基于自适应成长法的周期性加筋结构拓扑优化设计方法

董小虎 丁晓红 上海理工大学机械工程学院,上海, 200093

China Mechanical Engineering - - CONTENTS - 董小虎 丁晓红

摘要:将自适应成长法应用到周期性加筋结构的拓扑优化设计中,以结构的应变能最小为目标,以加强筋截面积为设计变量,并构建拓扑优化设计模型。为保证优化结构可得到周期性最优拓扑形式,在优化数学模型中加入了周期性约束,并引入敏度过滤函数解决数值不稳定等问题。典型工程结构设计案例表明,提出的方法在周期性加筋结构设计中可得到形态清晰的筋条布局,且设计效率高、适用性广。同时利用所提方法模拟荷叶叶脉生长,获得了与自然界荷叶叶脉相似的布局形态,表明自然界荷叶叶脉分布能使荷叶在承受雨雪等自然载荷作用下的整体刚度最大。

关键词:周期性的;自适应成长法;应变能最小;加强筋布局设计

中图分类号: TP31;TH11

DOI:10.3969/j.issn.1004⁃132X.2018.17.005 开放科学(资源服务)标识码(OSID) :

Topology Optimum Design Method for Periodic Stiffener Structures Based on Adaptive Growth Method

DONG Xiaohu DING Xiaohong

School of Mechanical Engineering,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai,200093

Abstract: Adaptive growth method was applied to topology optimum design for periodic stiffener structures,the minimum strain energy of the structures was taken as the target and the stiffener sectional areas were taken as the design variables,and the topology optimum design model was constructed. In or⁃ der to ensure the optimize structures might obtain periodic optimal topological form,the periodic con⁃ straints were added to the optimization mathematical model and the sensitivity filter function was intro⁃ duced to solve the problems of numerical instability. The typical engineering structure design examples show that the proposed method may be used to obtain clearly shaped layouts of the stiffener bars in the periodic stiffener structure design,moreover the design efficiency is high and the applicability is wide. Meanwhile,the proposed method was used to simulate the growth of lotus leaf veins,and the layout forms similar to that of natural lotus leaf veins were obtained,which show that the distributions of leaf veins in nature may make the lotus leaf have the maximum overall stiffness under natural loads such as rains and snows.

Key words: periodic;adaptive growth method;minimum strain energy;stiffener layout design

0 引言周期性加筋结构广泛应用于航天航空、船舶

收稿日期: 2017-12-15

基金项目:国家自然科学基金资助项目( 51175347)

44(1):35⁃39.

WANG Guofeng,LI Qiming,QIN Xuda,et al. Application of Support ⁃ vector ⁃ machine in Tool Wear of Multi ⁃ stage Monitoring [] J . Journal of Tianjin University,2011,44(1):35⁃39.

(编辑 胡佳慧)

和汽车等领域,具有易加工、制造成本低、外形美观等特点。为了得到力学性能良好的周期性结构,拓扑优化目前已成为上述领域中最常用的设计方法。刘书田等 研究了狭长结构的拓扑优化,

[] 1提出了通过基本结构拼装的狭长结构的拓扑优化 作者简介:王丽华,女, 1974年生,高级实验师。研究方向为故障诊断、模式识别及信号处理。E⁃mail:[email protected]。杨家巍(通信作者),男, 1992年生,硕士研究生。研究方向为故障诊断、模式识别及信号处理。E⁃mail:[email protected]

方法,设计了狭长悬臂梁的拓扑形式。HUANG等 利用双向渐进结构优化( bi ⁃ directional evo⁃

[] 2 lutionary structural optimization,BESO)方法对周期性结构优化设计进行了研究,由于数值计算不稳定,优化过程中易出现棋盘格、网格依赖性等问题,因此该方法引入了敏度过滤函数来抑制棋盘格和网格依赖性,从而获得了较好的优化结果。荣见华等 提出了一种基于位移约束的类周期性

[] 3连续体结构的拓扑优化设计方法,采用改进的对偶方法,得到了优化的类周期性结构拓扑形式。ZUO等 以圆环结构为对象,采用渐进结构优化

[] 4

( evolutionary structural optimization,ESO)方法对汽车轮毂进行拓扑优化设计。HE 等 依据

[] 5 Shepard插值法,建立了单元与非结构设计点的关系,将BESO方法应用到不同的几何尺寸和无规则有限元网格的周期性结构拓扑优化中。焦洪宇等 提出了一种基于固体各向同性材料惩罚

