# 球头铣刀加工曲面微单元理论建模与实验验证

## 张 为 都晓锋 程 超 李鹏飞

China Mechanical Engineering - - 中国机械工程 -

DOI：10.3969/j.issn.1004⁃132X.2018.13.007 开放科学(资源服务)标识码(OSID) ：

Theoretical Modeling and Experimental Verification of Ball-end Milling

Curved Surface Micro-units

ZHANG Wei DU Xiaofeng CHENG Chao LI Pengfei

School of Mechanical Engineering，Harbin University of Science and Technology，Harbin，150080 Abstract： Aiming at unique“small pits”micro⁃units structure of ball⁃end milling machined surface， and combined with the mathematical relationship among surface topography geometric parameters，the characteristic parameters and characteristic line expressions of the micro⁃units were solved. According to the experimental results，the characteristic parameters of the micro⁃units were corrected and the accuracy was verified. Furthermore，the three⁃dimensional simulation shape of curved surface micro⁃units was es⁃ tablished. The research results show that the width relative error of the modified surface micro ⁃ units is as 1.88% and the length relative error is as 7.60%，which indicates that the theoretical model is more accurate.

Key words: ball ⁃ end mill；micro ⁃ unit；characteristic parameter；three ⁃ dimensional shape of curved surface

0 引言

［］ 1

［］ 2

［］ 3

［］ 4

［］ 5

［］ 6变换计算三维表面分形特征参数，提高了表面形貌分形维数的精度。ARIZMENDI等 考虑了刀

［］ 7具偏移和振动对表面形貌的影响，并对加工表面模型进行预测。基于刀具位移与刀具中心的表面形貌预测有关， COSTES等 通过非接触传感器

［］ 8测量了刀具的位移，进而对刀具中心的表面形貌进行预测。

1 解析微单元理论建模

1.1 曲面微单元特征参数球头铣刀的球头部位具有独特的螺旋刃线结

· ·

FA =- OC OF2 -( CD2 + DB2) /4 （ 1）又OC == OF r，CD = ae ， DB = fz ，代入式（ 1）得到残留高度计算公式： h =- r r2 -( f + a ) /4 （ 2） 2 z

Fig.2 The surface topography of a single micro-unit 1.1.2 微单元长度

2 2

( (+ r ρ )- - r2 - ) fz

2

OF·AE

HF = =

OA 2( ρ + r )

（ 3）

Fig.3 Surface micro-units length则微单元长度

ρf z

L = 2HF ≈ （ 4）

ρ + r

1.1.3 微单元宽度

W = ae （ 5）确定表面微单元特征参数并进行计算，可准确找到微单元特征线的边界条件，是微单元理论建模的重要前提条件。

1.2 微单元特征线表达式

JUNG等 对微单元特征线的求解做了大量

［］ 9的研究，借助其研究思路，本文对加工工件曲面的微单元进行研究。表面微单元各特征线的位置见图4，其中Wa、Wb分别为OXZ平面内，球头铣刀加工曲面微单元行距方向上特征线2e Wa、Wb的最大值和最小值。同理， Lc、Ld分别为OYZ平面内微单元进给方向上特征线的最大值和最小值。

Fig.4 Surface micro-units characteristic line

2

Ha =- r r2 - i2 0≤ i ≤ W/ 2 （ 7）式中，为铣削行距方向上的点距i O点的距离。

ê ú

Wb = yb = = i （ 8） ë zb û ë û ë r - ( r′ )- i2 û

2 b由于刀具行距方向的高度不变，因此，在行距方向上，任一特征线WB的表达式为é ù é n1 ae ù

ê ú

WB i （ 9） = = ë û ë f ( i ) - ap +( r - ( r′ )- i2 ) û

2

2

Hd = r - ( r″ ) - j2 0≤ j≤fz / 2 （ 11）

2

ê ú

Ld = yd = f = fz （ 12） ë zd û ë û ë r - ( r″ )- j2 û

2 d由于球头铣刀进给方向的运动为正弦曲线，所以进给方向的高度是连续变化的，则在铣削加工过程中所对应z值会发生变化，因此，在进给方向上，表面微单元任一特征线LD的表达式为é ù é ù

ê ú

LD = = （ 13）

2 fz ë û ë fz ( n2 fz ) - ap + (- r ( r″ )- j2 ) û

2

é WB ù

PS = ê （ 14）

ë LD球头铣刀加工表面由许多特征线勾勒形成，两条特征线WB、LD不断沿着行距和进给方向排列就构成了最终的曲面表面形貌。

2 铣削实验与解析模型修正

2.1 实验设备及测量方法

（ a）加工机床

（ b）加工过程

z H （ c）超景深三维显微镜 （ d）表面粗糙度仪

Fig.5 Experimental equipment通过球头铣刀铣削正弦曲面实验，得到了实际加工工件的表面形貌，并对表面形貌进行测量。图6为铣削加工后曲面微单元实际表面形貌。 （ a）放大倍数为200 （ b）放大倍数为300

Fig.6 Measurement of surface topography

of micro-units利用超景深显微镜对表面微单元形貌几何特征参数进行准确测量，采用多组测量求平均值的方法，得到每组表面形貌的几何特征参数值，并对得到的平均值再次求解平均值，即可得到每个表面形貌的几何特征参数值。

