基于绝对节点坐标法的钢索结构 动力学模型与特性

1 2 1

钱彦懿 王 慧 余海东

1.上海交通大学上海市复杂薄板结构数字化制造重点实验室，上海， 200240

2.航空工业第一飞机设计研究院，西安， 710089

摘要：基于绝对节点坐标法并引入高阶位移插值函数，建立可描述钢索截面变形和旋转的钢索单元模型。考虑重力，计算轴向载荷下钢索结构变形及动态迟滞效应，采用准静态实验和动态载荷下的解析解验证了模型合理性。对不同载荷、结构参数及材料特性的钢索进行了准静态变形和动力学响应迟滞仿真分析。结果表明：轴向载荷下钢索结构的刚度主要受其直径影响，初始张力和钢索长度对变形的影响有限，动态响应迟滞时间由其自身长度及材料特性决定。相同条件下采用大直径钢索并适当增大初始张力，可在一定程度上增大钢索结构刚度，减小传动过程中的末端变形，改善长距离工况下钢索的传动性能。关键词：绝对节点坐标法；钢索；变形；迟滞；初始张力

中图分类号： TH113

DOI：10.3969/j.issn.1004⁃132X.2018.13.005 开放科学(资源服务)标识码(OSID) ：

Dynamics Model and Performance of Steel Cable Structures

Based on ANCF

QIAN Yanyi1 WANG Hui2 YU Haidong1

1.Shanghai Key Laboratory of Digital Manufacture for Thin⁃walled Structure Technology，Shanghai Jiao

Tong University，Shanghai，200240

2.AVIC the First Aircraft Institute，Xi’an，710089

Abstract： A steel cable element model was established based on ANCF that was suitable for the cross ⁃ section deformation and rotation problems of cables. The deformations might be computed by the higher⁃order shape function. The deformations and dynamic hysteresis of cables were calculated consider⁃ ing the gravity. The rationality of the model was verified by the analytical solutions of quasi⁃static experi⁃ ments and dynamic loads. The quasi⁃static deformations and dynamic performance of cables were numeri⁃ cally analyzed by MATLAB with various load cases，material properties and geometrical parameters. The results show that the cable stiffness depends mainly on the diameter. The initial tension and cable length have limit effects on the cable structure deformations. The dynamic hysteresis of steel cable main⁃ ly depends on the length and material properties. The cable structures with larger diameters and proper initial tensions have the higher stiffness and smaller deformation，which improves the performance in long⁃ distance transmission task.

Key words： absolute nodal coordinate formulation（ANCF）；steel cable；deformation；hysteresis； initial tension

引言钢索传动具有结构简单、重量轻、抗拉强度高的特点，被广泛应用于航空飞机的软式操纵系统。随着大型及超大型飞机的出现，对钢索在长距离传动过程中的变形及响应迟滞时间提出了更高的

收稿日期： 2017－05－27

基金项目：国家自然科学基金资助项目（ 51275292）；国家重点基础研究发展计划（ 973计划）资助项目（ 2013CB035403）

要求。由于钢索具有大柔性、大变形、大位移等显著的几何非线性特点，加之材料本身的物理非线性特征，所以钢索在运动变形中会发生刚度变化；且钢索通常由多股钢丝捻制而成，加载后由于股内钢丝间的相互作用也会产生截面内的扭转等变形。传统的有限元模型对绳索结构力学行为的精确描述存在一定的局限，因此需提出新的方法来描述钢索受力过程中的刚度变化及截面变形，实

现钢索结构变形的精确预测。对于柔性绳索的建模，通常分为解析法 和

［］ 1⁃2有限元法两类。随着计算机技术的发展，有限元法在绳索结构非线性分析领域的应用日渐广泛。目前较为成熟的索单元模型有两节点直杆单元、两节点曲线索单元和多节点等参元。直杆单元

［］ 3形式简单但精度较差，仅适用于位移、变形很大的空间绳索。曲线索单元不适用于张紧结构，且达到较高求解精度所需单元数多，计算量大 。多节

［］ 4点等参元能较好地模拟绳索真实构型且精度较高 ，但由于模型节点多，自由度增加显著，对大跨

［］ 5多索结构难以处理，在小垂度拉索结构中不能明显提高计算精度，反而大大增加了计算量。以上模型均未考虑绳索运动过程中变刚度及截面变形对整体结构变形的影响，且无法兼顾求解效率和计算精度问题。