[] 6⁃7

( solid isotropic microstructure with penalization, SIMP)模型的周期性拓扑优化方法,设置了额外的约束条件,对平面矩形悬臂梁结构进行了研究,获得了具有周期性的结构拓扑形式,并将该方法应用到桥式起重机主梁周期性拓扑优化中。孙士平等 针对狭长结构拓扑优化过程中存在的计算

[] 8困难、数值不稳定等问题,利用拓扑优化方法和变量关联技术开展了周期狭长结构拼装模块的构型优化。上述拓扑优化方法虽然可获得较好的结构材料分布形式,但其拓扑形态往往过于复杂,若应用到加强筋分布设计中,无法直接获得加强筋的实际分布形式,需通过后处理对加强筋分布进行识别,因此不易于直接用于加工制造。

仿生优化研究随着计算机技术的普及而得到发展,在结构设计领域也得到了一定的应用,但人们直接针对周期性结构的研究还较少。丁晓红等 通过研究自然界分枝系统的形成机理,提出

[] 9⁃11了一种基于植物根系形态自适应成长规律的板壳结构加强筋设计的自适应成长法,并将该方法成功应用于以最小应变能和抗振设计为目标的板壳加筋优化设计中,通过改变加强筋高度,逐步实现加强筋的布局设计,从而获得了离散的加强筋分布形式,且不需进行后处理。

本文通过在自适应成长法中引入周期性约束,提出了周期性结构的加筋布局设计方法,建立了以结构最小应变能为设计目标、以体积为约束的优化设计数学模型,并引入了敏度过滤函数解决数值不稳定等问题。同时以荷叶叶脉的分布为设计对象,得到与自然界荷叶叶脉相似的加筋分 布形态,并进一步通过典型工程结构的设计案例,验证了所提方法的有效性。

1 设计方法

1.1 周期性约束

为获得具有周期性分布的结构最优拓扑形态,将整个优化区域划分成P个子域,见图1,其中图 1a为圆环结构,根据圆的周长等分成P =4个子域,图1b为长条状结构,沿着轴向等分成P =4个子域。对于周期性结构,子域与子域之间存在相同的子拓扑构型,但两子域的拓扑尺寸大小可以不同,域设计数目P可由设计者根据需要自定。

( b)周期性长条状结构

图1 优化区域分成P个子域( P= 4)

Fig.1 The optimized region is divided into

P sub-domains( P= 4)

1.2 优化数学模型

以整体结构应变能U最小为目标,以加强筋截面积A为设计变量,在给定的体积约束条件下,寻求结构力学性能最优。优化数学模型可表示为find A = ( A1, A2, …, An ) ü

T

ïï min U ( A ) ï s.t. g (=- A ) V ηV0 ≤0

ïï

A1, = A2, = ⋯= At, ý ( 1) j j j

ïï t = 1, 2, ⋯, P j= 1, 2, …, m ï

0< Amin ≤≤ Ai Amax

ïï i = 1, 2, …, n þ

式中, Ai为第i个活动筋板单元的截面积; n为筋板单元的总数; U( A)为结构应变能; V、V0分别为周期性加筋结构的总体积和初始体积; η为体积约束因子; Amin、Amax分别为设计变量Ai的取值下限和上限;为某个子域编号;为该子域t j单元编号; m为每一个子域内筋板单元的总数。

1.3 基结构

在初始设计模型中,要建立图2所示的基结构,设计域采用板壳单元离散,用梁单元连接各个节点以模拟结构内的加强筋。初始截面高度h和宽度w均为极小值,即Amin为极小值(约为结构长度L或直径D的万分之一)。 ( b)加强筋截面

图2 基结构模型

Fig.2 Model of the ground structure 1.4 迭代公式

基于 KKT(Karush ⁃ Kuhn ⁃ Tucker)最优化条件推导出筋板成长公式,建立拉格朗日方程如下:

L ( A )= U ( A )+ λg ( A ) ( 2)式中,为拉格朗日乘子。λ在最优A*处,式( 2)应满足KKT必要条件。

ì <0 Ai = Amin ü ∂ L ∂ U ∂ g ï

= + λ í =0 Amin << Ai Amax ∂ Ai ∂ Ai ∂ Ai ï ( 3)

î >0 Ai = Amax ý λ ≥0 g ( A )≤0 þ当Amin << Ai Amax时,根据式( 3)得到

∂ U ∂ U - - Ai ∂ Ai ∂ Ai

= =1 ( 4) ∂ g ∂ g λ λAi

∂ Ai ∂ Ai总应变能对设计变量的灵敏度为

∂ U Si = ( 5)

