# 平面变形回弹迭代补偿的收敛准则及应用

## 1,2 3 1,2 1,2 马 瑞 王春鸽 赵 军 翟瑞雪

China Mechanical Engineering - - 中国机械工程 -

DOI：10.3969/j.issn.1004⁃132X.2018.14.009 开放科学(资源服务)标识码(OSID) ：

Convergence Criteria for Springback Iterative Compensation in Plane

Deformation and Its Application

MA Rui1，2 WANG Chunge3 ZHAO Jun ZHAI Ruixue

1，2 1，2

1. Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science（Yanshan University），

Ministry of Education of China，Qinhuangdao，Hebei，066004

2. College of Mechanical Engineering，Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei，066004 3. College of Mechanical and Energy Engineering，Ningbo Institute of Technology，Zhejiang University，

Ningbo，Zhejiang，315100

Abstract ： Based on the i terative method ， the i terative compensation mechanism was established and the criterion of the convergence for the i terative parameters was put forward for the springback problem i n the plane deformation process of sheet metal. Moreover ， it was proved that the axial length has convergence to the iterative compensation mechanism for the elastic ⁃ plastic deformation process of uniaxial tension and biaxial stretching in simple stress state. For the V ⁃ shape free bend⁃ ing of wide sheet metal ， the convergence of the curvature and the bending angle was verified by theory and experiment. Furthermore ， the iterative compensation mechanism was applied to the springback control of the free bending of the wide plate ， and corresponding experiments were car⁃ ried out. The results show that ， the iterative compensation mechanism can predict the next compen⁃ sation value based on the springback value of each test ， so that the target bending angle with the error of less than 0.1% and the target curvature with the error of less than 0.5% are obtained after 2 ～ 3 iterations. Moreover ， for the same forming process of same material ， each compensation amount depends only on the iteration parameter difference before and after springback.

Key words ： springback control；iterative compensation mechanism；convergence；free bending

0 引言

1.先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室（燕山大学），秦皇岛， 066004

2.燕山大学机械工程学院，秦皇岛， 066004 3.浙江大学宁波理工学院机电与能源工程学院，宁波， 315100

［］ 1⁃2 ［］ 3⁃4 ［］ 5⁃6

［］ 7⁃8程允许范围内。工艺控制可以在一定程度上减小回弹，但不能彻底消除。因此，对于高精度要求的冲压件，需根据预测值在回弹反方向对模面施加一定补偿量，使回弹后工件满足设计要求，此即为模面补偿控制法。

［ 9⁃10 ］ ment method，DA） 得到学者的广泛认可。以此

［］ 12 AC （accelerated compensation）算法 、SGD

［］ 13

（ shape global deformation）算法 、CC（compre⁃

［］ 14 hensive compensation）算法 、E-DA（enhanced

［ 15⁃16 ］ displacement adjustment）算法 、DCA（discrete

［］ 17 curvature adjustment）算法 、CATIA - SGCS

［］ 18

（ CATIA springback geometry compensation sys⁃ tem）系统 以及 SEC（sheet elements compensa⁃

［］ 19 tion）算法 等。

［］ 20

1 基于简单迭代法的迭代补偿机制

1.1 简单迭代法的引入在讨论影响回弹的因素时，王允禧 明确指

［］ 21出，“弯曲中心角α愈大，则变形区的长度愈大，弹 复积累也愈大，故弹复角Δφ也愈大”。肖景容等 也强调，“弯曲角α愈大，则在总变形中的弹性

［］ 22

2

2 1 ε ˉ 。因此，对于普通金属材料，在变形条件不改变e

1的前提下，变形量越大，回弹量越大，这也是本文的理论基础。

Fig. 1 Equivalent stress-strain curve in elastic-plastic

deformation and springback process

Δ ( x ) =- x fx ( ) （ 1）根据上述理论基础，如果Δx ( )为单调增函数，即Δ′ ( x ) > 0，则有

f 'x ( )<1 （ 2）回弹控制的目的是确定一个回弹前的值a，使其回弹后为ap，也就是求解方程

fx ( )- ap = 0 （ 3）为此，引入简单迭代法 ，按照其求根思想，

［］ 23

x =+- x ap fx ( )= φx ( )

| φ' ( x )| < 1 （ 5）由简单迭代法的局部收敛定理可知，迭代方程（ 4）是收敛的，即存在x* 满足 x* = φ ( x* )。如图 2所示，取初值为ap ，按照迭代方程得到迭代序列：

x0 = ap x1 =+- x0 ap f ( x0 ) x2 =+- x1 ap f ( x1 )