SHABANA 提出绝对节点坐标法（ absolute

［］ 6 nodal coordinate formulation，ANCF）来描述大柔性体的运动变形，其理论基础是连续介质力学和有限元法 。绝对节点坐标法突破了传统有限元

［］ 7方法的截面不变形假设，可描述单元体的剪切、扭转、弯曲及拉伸等各类变形，对求解大范围转动、大变形问题具有明显优势 ，且适用于具有变刚

［］ 8⁃9度特性的柔性绳索类物体建模。

本文基于绝对节点坐标法，考虑钢索的大柔性特点及其在加载过程中出现的截面内旋转变形，引入高阶位移插值函数描述钢索截面变形和旋转，推导了钢索单元的质量矩阵、广义外力矩阵和刚度矩阵，并对不同载荷条件、结构参数以及材料特性的钢索进行了静力学变形和动力学响应迟滞仿真分析，仿真结果能够更真实地反映钢索实际变形状况。

1 基于绝对节点坐标法的钢索单元建模

1.1 钢索单元变形描述

以三维钢索单元为对象，描述其在空间内的拉伸、弯曲和剪切变形。图1为变形后的基于绝对S 4节点坐标法钢索单元（下称ANCF钢索单元）模型示意图，其中，每个钢索单元包含IJ、两个节点，分别位于端点处。钢索单元内任意一点P的位置坐标列阵r及单元节点坐标列阵e均在全局坐标系XYZ中描述。依据绝对节点坐标法，三维钢索单元内任意一点P在全局坐标系下的位置坐标列阵r可通过对节点IJ、的插值来求解： r =[ r1 r2 r3 ]= Sxe ( ) ( t ) （ 1）

T x =( x, y, z )

T 式中， x为变形前点P在单元坐标系xyz中的位置坐标矢量； S为单元形函数矩阵； r1、、r2 r3分别为点P在全局坐标系下沿X轴、Y轴和Z轴方向的投影分量。

图1 变形后的ANCF钢索单元模型

Fig.1 Geometric definition of the deformed ANCF

cable element model对于三维变形钢索单元，其位移场可用单元坐标x、、y z的三次插值多项式表达： r1 =+ a0 a1 x +++ a2 y a3 z a4 xy + a5 xz + ü

ï a6 x2 + a7 x3 ï r2 =+ b0 b1 x +++ b2 y b3 z b4 xy + b5 xz +

ý （ 2） b6 x2 + b7 x3 ï r3 =+ c0 c1 x + c2 y + c3 z + c4 xy + c5 xz + ï

c6 x2 + c7 x3 þ

式中， ai、、bi ci为插值多项式的待定系数。

式（ 2）中包含24个待定系数，对于两节点钢索单元（ I，J），每个节点应设置12个广义坐标分量（即边界条件），以确定式中的待定系数。每个单元节点坐标列阵e由其节点位置坐标列阵和对x、、y z分别求微分的斜率矢量来描述，共24个广义坐标形成单元节点坐标列阵：

ü

T é ∂ r ∂ r ∂ r ù Ti ei = ê r ú Ti i = I, J ïï

∂ x ∂ y ∂ z ý （ 3）

ïï

T T e =[ e e ] =[ e1 e2 TJ TI … e 24 ] þ

式中， eI、eJ分别为节点I( 0, 0 )和J ( l, 0)的广义坐标，为单l元初始长度； rI、rJ分别为节点I和节点J在全局坐标系下的位置坐标； ∂ rI /∂ x、∂ rJ /∂ x分别为节点I和节点J的斜率坐标，表示钢索截面在全局坐标系中的方向。

将单元的两个节点位置坐标eI 和 eJ 代入式（ 2），可求得式（ 2）中的24个待定系数，它们均为单元广义坐标的函数，经整理即可得单元的形函数： S =[ S1 I S2 I S3 I S4 I S5 I S6 I S7 I S8 I ] （ 4） S1 = 1 - 3ξ 2 + 2ξ 3 S2 = l(ξ - 2ξ 2 + ξ3 )

S3 = l( 1- ξη ) = l( 1- ξ )ζ

S5 = 3ξ 3 - 2ξ 2 S6 = l( - ξ2 + ξ3 )

