纵向打滑状态下轮式移动机器人轨迹跟踪控制
贝旭颖1，2 平雪良1，2 高文研1，2
1.江南大学机械工程学院，无锡， 214122
2.江苏省食品先进制造装备技术重点实验室，无锡， 214122
摘要：针对轮式移动机器人纵向打滑状态下滑动参数未知的轨迹跟踪控制问题，提出了一种轨迹跟踪控制方法。建立了纵向打滑状态下移动机器人的运动学模型，用滑动参数表示左右轮的打滑程度；设计合适的滑模观测器对未知的滑动参数进行估计，并通过低通滤波器减少抖振对估计结果产生的影响；基于Lyapunov直接法设计轨迹跟踪控制律，并提出了一种根据控制系统的极点分布确定控制参数的方法。仿真结果验证了所提方法的准确性和有效性。
关键词：轮式移动机器人；纵向打滑；滑模观测器；轨迹跟踪
中图分类号： TH113.2；TN384
DOI：10.3969/j.issn.1004⁃132X.2018.16.011 开放科学(资源服务)标识码(OSID) ：
Trajectory Tracking Control of Wheeled Mobile Robots under
Longitudinal Slipping Conditions
BEI Xuying1，2 PING Xueliang1，2 GAO Wenyan1，2
1.School of Mechanical Engineering，Jiangnan University，Wuxi，Jiangsu，214122
2.The Key Laboratory for Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology of Jiangsu
Province，Wuxi，Jiangsu，214122
Abstract ： An trajectory tracking control of mobile robots was presented based on wheeled mobile ro⁃ bots with unknown longitudinal slip parameters. Firstly，the kinematic model of the mobile robots under longitudinal slips was established，and the sliding parameters were used to express the slip degrees of the left and right wheels. Then，a suitable sliding mode observer was designed to estimate unknown slip pa⁃ rameters，and the influences of chatters on estimation of slip parameters were reduced by using the low ⁃ pass filters. Finally，a trajectory tracking control law was designed based on Lyapunov direct method，and a method of determine the control parameters was proposed according to the pole distributions of the con⁃ trol systems. Numerical simulation results show that the proposed trajectory tracking control method is accurate and effective.
Key words ： wheeled mobile robot；longitudinal slip；sliding mode observer；trajectory tracking
