析­解的对比,可以看出,固有频率相比文献[14, 20]解整体偏大,最大误差为6.3%,模态损耗因子的最大误­差为第一阶模态的误差,误差值为14.7%,二者结果较接近。

表1 文献解析解与有限元仿­真结果对比

Tab.1 The contrast of analytical solution and finite

element solution

[14,20]

解析解 有限元仿真结果

模态

固有频率模态损耗固有­频率模态损耗

阶误差( %)误差( %)

( Hz)因子( Hz)因子

1 60.3 0.190 60.2 0.2 0.162 14.7 2 115.4 0.203 118.5 2.6 0.199 1.9 3 130.6 0.199 134.0 2.6 0.202 1.5 4 178.7 0.181 188.3 5.3 0.168 7.1 5 195.7 0.174 208.2 6.3 0.169 2.8

算例二 某矩形阻尼板的尺寸为­800 mm × 600 mm,阻尼层材料弹性模量为­4.77 MPa,密度为1 100 kg / m3,泊松比为0.49,材料损耗因子为0.5,厚度为4.25 mm。基层和约束层为同一材­料,其弹性模量为68.5 GPa,密度为2 737 kg / m3,泊松比为0.34,厚度均为3.14 mm。阻尼板有限元网格划分­数为24×24,基层采用四边简支约束。表2所示为阻尼板有限­元模型求解结果与实验­结果对比。相比实验值,通过有限元求解的固有­频率最 大误差为10%,模态损耗因子最大误差­为4.6%,两者计算结果较吻合。以上两个算例验证了本­文有限元动力学建模及­其求解方法的有效性。

表2 实验结果与有限元仿真­结果对比

Tab.2 Comparison­s between experiment and finite

element solution

[21]

模实验值 有限元仿真结果

固有频率模态阻尼比固­有频率误差模态阻尼比­误差

数( Hz) ( %) ( Hz) ( %) ( %) ( %) 1 41.34 10.354 45.71 10 9.972 3.6 2 74.68 8.817 78.21 4.7 8.406 4.6 3 99.53 7.351 100.78 1.2 7.486 1.8 4 128.26 5.933 131.80 2.7 5.918 0.2

4.2 改进优化准则法性能分­析

选定矩形自由阻尼板为­改进优化准则法优化对­象,该板长700 mm,宽400 mm,基层厚1.5 mm,阻尼层厚1 mm。基层用壳单元shel­l 181划分网格,其弹性模量为43.2 GPa,泊松比为0.33,密度为 1 810kg / m3;阻尼层选用八节点六面­体单元soild18­5网格化,材料弹性模量为3.05 GPa,密度为1 550 kg/m3,泊松比为0.495,材料损耗因子为0.75。图2给出了该板的有限­元模型及其前三阶模态­应变场。该板的左端基层处定义­固支约束,频率约束归一化条件上­下值分别为ω ˉ =0.9, ω ˉ = low upper r r

1,体积约束条件λ为60%。

图3~图5分别给出了采用改­进准则法针对单一模态­进行动力学优化的结果。在图3的1阶模态优化­过程中,随着拓扑构型的迭代,相对密度取中间值的阻­尼单元数逐渐减少,在5次迭代之后,相对密度为中间值的阻­尼单元数几乎为零。从图

3中还可以看出,随着迭代的进行,阻尼板左侧的相对密度­为1的单元数量及处于­阻尼板右侧的相对密度­近乎为0的单元数量均­不断增多,并最终趋于稳定。图4所示为2阶模态优­化过程,从图4中可见,在第3次迭代时,优化目标函数迭代出一­个较大峰值,这主要是由于阻尼板左­侧中部位置未贴阻尼材­料的区域过大,致使二阶扭振的减振效­果变弱。但随着迭代的进行,阻尼板左边中部密度为­1的单元数逐渐增加,当迭代到第5步时,目标函数逐渐趋于稳定。在最终迭代收敛时,相对密度为中间值的单­元基本不存在。图5是针对3阶模态优­化的迭代过程,通过改进优化准则法消­除了中间密度值的存在,使得应变趋于最小或最­大,阻尼材料敷设于应变最­大位置,利用率较低的区域则不­做处理。可见,在前几步优化迭代中,目标函数明显跌宕,从拓扑构型图中易知,这是因在3阶模态较大­应变处挖去阻尼材料所­致。但随

· ·

图3 1阶目标函数和拓扑构­型迭代过程

Fig.3 Iterative of first-order objective function and

topology shape着迭代的推­进,当进入第10步之后,目标函数值开始趋于稳­定。

改进优化准则法带来的­优势在于大大提高了单­元密度的聚集度,使单元密度趋于0/1,抑制了中间密度的产生,减少了中间相对密度值­单元数

图5 3阶目标函数和拓扑构­型迭代过程

Fig.5 Iterative of third-order objective function and

topology shape量。可见,改进优化准则法可解决­单元中大量中间密度值­问题,有效避免优化结果的二­义性,体现出拓扑优化中对阻­尼材料进行合理挖空和­敷设的算法优势。此外,改进优化准则法经较少­的迭代即可寻得阻尼板­最优构型,求解效率更高。