S7 = lξη S8 = lξζ

ξ = x/l η = y/l ζ = z/l

式中，为I 3×3的单位矩阵。

1.2 钢索单元质量矩阵

将式（ 1）对时间求导，可得到钢索轴向任意一点的绝对速度

ṙ = Sė （ 5）钢索结构的动能

∫ ∫

Ek = ρṙ ṙ dV = ρė ST Sė dV =

T T

V V

∫ ė ( ρST SdV )= ė ė Mė （ 6） T T

V

式中， ρ为材料密度； V为钢索单元体积； M为钢索单元质量矩阵。

由式（ 6）可知，质量矩阵为常量矩阵，对于等截面钢索，其单元质量矩阵可由沿x方向积分得到：

A∫

l

M = ρST Sdx （ 7）

0

式中， A为钢索横截面积。

1.3 钢索单元广义外力矩阵

钢索系统所受广义外力包括集中力、力矩及分布力（如重力等），可依据虚功原理进行求解。设F =[ Fx Fy Fz ] 为钢索单元上任意一点所

T受的外力，则此外力所做的虚功δW = FT δr = FT Sδe = Q δe （ 8）

Qf = ST F （ 9）式中， δr为广义外力所对应的虚位移； δe为节点虚位移； Qf为单元广义坐标的外力矩阵。

对于大跨度钢索结构，应考虑钢索自重对其变形的影响，将重力考虑为分布力，其虚功可通过对单元体积求积分得到，进而求得单元广义重力矩阵：

A∫

l

Qg = ρg ST dx （ 10）

0

式中, g为重力加速度。

1.4 考虑阻尼影响的钢索单元刚度矩阵

钢索单元的广义弹性力可由连续介质力学中非线性应变 位移关系推导得到，钢索单元的应变张量可用钢索单元变形梯度J描述。对于钢索单元模型，考虑钢索在预紧力下运动及变形特点，其变形梯度

∂ r ∂ r0 ∂ r

J = ( )= J （ 11） -1 -1

0

∂ x ∂ x ∂ x

式中，、r r0分别为变形前后任意一点在全局坐标系中的坐标； J0为常量矩阵，与单元的初始构型有关。

当选取单元初始构型为直线型，且单元坐标系平行于全局坐标系时， J0为单位矩阵，因此式（ 11）可简化为

∂( Se )

J = =[ Sx e Sy e Sz e ] （ 12）

∂ x

Si =∂ S/∂ i i = x, y, z考虑钢索结构的大变形问题，利用单元变形梯度，由弹性力引起的钢索单元应变可由格林 拉格朗日应变张量定义：

εa = ( JT J - I ) εa为对称张量，可将其写为由6个独立应变分 量构成的列阵ε： ε =[ ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 ]

T ε1 =( eT Sa e - 1 ) /2 ε4 = eT Sd e/ 2 ε2 =( eT Sb e - 1 ) /2 ε5 = eT Se e/ 2 ε3 =( eT Sc e - 1 ) /2 ε6 = eT Sf e/ 2

Sa = S Sx Sb = S Sy Sc = S Sz

Sd = S Sy Se = S Sz Sf = S Sz对于本文轴向加载的钢索模型，考虑到钢索截面尺寸远小于其轴向尺寸，因此沿钢索轴向的拉伸应力为其广义弹性力主要组成部分。同时由于传动钢索在加载之前处于张紧状态，因此初始张力引起的结构广义弹性力也不容忽视。故包含钢索初始张力及系统阻尼的单元轴向应变ε̂ 可表

1

示为ε̂ =+ ε1 F0 / ( EA )+ Cε̇ （ 13）

1 1

式中， ε1、ε̇ 分别为广义弹性力引起的轴向应变和应变率； F0

1

为钢索初始张力； E为材料弹性模量； C为材料阻尼系数。根据材料本构模型，得到单元应力

σ = Eε̂ （ 14） ε̂ =( ε̂ , ε 2 , ε 3 , ε 4 , ε 5 , ε 6 )

T

1

式中， ε̂为钢索单元应变矢量； E为各向同性材料的弹性系数矩阵。根据虚功原理，可得由广义弹性力所做的虚功

∫ ∫ δWe = σT δε̂ dV = ( Eε̂ ) T δε̂ dV = Q δe （ Te 15）

V V δε̂ = ( δε̂ , δε 2, δε 3, δε 4, δε 5, δε 6)