（ a）表面粗糙度随铣削行距变化

（ b）表面粗糙度随铣削深度变化

zpe

（ c）表面粗糙度随每齿进给量变化

Fig.8 The variation of surface roughness with the

milling parameters主要是刀尖部位，此时切削是在挤压作用下进行的，不容易切下材料而导致表面粗糙度较大；当切削深度较大时，会使切削力增大，引起机床的振动，使得表面粗糙度增大。由图8c可以看出，每齿进给量在0.05~0.3 mm变化时，表面粗糙度值变化了约0.6 μm。

2.3 计算值与测量值的比较

2.4 特征参数修正

（ a）铣削行距作用ap= 0.1 mm ap= 0.2 mm ap= 0.3 mm

（ b）铣削深度作用fz = 0.1 mm fz = 0.2 mm fz = 0.3 mm

（ c）每齿进给量作用

Tab.1 Milling experiment results

（ μm） （ HV） 1 0.1 0.1 0.1 2 000 0.913 683 2 0.1 0.2 0.3 3 000 0.856 691 3 0.1 0.3 0.5 4 000 1.118 742 4 0.2 0.1 0.3 4 000 0.983 733 5 0.2 0.2 0.5 2 000 1.342 715 6 0.2 0.3 0.1 3 000 0.937 689 7 0.3 0.1 0.5 3 000 1.281 739 8 0.3 0.2 0.1 4 000 0.899 672 9 0.3 0.3 0.3 2 000 1.157 687同时利用单因素铣削实验，得到每齿进给量fz、铣削行距ae和铣削深度ap对表面粗糙度的影响规律见图8。

Tab.1 The comparison of the measured value with the

calculated value mm试件号长度计算值L1长度测量值L2宽度计算值W1宽度测量值W2

1 0.095 3 0.094 2 0.5 0.497 2 2 0.046 1 0.048 6 0.3 0.298 4 3 0.093 2 0.092 5 0.2 0.201 8 4 0.188 7 0.171 7 0.5 0.488 2 5 0.283 8 0.295 2 0.4 0.405 7 6 0.074 9 0.080 3 0.3 0.299 3行研究。图9和图10所示分别为对特征参数长度和宽度的修正。

Fig.9 The modified curve of the characteristic

parameter length

Fig.10 The modified curve of the characteristic

parameter width对表面微单元特征参数修正后的长度L′和宽度W′分别可表达为

L ′ =- 0.005 29+1.087 92L1 （ 15） W′=- 0.006 98+1.027 48W1 （ 16）由图9和图10可知，得出曲线修正后长度和宽度的线性拟合结果分别为0.999 6和0.991 2，均接近于1，表明对表面微单元特征参数的修正可信度极高。选取几组铣削参数，通过实验后的测量值数据对修正后的计算值进行验证，结果见表3。

Tab.3 The milling parameters and measurement data

of verification test

3 修正模型表面三维形貌仿真

[10]运动轨迹解算法进行仿真。利用李红岩 提出的高速铣削淬硬钢刀具铣削运动轨迹控制方法，推导出了加工曲面的轨迹公式，刀具切触点曲线可依据铣削加工曲面参数方程解算。图11中， nd为刀轴的单位法矢量， ng为三维复杂曲面切触点单位法矢量， tg为刀具的单位切矢量、Pl为高速球头铣刀刀位点、Pc为球头铣刀切触点。

Fig.11 The cutter location point of ball-end

milling cutter顺次连接每个刀位点即为刀具铣削运动轨迹，并结合修正后微单元三维理论特征参数，将曲面上特征微单元进行解算，运用MATLAB有限元分析软件，分别获得沿凹曲面和沿凸曲面的表面微单元形貌，见图12和图13。

22

（ a）第1个微单元

（ b）第2个微单元

（ c）第3个微单元

Fig.12 The axial direction of the concave surface is the

micro-unit on“+ Z”将所建立的曲面微单元沿着正弦曲面进给方向进行整合，由于微单元沿正弦曲面不断变化，且正弦曲面结构复杂、计算时间长，故对凹曲面阶段的三维形貌进行仿真，见图14。由图14可以看出，沿铣削行距方向的等高线相同，而沿进给方向的等高线不断变化，从而导致轴向高度不同。

（ a）第1个微单元

（ b）第2个微单元

（ c）第3个微单元

micro-unit on“- Z”

Fig.14 Three-dimensional curved surface geometry

morphology change trend

（ a）正面 （ b）侧面

results（ 200 magnification times）

Fig.16 Comparison of simulation roughness and

actual roughness度场、应力场等实际情况，以及表面形貌对摩擦磨损、接触刚度的影响，对预测零件使用性能具有重要的意义。

4 结论

（ 1）基于刀工几何接触关系，建立了考虑每齿进给量和工件曲率半径的微单元三维形貌理论模型，发现微单元的长度随工件曲率半径和每齿进给量的增大逐渐增大，而微单元的宽度由行距决定。

（ 2）对建立的曲面微单元特征参数的计算值与实验测量值进行对比，进一步修正了特征参数，得出曲面微单元宽度W的相对误差为1.88%，长度L的相对误差为7.60%，从而提高了曲面微单元理论模型的准确性。

（ 3）分析修正后的特征参数所建立的曲面微单元仿真模型可知：在相同加工参数下，微单元沿凹曲面残留高度变小，进给方向整体面积变大；沿凸曲面残留高度变大，进给方向整体面积变小，符合实际加工情况。

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（编辑 胡佳慧）