0 引言相对于传统的工业机器人，轮式移动机器人具有更强的机动性和灵活性，广泛应用于生活服务、生产制造、太空探测等领域，并成为近年来的研究热点 。由于在运行过程中受到的是非完整
［］ 1⁃2约束，故移动机器人属于典型的非完整约束系统，移动机器人的运动控制问题因其理论挑战性和应用价值吸引了大批科研工作者的关注 。根据控
［］ 3
收稿日期： 2017－04－16
基金项目：国家自然科学基金资助项目(61305016)；江苏省研究生科研创新计划资助项目(KYLX16_0771)
制目标的不同，移动机器人的运动控制主要分为三大类：点镇定、轨迹跟踪、路径跟随，其中，轨迹跟踪是移动机器人运动控制中一个重要且实际的问题 。在移动机器人运动控制的研究中，通常假
［］ 4设移动机器人在运动过程中轮子纯滚动而无滑动 ，但在现实环境中，路面结冰、道路湿滑和快速
［］ 5
转弯等都会使移动机器人产生打滑 ，使得移动机
［］ 6器人的实际运行轨迹与期望轨迹间存在一定误差，移动机器人很难实现有效、精确的跟踪 。文
［］ 7
献［ 8 ］建立了移动机器人打滑的运动学模型，但在设计轨迹跟踪控制律时忽略了打滑的影响。文献
［ 9 ］在移动机器人发生纵向打滑时，将移动机器人的非线性模型线性化，并应用LMI方法设计轨迹跟踪控制器。文献［ 10 ］将移动机器人运动学模型离散化，设计了离散时间的滑模控制器来解决打滑状态下移动机器人的轨迹跟踪问题。上述研究均使用外部传感器（ GPS或视觉传感器）实时检测移动机器人的打滑状态，经过计算可以得到轮子的滑动参数，但是通过外部传感器获得移动机器人滑动参数的方法实现起来较困难，所以研究移动机器人滑动参数未知时的轨迹跟踪控制方法具有重要的理论意义和应用价值。文献［ 11 ］设计了扩展卡尔曼滤波观测器和DMI方法，分别估计移动机器人的滑动参数，仿真和实物实验均验证了这两种方法能使移动机器人取得较好的轨迹跟踪效果。文献［ 12 ］首次将滑模观测器运用到移动机器人滑动参数的估计中，仿真结果表明，该方法可以准确估计左右轮的滑动参数。文献［ 13 ］采用滑模观测器估计纵向和侧向打滑情况下轮式滑动转向移动机器人的打滑率和滑动角，并取得了良好效果。
本文主要研究移动机器人纵向打滑状态下滑动参数未知的轨迹跟踪控制问题，首先建立纵向打滑下移动机器人的运动学模型，设计一个滑模观测器估计左右轮的滑动参数；然后基于Lyapu⁃ nov直接法设计移动机器人轨迹跟踪控制律，同时根据控制系统的极点分布确定控制参数的值，最后通过仿真验证了提出的轨迹跟踪控制方法的有效性和准确性。
1 移动机器人运动学模型的建立
四轮滑动转向移动机器人的车轮均为驱动轮且独立驱动，可靠性高，具有高度灵活性和更强的驱动力。这种车体没有转向装置，依靠改变左右侧车轮速度差使得车体滑动，实现不同半径的转向，即呈现出边滚边滑的运动状态 。假定车体完全
［］ 14对称，质心与几何中心重合，运动学模型见图1。
图1中， XOY为全局参考坐标系， xoy为局部参考坐标系， θ为车体与X轴的夹角，为了简化分析，分析过程基于“同侧车轮等速”这一假设，即ω1 = ω2 = ωL；ω3 == ω4 ωR，ωL、ωR分别为左右侧车轮的角速度。
不考虑打滑时，车轮轮心的纵向速度与车轮转动的线速度相等：
vL = rωL vR = rωR （ 1）式中， vL、vR分别为左右侧车轮轮心的纵向速度； r为车轮半径。
由图1可推导以下关系式：
vL + vR rωL + rωR ü ν = =
2 2
ý （ 2） θ̇ vL - vR rωL - rωR
== ω =
b b þ式中，为车体前进的速度； ν ω为车体绕几何中心的角速度； b为车轮轮距。
所以在全局参考坐标系下，移动机器人不打滑状态下的运动学模型为é ù é cosθ 0 ù ν
= sinθ 0 （ 3） ω ë θ̇ û ë 0 1 û
即
rωL + rωR ü
= cos θ ï
2 rωL + rωR
= sin θ ý （ 4）
2 ï θ̇ rωL - rωR
=