T

1

∫

é Sd + S Se + S Sf STfTeTd + ù

Qe = Sa Sb Sc ·

2 2 2

V

eEε̂ dV = Ke （ 16） K = ( λ + 2μ ) K1 + λK2 + 2μK3

∫

K1 = ( Sa ε̂ + Sb ε2 ) dV

1

V

∫

K2 = [ Sa (++ ε2 ε3 ) Sb (++ ε̂ ε3 ) Sc (+ ε̂ ε2 ) ] dV

1 1

V

∫

K3 = [( Sd + STfSTeSTdSeSf ) ε4 +( + ) ε5 +( + ) ε6 ] dV

V

Eν E λ = μ =

(1+ ν ) ( 1 - 2μ ) 2(1+ ν )

式中， δε̂为单元虚应变矢量； Qe为单元广义弹性力（包含系统阻尼及初始张力）； K为单元刚度矩阵 ； ν为材料的泊松比。

2 钢索变形仿真计算分析

钢索受力模型见图2。钢索水平放置，一端固定，另一端受轴向载荷。初始时刻钢索在初始张力的作用下保持张紧状态，在末端轴向载荷的作用下产生变形。由于重力方向垂直于钢索传动方向，故钢索自重产生的挠度对其运动变形的影响不可忽略，为确保仿真精度，应考虑钢索自重的影响，因此，钢索结构在广义弹性力Qe、广义重力Qg及由末端载荷T引起的广义外力Qf的作用下保持

Tf

Tx Ty Tz Tx Ty

平衡。由式（ 9）、式（ 10）及式（ 16）可得钢索的受力平衡方程

Qe - Qg - Qf =0 （ 17）图2 钢索受力模型

Fig.2 The cable with an axial force仿真中将钢索划分为10个单元，整个系统包含11个节点，每个节点包含12个节点坐标，固定端点处存在移动约束，因此系统共有129个节点坐标。

钢索材料密度ρ= 6 140 kg/m3，弹性模量E= 45 GPa，泊松比ν= 0.3，重力加速度g= 9.81 m s2 ，钢索截面为圆形，其长度通过改变单元长度来控制。对钢索的变形进行仿真计算，将MATLAB仿真结果与钢索拉伸实验结果进行比较，验证模型对钢索变形求解的正确性，再进一步研究初始张力和钢索结构参数对其变形的影响。

2.1 仿真与实验结果比较

以原长600 mm、直径3.2 mm的国产碳钢钢索为研究对象，初始张力F0 = 200 N，轴向载荷T从50 N增至1 800 N，用MATLAB计算得到加载过程中各时刻的末端轴向位移，以此作为钢索的变形量u，并与对应时刻拉伸实验的测量结果作比较。结果表明：仿真计算与实验测量结果间的误差相对于钢索原长的百分比在0.001 2%~0.021 4%之间，仿真结果与实验结果非常接近。图3为钢索的载荷 变形曲线，可以看出，随着轴向载荷的增加，基于ANCF钢索单元计算得到的钢索变形量的变化趋势显现出一定程度的非线性，这主要是因为钢索的旋转运动消耗了小部分应变能；数值计算结果和实际拉伸实验测量结果基本吻合，从而验证了基于ANCF钢索单元的钢索静力学变形模型具备较高的求解精度。

图3 仿真及实验结果的载荷 变形曲线

Fig.3 Load-displacement curves for numerical and

experimental results 2.2 初始张力对钢索变形的影响

保持其余参数不变，初始张力F0由50 N增至1 500 N，分析初始张力变化对钢索变形的影响。其中，钢索直径d= 3.2 mm，轴向载荷T= 500 N，钢索长度L为1m、3m、6m及10 m，分别计算得到钢索变形量u。考虑到钢索的变形量与其自身长度线性相关，进行量纲一化，采用单位长度变形量（即变形率α）作为衡量不同长度钢索变形程度的指标。不同长度的钢索在不同初始张力下的变形率见表1。由表1可知，相同长度钢索的变形率随初始张力的增大呈减小趋势，但减小的幅度极小，几乎可忽略不计，其主要原因是初始张力的增大在一定程度上导致钢索结构刚度的增大，即钢索结构抵抗变形的能力增强，从而在相同载荷下变形量减小，变形率减小；但本文所讨论的是钢索张紧后，再对其加载产生的变形与初始张力的关系，由于加载前钢索已处于张紧状态，且实际上使其张紧所需初始张力很小，因而在本文所取初始张力范围内的钢索结构刚度变化较小，故其变形率的减小幅度较小。通过对比相同初始张力、不同长度钢索的变形率可知，变形率与钢索长度无关。