⋮ xi = xi +- ap f ( xi ) -1

⋮ xk = xk +- ap f ( xk )

-1

-1

Fig. 2 Parameter relationship before and after springback based on simple iteration method对于回弹控制问题，构造回弹前后参量的关系函数y = fx ( )，若满足f′ ( x ) < 1，则可以采用迭代补偿法使控制参量收敛到目标值。因此，对于回弹问题的补偿计算， f′ ( x )<1可作为所选参量收敛性的判定准则，且此种收敛方式适用于弯曲回弹后变小的参量，如曲率K、弯曲角α。

1.2 回弹控制的迭代补偿机制

（ 1）准备。确定初值，一般选为目标值x0 = ap。

（ 2）迭代。进行工艺操作，获得回弹后值x1。（ 3）控制。检查x1 - ap ：若| x1 -≤ ap | e（ e为· 1698 · 预先指定的成形件尺寸精度），则终止迭代，且有a = x0 ；否则，将 | x1 - ap | 作为补偿量，令 x0 = x1 +- | x1 ap |，转步骤（ 2），继续迭代。

（ 4）输出。当| x1 -≤ ap | e时终止迭代， a = x0，即最终模面参数值。

Fig. 3 Iterative compensation process for

springback control上述补偿流程表明，运用迭代补偿机制可以从数学分析的角度对回弹问题补偿控制的正确性提供理论依据。同时，基于迭代补偿机制，根据每次试验的回弹量可以预测下一次补偿值，提高收敛速度。而且，对于同一材料的同一成形工艺，该补偿值只取决于迭代参量回弹前后的差值，因此，该机制的通用性很高。

2 简单应力状态下的迭代收敛性证明

{

Eε 0≤ ε ≤ εS σ = （ 6）

σ0 + Dε ε > εS εS = σS E σ0 = σS (1- DE )

2.1 平板单向拉伸

Fig. 4 Flat uniaxial stretching由双线性应力应变关系式可知，截面应变

σT - σS σS εT = +

D E

DσT l ′ =(1- ) l

E ( σT - σS )+ DσS + DE对上式求导，可得

dl' DσT

= 1- dl E ( σT - σT ) + DσS + DE对于常用金属材料， 0 < < 0.2，即 > ，且σT > σS，所以在式（ 11）中，有

σT - σS σS σT

( ++ 1 )- =

D E E

( - )( σT - σS ) + 1 > 0

<1 dl

2.2 平板双向拉伸

Fig.5 Flat biaxial stretching

α < 1, β = ε2 ε1

l1 l ε1 = ln , ε′ = ln

1 l 10 l 10 l2 l ε2 = ln , ε′ = ln

2 l 20 l 20

1 2根据经典卸载理论，卸载回弹部分的应变

Δε1 = ε1 - ε′ , Δε2 = ε2 - ε′

1 2又由广义胡克定律可知

Δε1 = (- σ1 υσ2 )

Δε2 = (- σ2 υσ1 )

ε ˉ= ε22ε21ε1ε2 2 + + ε′ ˉ =2 ( ε′ 1) + ε′ ε′ +( ε′ 2)

2 2

12

σs σ ˉ = (ε ˉ- ε′ ˉ ) E = Dε ( ˉ- )+ σ

E

S

x = ln l1 y = ln l

= dx Δε1 Δε2

2+ β -2 -

ε1 ε1

A=[ 2( β2 + β + 1)(1- ) - 2β 2 - β]

2

Δε1 Δε2 σS

B= β + 2β - β2 + β + 1 (1- )