b þ考虑纵向打滑时，车轮的纵向打滑使得车轮轮心的纵向速度与车轮转动的线速度不相等，引入 v′、v′分别表示打滑时左轮轮心和右轮轮心的
L R
纵向速度。定义滑动参数i表示车轮的纵向滑动程度： v′v′rωLrωR - - iL = iR = （ 5）
L R
rωL rωR
式中， iL、iR分别为左右侧车轮的滑动参数。
由式（ 2）和式（ 5）可得纵向打滑状态下移动机器人的线速度和角速度： v′v′
+ ν = =
L R rωL (1- iL ) + rωR (1- iR ) ü
2 2
ý （ 6） v′v′
θ̇ -
L rωL (1- iL )- rωR (1- iR )
= =
b b þ所以在全局参考坐标系下，移动机器人纵向打滑状态下的运动学模型为
rωL (1- iL ) + rωR (1- iR ) ü
= cos θ ï
2 rωL (1- iL ) + rωR (1- iR )
= sin θ ý （ 7）
2 ï θ̇ rωL (1- iL )- rωR (1- iR )
=
b þ
2 滑动参数的估计
2.1 滑模观测器的设计
轮式移动机器人是典型的非线性系统，在纵向打滑条件下，左右轮滑动参数iL、iR的估计非常复杂。滑模观测器能够有效处理非线性系统的不确定性，所以本文设计一个滑模观测器来估计滑动参数iL、iR。令
rωL (1- iL ) + rωR (1- iR )
Vx =
2
则式（ 7）可表示为
= Vx cos θ ü
= Vx sin θ
ý （ 8） θ̇ 2Vx 2r
=- + ωL (1- iL )
b b þ θ̇
引入变量 表示移动机器人的角速度，则式
1
（ 8）可转变成θ̇ 2Vx 2r ü
= - ωR (1- iR ) b b
ý （ 9） θ̇ 2Vx 2r
=- +
1 ωL (1- iL )
b b þ θ̇ =， θ̇
其中， 均代表移动机器人的角速度。
1
根据式（ 9）设计以下观测器：
2Vx θ ü
= + L1 sgn ( θ - θ̑ )+ L2 (- θ θ̑ ) b
ý （ 10） 2Vx θ
=- + L3 sgn ( θ - θ̑ 1) + L2 (- θ θ̑ 1)
1
b þ
式中， L1、L2、L3为滑模观测器增益且均为正数；、θθ 1均为移动机器人角速度的估计。
定义观测误差微分方程为θ =- θ̇ θθ ， =
1 θ̇ - θ̂̇
1，由式（ 9）和式（ 10）可得
2r ü θ =- ωR (1- iR )- L1 sgn ( θ - θ̑ )- L2 (- θ θ̑ ) b
ý
2r θ =
1 ωL (1- iL )- L3 sgn ( θ - θ̑ - L2 (- θ θ̑ b þ
（ 11）性能良好的滑模观测器可以使观测误差在有限的时间内收敛到零，所以由上式可得
2r ü
- ωR (1- iR )- L1 sgn ( θ - θ̑ )+ L2 (- θ θ̑ )≈ 0 b
ý （ 12） 2r
ωL (1- iL )- L3 sgn ( θ - θ̑ 1) - L2 ( θ - θ̑ 1) ≈0 b þ
ȋ ȋ则移动机器人滑动参数的估计值 、 分别为
L R b [ L1 sgn ( θ - θ̑ )- L2 (- θ θ̑ ) ]
ü ȋ = 1+
R
2rωR
ý （ 13） b [ L3 sgn ( θ - θ̑ + L2 (- θ θ̑
1) 1) ] ȋ = 1-
L
2rωL þ由于存在符号函数的切换，故滑模观测器在滑动面附近产生抖振。为了减小抖振对控制系统的影响，将滑模观测器中的不连续部分通过低通 滤波器。则式（ 13）可转变成
b ü ȋ = 1+ ( L1 sgn ( θ - θ̑ ))
R LPF
2rωR
ý （ 14） b ȋ = 1- ( L3 sgn ( θ - θ̑ 1) )
L LPF
2rωL þ其中，下标LPF代表低通滤波。
2.2 滑模观测器稳定性分析
文献［ 12 ］指出：如果滑模观测器的切换函数sn满足条件s n ṡ < 0，则滑模观测器的观测误差