表1 不同初始张力及钢索长度下的变形率

Tab.1 Deformation rate of cables with various

preloads and lengths

F （ N） L= 1m L= 3m 0 L= 6m

50 0.001 379 019 0.001 379 019 0.001 379 019

100 0.001 378 639 0.001 378 639 0.001 378 639

200 0.001 377 880 0.001 377 880 0.001 377 880

300 0.001 377 121 0.001 377 121 0.001 377 121

500 0.001 375 608 0.001 375 608 0.001 375 608

700 0.001 374 097 0.001 374 097 0.001 374 097

1 000 0.001 371 837 0.001 371 837 0.001 371 837

1 500 0.001 368 087 0.001 368 087 0.001 368 087

图4所示为4种长度的钢索在不同初始张力下的变形量，可以看出， 4条曲线均呈微幅线性下降趋势，即钢索变形量随初始张力的增大而缓慢减小。

图4 不同初始张力及钢索长度下的钢索变形量Fig.4 Deformation of cables with various preloads

and lengths

2.3 钢索几何参数对其变形的影响

2.3.1 不同直径钢索的变形

为得到钢索直径对其变形的影响规律，保持其余参数不变，分别计算直径为1.6 mm、3.2 mm及 6.3 mm的3种钢索在不同轴向载荷下的变形。其中，钢索长度均为1 m，初始张力F0= 500 N，轴向载荷T由50 N增至2 000 N。

图5为不同直径钢索的加载 变形曲线，可以看出，不同直径钢索的变形量均随载荷的增大呈线性增大趋势，且钢索直径越小，钢索变形量的增大速率也越快（即图中曲线的斜率越大）。这表明小直径钢索对载荷变化的敏感程度要高于大直径钢索对载荷变化的敏感程度。为了更直观地反映钢索直径对其变形难易程度的影响，保持轴向载荷不变（均为500 N），比较不同直径的钢索变形量。由图6可以看出，当加载条件相同时，钢索的变形量随直径的增大，呈非线性减小趋势。这是由于钢索直径的增大导致其结构刚度增大，因此在相同加载条件下，钢索变形量减小。

图5 不同直径钢索的载荷 变形曲线

Fig.5 Load-deformation curves of cables with

various diameters

图6 不同直径钢索的变形量

Fig.6 Deformation of cables with different diameters 2.3.2 不同长度钢索的变形

为研究钢索长度对其变形的影响，保持其余参数不变，分别计算原长1~15 m的钢索在相同加载条件下的变形量。其中，钢索直径均为3.2 mm，初始张力F0= 1 000 N，轴向载荷T= 1 000 N。图7所示为不同长度钢索的变形量，可以看出，在相同加载条件下，钢索的变形量随着钢索长度的增大呈线性增大趋势，而变形率保持不变。这表明钢索的变形难易程度与其自身长度无关，不同长· · 度的钢索在同等条件下的变形量与其原长成正比，但其变形量相对于原长的百分比不变。

图7 不同长度钢索的变形量

Fig.7 Deformation of cables with various lengths

3 钢索动力学仿真计算分析

本文对钢索动力学特性的研究主要着眼于钢索传动过程中在阶跃载荷作用下的响应迟滞效应。初始时刻钢索在200 N的初始张力作用下保持水平张紧，在末端轴向激励的作用下产生运动变形。在整个仿真过程的前0.5 ms内，钢索一端受到F = 500 N的阶跃载荷，另一端被固定，钢索各个部分从加载的一端开始依次张紧，并获得位移和速度。对于大跨度柔性钢索结构，由于钢索自重产生的挠度对其动力学特性的影响不可忽略，为确保仿真精度，应考虑钢索自重的影响。由前面推导的M、Qe、Qg、Qf建立基于牛顿方程的钢索系统动力学方程：