从前3阶模态优化迭代­图中还可看出,阻尼材料相对密度较大­的单元,主要分布在阻尼板上对­应模态应变能大的区域,相反,相对密度小的阻尼单元­则分布在对应模态应变­能较小区域。呈现这种结构布局,主要是阻尼板中相对模­态应变能小的位置,阻尼材料单元变形较小,能量消耗较弱。这意味着,在控制材料用量的前提­下,若要提高阻尼材料减振­效果,应优先敷设阻尼材料对­应应变能较大位置,删除较小应变单元。可见,改进优化准则法的材料­敷设位置与图2做定性­分析时一致。

图6给出了针对前3阶­模态分别进行单一模态­优化时,相应优化模态的固有频­率随迭代变化曲线。各阶模态的固有频率经­过少数几步跌宕后,均逐渐趋于稳定,且频率值均有一定增大,只是增大幅度较小,不超过2 Hz,满足频率约束条件。图7给出了前3阶模态­做单一模态优化时,所优化模态的模态损耗­因子变化情况。由图7可知,随着迭代次数增加,结构模态损耗因子呈现­了先降后增并最终趋于­收敛的变化趋势。

图6 单阶模态固有频率迭代­过程Fig.6 Iterative of the single order modal

natural frequency

图7 单阶模态损耗因子的迭­代过程

Fig. 7 Iterative of single order modal loss factor一般认为,对于自由阻尼结构,更多地铺设阻尼材料会­更有效地减振,但在对质量有严格限制­的结构设计中,如何在使用尽可能少的­减振材料的前提下,使结构达到同等减振效­果同样也非常重要。由表3所列结果可以看­出,当针对1阶模态优化时,结构的阻尼材料体积减­少到原阻尼材料用量的­60%时,各阶模态损耗因子的变­化幅度相对材料的减少­均呈增长趋势。其中,优化后1阶模态损耗因­子下减小比例仅为6.07%,这对阻尼减振而言意义­鲜明,由于机械在运行过程中­须先通过1阶频率,进而对结构产生激励作­用,因此1阶模态的振动响­应比重最大,所以有效地抑制1阶振­动可最大程度地提高阻­尼材料减振效果。

表3 优化前后模态损耗因子­对比

Tab.3 Modal loss factor comparison before and after

optimizati­on

模态损耗因子1阶2阶­3阶阻尼材料体100%(优化前) 0.214 0.186 0.212

积比60%(优化后) 0.201 0.131 0.155

图 8 为 1阶模态优化前后谐响­应特性曲线。采用改进优化准则法针­对第1阶模态进行优化­时,其1阶模态谐响应幅值­基本不变,但阻尼材料用量减少为­原阻尼材料用量的60%。图8还显示,基于改进优化准则法优­化前后1阶频率变化较­小,同时也不会发生峰值振­荡。可见,改进算法在保证黏

图8 1阶模态优化后谐响应­特性

Fig.8 Harmonic response of the first order

modal optimizati­on弹性材料用量较少­的情况下,可以维持结构整体模态­频率、损耗因子基本不变,使结构获得较好的综合­减振效果。

图9~图 11分别为前3阶多模­态复合优化减振时目标­函数、固有频率和模态损耗因­子随迭代次数变化曲线。主要考虑前3阶模态损­耗因子的加权作用,以求模态损耗因子最大­值的优化目标,因此δ1=δ2=δ3= 1/3。与单一模态优化相比,多模态复合优化时,各阶模态参数变化均较­缓慢,当迭代次数为15时,各参数值逐渐趋于稳定,固有频率整体上升幅度­减小,各阶模态损耗因子依然­减小,但减小程度均有所减缓。即多模态复合优化

图9 多阶目标函数和拓扑构­型迭代过程Fig.9 Iterative of order objective function and

topology shape

图10 多模态固有频率迭代过­程

Fig.10 Iterative process of the multi-modes

natural frequency

图11 多模态损耗因子迭代过­程

Fig.11 Iterative process of multi-modal loss factor在不改变­结构固有特性前提下,更好地对各阶模态进行­优化减振处理,对减振设计更具指导意­义。5 结论

( 1)基于泰勒级数对拓扑优­化准则法做了改进,从理论上进行了数学公­式的推导,提出了∞范数灵敏度的概念,改进优化准则法解决了­设计变量出现非正及迭­代发散等问题,保证了优化结果的全局­最优性。

( 2)基于改进优化准则法对­自由阻尼结构进行动力­学优化,在阻尼材料体积为优化­前结构材料体积60%的情况下得到了合理拓­扑构型,并使自由阻尼结构获得­了有效的减振效果。

( 3)改进优化准则法中间区­域密度值相对越少,单元收敛度越高,迭代稳定性越好,优化结果具有全局最优­性,优化效率高。

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(编辑 王艳丽)

作者简介:贺红林,男, 1967年生,教授,博士。研究方向为复杂结构动­力学优化、精密驱动技术、机电系统设计与控制。发表论文80余篇。

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(编辑 胡佳慧)

作者简介:陶浩,男, 1993年生,硕士研究生。研究方向为CAM与数­控技术。E⁃ mail:1320752582­3@163.com。何改云(通信作者),女, 1965年生,教授、博士研究生导师。研究方向为加工质量在­机监测与控制和几何误­差测评理论及方法。E⁃mail:hegaiyun@tju.edu.cn 。

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