n将在有限时间内收敛到零。本文使用该结论对滑模观测器的稳定性进行分析。选取滑模观测器的切换函数
s1 =- θ θ̑
（ 15） s2 =- θ θ̑
1根据第一个切换函数，构造Lyapunov函数：
V1 = s 2 （ 16）
求导可得
2r
L1 > |ωR (1- iR ) | （ 17）
b
同理，根据第 2 个切换函数构造 Lyapunov函数：
V2 = s 2
求导可得
2r |
L3 > ωL (1- iL ) | ̑̇ （ 18） b由上述分析可知，当滑模增益L1、L3分别满足
̑̇
式（ 17）和式（ 18）时，滑模观测器的观测误差将在有限时间内收敛到零。͂̇ ̑̇
3 移动机器人轨迹跟踪控制
3.1 移动机器人轨迹跟踪模型
͂̇移动机器人在跟踪给定参考轨迹时，轨迹跟
͂̇
踪示意图可简化成图2。
图2 轨迹跟踪示意图
Fig.2 Diagram of trajectory tracking
图 2 中， ( X, Y, θ ) 为机器人的实际位姿，
T
( Xr, Yr, θr ) 为机器人的期望位姿，它满足如下运
T
动学方程：
é ù é cosθr 0 ù
r ê ú ê úé ν ù
= sinθr 0 ê （ 19） r ë
r θ̇ ë û ë 0 1 û
r
式中， νr为车体前进的期望线速度； ωr为车体绕几何中心的期望角速度。
在全局参考坐标系下，移动机器人轨迹跟踪误差方程为é e1 ù é cos θ sin θ 0 ù é Xr - X ù e2 = -sin θ cos θ 0 Yr - Y （ 20） ë e3 û ë 0 0 1 û ë θr - θ û对上式求导可得移动机器人轨迹跟踪微分方程：
é ė ù é ωe2 + νr cos e3 - ν ù
1 ė =- ωe1 + νr sin e3 （ 21）
2 ë ė û ë ωr - ω û
3轨迹跟踪控制即在移动机器人纵向打滑的情况下，寻找合适的控制输入( ν, ω )，使轨迹跟踪误差一致有界，并且 lim || [ e 1 e2 e3 ] || =0。
T t∞ →
3.2 轨迹跟踪控制律的设计
由式（ 6）可知é 1- iL 1- iR ù ê úé ωL ù ν 2
= ê 2 （ 22） ú ê
ω -( 1 - iL ) 1- iL ë ωR ë b b û
因此，可得
é 1 b ù é ωL ù êê 1- iL - 2(1- iL ) úú
ν
= （ 23）
ωR 1 b ω ê ú ë 1- iR 2(1- iR ) û ȋ ȋ
利用滑动参数的估计值 、 代替滑动参数的
L R
实际值iL、iR，上式可转变成é 1 b ù ê - ú é ωL ù ê 1- î 2(1- î L) ú ν
= L （ 24） ωR 1 b ω ê ú ë 1- ȋ 2(1- ȋ R)
û
R
构造以下Lyapunov函数：
V = e + e + 2 ( 1 - cos e3 ) （ 25）
2
对式（ 25）求导并根据式（ 21）可得
= -e1 ν + e1νr cos e3 + e2 νr sin e3 + sin e3 (- ωr ω )
2
（ 26）
选取控制律为ν = νr cos e3 + k1 e1 ü
ï e3 e3 ý （ 27） ω =+ ωr k2 sin + 2e 2 νr cos ï
2 2 þ
式中， k1、k2为控制参数，且均大于零。
将式（ 27）代入式（ 26），可得e3
=- k1 e 21- k2 sin2 ≤ 0 （ 28）
2
由上述证明可知VV ̇ >0且 ≤ 0，所以该系
统是渐近稳定的。3.3 控制参数的确定
在绝大部分研究中均采用试凑法确定控制参
数ki ，难以保证控制系统的准确性和实时性。本文提出一种根据控制系统的极点分布确定控制参数的计算方法。
将式（ 27）代入式（ 21），可得移动机器人闭环系统的跟踪误差方程： é e3 e3 ù êê e2 (+ ωr k2 νr sin + 2e 2 νr cos ) - k1 e1 úú é ė ù 2 2