Më ++= Qe Qg Qf （ 18）式（ 18）为一组二阶常微分方程，其求解可通过四阶龙格库塔方法实现。仿真中钢索分为10个单元，整个系统包含11个节点，每个节点包含12个节点坐标，固定端点处存在移动约束，因此系统共有129个节点坐标。

在仿真计算中，采用位移从加载端节点传递到前端第2个节点的时间td来衡量迟滞效应的程度。图8为仿真过程中该节点轴向位移随时间的变化曲线，可以看出，由于迟滞效应的存在，最前端节点在初始的一段时间（约0.2 ms）的位移几乎

图8 节点轴向位移

Fig.8 Displacement of node in X direction

为零，之后位移急剧增大至接近其静力拉伸变形量后保持不变，因此，迟滞时间td可定义为从初始时刻至前端第2个节点位移开始大幅增大时刻所经历的时长。

依据应力波的传播理论，应变和质点速度可看作以波的形式沿绳索传播，其传播速度v可依据钢索物质特性计算求得：

v = Eρ从而可计算得到理论迟滞时间t = 0.9L/ v （ 20） 0 d

仿真过程中，弹性模量E =45 GPa，泊松比ν =0.3，重力加速度g= 9.81 m s2 ，钢索截面为圆形，其长度通过改变单元长度来控制。对于钢索的动力学仿真，主要研究钢索结构参数及材料特性对其响应迟滞的影响，并将MATLAB计算得到的迟滞时间td与解析解t d进行比较，以验证模型对

0钢索动态迟滞预测的合理性。

3.1 钢索结构参数对其迟滞的影响

钢索结构参数（包括钢索直径及钢索长度）会对其动态响应迟滞产生影响。保持其余参数不变，分别对3种直径（ 1.6 mm、3.2 mm和 6.3 mm）及8种不同长度（ 0.6~15 m）的钢索进行动力学仿真计算，由动态特性曲线得到钢索响应迟滞时间。其中，钢索材料密度ρ= 6 140 kg/m3 ，初始张力F0= 200 N，轴向阶跃载荷为500 N。

图9和图10分别为不同直径及不同长度钢索的动力学仿真迟滞时间与理论迟滞时间曲线。由图9可以看出，钢索直径对其迟滞效应几乎没有影响，不同直径钢索的迟滞时间相同。仿真计算结果变化趋势与理论值相符，误差百分比约4.6%。由图10可以看出，钢索长度对迟滞时间的影响极大，迟滞时间随钢索长度的增大，呈线性增大趋势，符合理论变化曲线，且误差百分比不超过3.8%。由应力波理论可知，在钢索材料属性不变而长度增大的情况下，由于应力波的传播速度不变而传播距离增加，因而传播时间增加，导致迟滞时间增加。

图9 迟滞时间随钢索直径变化的规律

Fig.9 Delay time of cables with various diameters

图10 迟滞时间随钢索长度变化的规律

Fig.10 Delay time of cables with various lengths

3.2 钢索材料特性对其迟滞的影响

钢索材料属性影响钢索结构刚度，因而对其动态特性存在影响。作为初步研究，钢索材料密度分别取2 660 kg/m3、4 550 kg/m3、6 140 kg/m3；弹性模量分别取0.45 GPa、4.5 GPa、45 GPa。仿真中钢索直径均为3.2 mm，钢索长度为1 m，初始张力为200 N，轴向阶跃载荷为500 N。图11和图12分别为不同材料密度及不同弹性模量钢索的迟滞时间变化曲线。由图11和图12可以看出，仿真得到的不同材料密度及弹性模量的钢索动态响应迟滞时间曲线均与其对应的理论迟滞时间曲线相吻合，最大误差百分比分别为4.6%和10%。钢索密度及弹性模量均对其动态响应有较大影响，迟滞时间随着钢索密度的增大，呈近似线性增大趋势，密度越大迟滞时间增加越缓慢；弹性模量对迟滞时间的影响趋势刚好相反，随着弹性模量的增大，迟滞时间呈非线性减少趋势，并且减少速率逐渐趋缓。依据应力波传播理论和式（ 19）可知，应图11 迟滞时间随钢索密度变化的规律