2 ε1 ε1 Eε1

2

< dx 2+ β对于一般金属材料， E ≫ D ，故 ( 1DE ) ≈ 1，所以

2 dy 2 ( β2 + β + 1 ) - 2β 2 - β 2+ β

≈ = =1 dx 2+ β 2+ β dl l ′′

1

= <1 dl 1 l1

3V形自由弯曲的迭代收敛性证明

1

2曲，并在卸载后发生回弹，回弹前后的几何关系见图6。现设定如下：弯曲后，板料中性层的弯曲半径为ρ，曲率为K，弯曲角为α，弯角（即弯曲角的补交）为β；回弹后，板料中性层的弯曲半径为ρp ，曲率为Kp ，弯曲角为αp ，弯角为βp ；回弹角为Δα ，曲率回弹量为ΔK。

1 α -=- αp βp β，且ΔK = K - Kp = - 。

ρp

′ 1

2

′ 1

Fig.6 Geometrical relationship before and

after springback弹塑性弯曲过程中，曲率回弹量

［］ 22

3CK

K -= Kp ( Kt )

n -1

En ( +2 )

-1

= 1- Kn <1 （ 7）

-1 dK En ( +2 )

［］ 22

3C Kt α -= αp ( ) α （ 8）

n -1

En ( +2 ) 2

= 1- ( ) <1 （ 9）

n -1 dα En ( +2 ) 2

4 迭代补偿机制的应用研究

4.1 实验方案

Fig.7 Iterative compensation experiment

of V-free bending

of SS400 steel sheet

S =( r1 + r2 + t ) ( 1 - cos ) +

tan [ -( r1 + r2 + t ) sin ] ( 10 ) 4.2 曲率迭代补偿控制工艺实验结果分析

5

1

2 1

10- mm- ，补偿过程见表2。

2 1

Tab.2 Iterative compensation process of curvature in V-free bending

Fig.9 Curvatures of bending parts in V-free bending

before and after springback

Fig.8 Proof experiment of curvature convergence以目标弯曲半径ρd 为 70 mm为例，详述其补偿过程：

（ 1）确定补偿精度为0.1%，即半径补偿误差小于0.07 mm，曲率误差小于1.43 × 10- mm-

5 1；

（ 2）以目标值作为迭代初值，首次弯曲上模的半径ρ1 = 70.021 mm，待板坯包覆上模后，卸载，测得回弹后弯曲半径ρ( = 73.072 mm；补偿误差为

1) p

|- K Kd | = 59.940 × 10- mm- 不满足精度要(2) 5 1， p

K( + |K - Kd| = 1 488.08 × 10- mm- 。

2) (2) 5 1

p

（ 3）通过垫片调整二次弯曲上模半径ρ1 =

next

1/ K = 67.200 mm，测得回弹前后板坯弯曲半径1 next

p

·

K( + |K - Kd| = 1 490.59 × 10- mm- 。

2) (2) 5 1

p

（ 4）调整三次弯曲上模半径ρ( = 67.088 mm，

2) next测得回弹前后弯曲半径分别为ρ( = 67.106 mm和

2) ρ( = 70.027 mm；补偿误差| K - Kd | = 0.546 ×

2) (2) p p

10- mm- 满足精度要求，补偿结束。

5 1，

4.3 弯曲角迭代补偿控制工艺实验结果分析

Fig.10 Bending angles of bending parts in V-free

bending before and after springback

Tab.3 Iteration compensation calculation of

bending angle 能够获得目标弯曲角，且误差小于0.5%。由此表明，基于迭代补偿算法的回弹控制方法，其回弹量的动态补偿具有稳定的收敛方向，且误差可评估，是具有实用价值的有限次补偿方法。

5 结论

（ 1）基于简单迭代法，提出了平面变形回弹控制的迭代补偿机制，该机制不依赖于材料性能和力学模型，更具有实用价值。

（ 2）基于迭代补偿机制，建立了迭代参量收敛性证明的判定准则，并理论证明了简单应力状态下，轴向长度可以作为迭代参量进行回弹补偿控制。

（ 3）依据迭代参量收敛性判定准则，理论证明了V形自由弯曲工艺中曲率和弯曲角的迭代收敛性，对回弹控制问题中模具修正方法的正确性提供了本质的理论依据，并完善了实际操作的理论基础。

（ 4）将迭代补偿机制用于V形弯曲回弹控制，经 2~3次迭代，即可获得误差小于0.1%的目标曲率和误差小于0.5%的目标弯曲角，收敛速度很快。

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(编辑 陈 勇)