1 êê e3 e3 úú ė =- e1 (+ ωr k2 νr sin + 2e 2 νr cos )+ νr sin e3
2 ë ė û ê 2 2 ú
3 êê e3 e3 úú
- k2 νr sin - 2e 2 νr cos ë 2 2 û
（ 29）移动机器人闭环系统在平衡点处可用线性化 的近似系统表示： é ė ù é - k1 ωr 0 ù é e1 ù
1 ė =- ωr 0 νr e2 （ 30）
2
ë ė û ë 0- k2 νr 0 û ë e3 û
3
式（ 30）的特征方程为
S3 + k1 S2 +( ω + k2 ν )+ S k1 k2 ν =0 （ 31） 2r令 α0 =1 ， α1 = k1 ， α2 =+ ω k2 ν ， α3 = 2r
k1 k2 ν ，且αi >0。由劳斯稳定判据［］ 15 可知 2r α1 α2 - α0 α3 b1 = = ω >0 2r
α1
特征方程的特征根均具有负实部，所以该控制系统是稳定的，即控制参数k1、k2无论怎样调整，
轨迹跟踪误差[ e1 e2 e3] T在有限时间内均会收
敛到零。
二阶系统在欠阻尼状态时动态性能良好，所 以控制系统的期望极点选择为S1 =- ξωn S2 = S3 = - ξωn ± jω n 1- ξ2
式中，为阻尼比，取ξ 0.707； ωn为无阻尼自然频率。
所以移动机器人控制系统的期望特征方程为ω2n2221Sξωn)S2S (+ ( + 2ξωn + )= 0 （ 32）由式（ 31）和式（ 32）可知k1 = 3ξωn ü
ï ω2rω2n2) k2 = ( 1 + 2ξ - ý （ 33）
ï ν2r þ由上式可以发现，当νr趋于零时， k2 趋于无穷大，这种情况理论上不允许出现，所以选取γν2r ω2r ωn = ( + ) ( 1 + 2ξ 2) ， γ为常数且大于零。故式（ 33）转变成如下形式： γν2rω2r + ü k1 = 3ξ ïï 1 + 2ξ 2 ý （ 34） ïï k2 = γ þ由上述分析可知，轨迹跟踪控制过程中只需
要调整参数γ即可准确确定控制参数k1、k2 ；而且当期望速度[ νr ωr]发生变化时，控制参数k1、k2也可实时确定，提高了控制系统的实时性。
4 数值仿真实验
选取直线和圆形两种期望轨迹验证本文提出的纵向打滑条件下移动机器人轨迹跟踪控制方法的有效性和准确性 。移动机器人物理参数为
［ 16⁃18 ］ r = 0.950 mm， b = 0.410 mm；初始线速度ν ( 0 ) = 0.4 m/s，初始角速度ω ( 0 ) = 0.3 rad/s ； γ = 50 ；滑模增益根据式（ 17）和式（ 18）确定， L1 = 2rωR /b，L3 = 2rωL /b。滑动参数估计值的
ȋ (0)= ȋ (0)= 0
初始值 。为了验证所设计的
L R
滑模观测器的鲁棒性，假定在第20 s时滑动参数iL变为0.1， iR变为-0.1。
4.1 直线轨迹跟踪
移动机器人期望线速度νr = 1 m/s，期望角速度 ωr = 0 ； k1 = 11 ， k2 = 50。期望轨迹的初始位姿为[ 10 π/3] T；实际轨迹的初始位姿为
T
[ 1 - 2 π/2] 。
移动机器人跟踪直线轨迹的仿真结果见图3~图。7
图7 右轮滑动参数估计（直线轨迹跟踪）
Fig.7 Estimation of right wheel slip parameter
（ linear trajectory tracking）从上述分析结果可知，移动机器人能够从初始位置快速收敛到期望直线轨迹，而且轨迹跟踪误差能够在短时间内收敛到零；当左右轮滑动参数发生变化时，滑模观测器仍能准确地估计滑动参数。直线轨迹跟踪过程准确平稳，跟踪性能较好。
4.2 圆形轨迹跟踪
移动机器人期望线速度νr = 0.2 m/s，期望角速度ωr = 0.2 rad/s； k1 = 2， k2 = 50。期望轨迹的初始位姿为[ 1 0 π 3] T；实际轨迹的初始位