Fig.11 Delay time of cables with various

mass densities

图12 迟滞时间随弹性模量变化的规律

Fig.12 Delay time of cables with various

elasticity modulus

力波的传播速度由材料密度及弹性模量决定，弹性模量增大或材料密度减小导致传播速度增大，因此在传播距离不变的情况下，传播时间减少，故迟滞时间减少。

4 结论

（ 1）基于绝对节点坐标法建立了钢索单元动力学模型，引入高阶位移插值函数描述钢索截面内变形，同时单元刚度矩阵随结构运动变形而变化，从而实现对钢索变形的精确描述。

（ 2）采用准静态实验验证了ANCF钢索单元求解的精确性，分析加载条件、结构参数和材料特性对钢索变形和动态迟滞的影响，通过解析解验证了模型动态迟滞预测的合理性。

（ 3）结果表明：在本文所讨论的加载条件下，钢索结构刚度主要受其直径影响，初始张力对钢索变形的影响有限，而钢索长度与其变形程度无关；钢索的动态响应迟滞时间由其长度及材料特性决定，与直径无关。在保证其他条件相同的情况下，采用大直径钢索并适当增大初始张力，可在一定程度上增大钢索结构刚度，减小传动过程中的末端变形，改善长距离工况下钢索的传动性能。

参考文献：

［］ 1 THAI H T，KIM S E. Nonlinear Static and Dynam⁃ ic Analysis of Cable Structures ［］ J . Finite Elements in Analysis and Design，2011，47（3）：237⁃246. ［］ 2 SUCH M，JIMENEZ⁃OCTAVIO J R，CARNICE⁃ RO A，et al. An Approach Based on the Catenary Equation to Deal with Static Analysis of Three Di⁃ mensional Cable Structures ［］ J . Engineering Struc⁃ tures，2009，31（9）：2162⁃2170.

［ 3 ］ 赵国伟，熊会宾，黄海，等. 柔性绳索体展开过程数值模拟及实验［ J. ］ 航空学报， 2009，30（8）：1429⁃ 1434.

ZHAO Guowei，XIONG Huibin，HUANG Hai，et al. Simulation and Experiment on Deployment Pro⁃ cess of Flexible Rope ［］ J . Chinese Journal of Aero⁃ nautics，2009，30（8）：1429⁃1434.

［ 4 ］ 任淑琰，顾明. 斜拉桥拉索静力构形分析［ J. ］同济大学学报（自然科学版），2005，33（ 5）：595⁃599.

REN Shuyan，GU Ming. Static Analysis of Cables’ Configuration in Cable ⁃ stayed Bridges ［］ J . Journal of Tongji University （ Natural Science），2005，33 （ 5）：595⁃599.

［ 5 ］ 武建华，苏文章. 四节点索单元的悬索结构非线性有限元分析［ J. ］重庆建筑大学学报， 2005，27（6）：55⁃ 58.

WU Jianhua，SU Wenzhang. The Non ⁃ linear Finite Element Analysis of Cable Structures Based on Four⁃ node Isoparametric Curved Element ［］ J . Journal of Chongqing Jianzhu University，2005，27（6）：55⁃58. ［］ 6 SHABANA A A. An Absolute Nodal Coordinate Formulation for the Large Rotation and Deformation Analysis of Flexible Bodies ［］ R . Chicago：Universi⁃ ty of Illinois，1996.

［］ 7 GERSTMAYR J，SHABANA A A. Analysis of Thin Beams and Cables Using the Absolute Nodal Coordinate Formulation ［］ J . Nonlinear Dynamics， 2006，45（1/2）：109⁃130.

［］ 8 GERSTMAYR J，SUGIYAMA H，MIKKOLA A. Review on the Absolute Nodal Coordinate Formula⁃ tion for Large Deformation Analysis of Multibody Systems ［］ J . Journal of Computational and Nonlin⁃ ear Dynamics，2013，8（3）：031016.

［］ 9 DUFVA K，KERKKANEN K，MAQUEDA L G， et al. Nonlinear Dynamics of Three ⁃ dimensional Belt Drives Using the Finite ⁃ element Method ［］ J . Nonlinear Dynamics，2007，48（4）：449⁃466.

（编辑 胡佳慧） 作者简介：钱彦懿，女， 1993年生，硕士研究生。研究方向为多柔体系统动力学。E⁃mail：qianyanyi@sjtu.edu.cn。余海东（通信作者），男， 1975年生，副教授。研究方向为多柔体系统动力学。E ⁃ mail：hdyu@sjtu. edu.cn。