∂ Ai整体结构的总体积V可表示为

n Σ 6) V =+ V0 Ai li (

=1 i ∂ g ∂ V

= = li ( 7) ∂ Ai ∂ Ai式中,为第li i个筋板单元的长度。将式( 5)和式( 7)代入式( 4)可得

Ai Si Ai =- ( 8)

λl i

为了保证收敛性,引入步长因子 α,取α = 0.05,得到设计变量Ai的迭代公式如下:

ì Amin Ai ≤ Amin

Si

Ai, = í - α Ai, +( 1 - α ) Ai, Amin << Ai Amax

k +1 λl i k k

î Amax Ai ≥ Amax

( 9)

式中,为迭代步数。k拉格朗日乘子的表达式如下:

Si Ai, Si A1, S1 λ =- Ai, =- =- =

k k k

Ai, li k +1 Vi, +1 V1, +1

k k

A2, S2 An, Sn

k k

- = ⋯= - =

V2, +1 Vn, +1 k k n n Ai, Si Ai, Si

k k

- =- ( 10)

=1 =1

ηV0 n

Vi, +1

k

=1

1.5 敏度过滤函数

拓扑优化过程中经常存在数值不稳定问题,如出现棋盘格、灰度单元等现象。SIGMUND

[] 12提出的敏度过滤法具有实施简单、计算效率高等优点,被广泛应用于拓扑优化设计中。该方法对所有在给定过滤半径范围内的各单元灵敏度进行加权平均,用来修正每个单元的灵敏度。目标函数对子域内设计变量Ai修正后的单元灵敏度为

- ∂ 1 ∂ U U

N

= Σ

Hq Aq ( 11) ∂ Ai ∂ Ai

N

Σ

Ai Hq

q =1 q =1

Hq = Rmin - ds ( i, q ) ( 12)式中, Hq为权重因子; Rmin为过滤半径,取Rmin=ds 2.5; ( i,q)为过滤半径内单元q至中心单元i的距离; N为过滤半径内单元的总数目。

2 荷叶叶脉再生过程仿真

2.1 荷叶叶脉分支系统形态特征

图 3a中,荷叶叶片近似圆形,其中叶脉是茎分支结构的延伸,分布于整个叶片的网络系统分支结构中,形成一个承载叶片的骨架,具有支撑整个叶片的功能,同时也最大化地展开了叶片,增加了叶片截获太阳光的面积 。荷叶叶脉具有较强

[] 13的韧性和硬度,能够提高叶片对外界破坏(如小动物践踏和暴雨冰雹等自然灾害等)的抵抗能力。由此可见,叶脉分布直接影响荷叶对外界环境变化的适应能力。

叶脉经过逐级分支,形成网络状分叉分布结构见图3b,叶脉从中央射出呈发散状,每一个发散的分支叶脉在构成形态上几乎相同,具有较强的自相似性。其中主脉的结构最完整且直径最大,连通叶柄起主要支撑作用。叶脉直径可以用来表征叶脉系统的机械支撑功能。不同级别的叶脉承担不同程度的支撑作用。尽管末端叶脉也有一定的支

(a)荷叶实物图 (b)俯视面

图3 荷叶叶脉分支系统形态特征

Fig.3 Branch system morphology of lotus leaf vein撑力,但较粗的叶脉发挥主导作用。叶脉分布形态是植物适应生态系统的关键和决定性因素。

2.2 模拟荷叶叶脉分布形态

将基于自适应成长法的周期性加筋结构拓扑优化设计技术运用到荷叶叶脉的再生长过程中,以整体结构应变能最小为目标进行拓扑优化设计。

图4a中,荷叶由一根叶柄支撑挺出水面,在图4b所示的设计模型的中间点施加全约束,用均布载荷表示荷叶承受暴雨冰雹的情况。 ( a)荷叶叶柄 ( b)设计模型

图4 模拟荷叶叶脉分布形态设计模型

Fig.4 Design model of imitated lotus leaf vein

图5所示为模拟“叶脉”自适应再生过程,依据自适应成长法的选种方式,选取中心点约束处为“种子”位置。“叶脉”首先从中心点“种子”处向外散发,沿着使整体结构应变能最小的方向成长与退化,逐步抵抗承载,成长至分歧截面积Amax后发生“分歧”;然后与各“分歧点”相连的“叶脉”继续成长、退化或“消失”。该过程反复循环,直至最终整体结构应变能满足如下收敛条件:

| Uk - Uk |

-1

≤ ε ( 13) Uk

式中,为收敛容差,取ε ε= 1×10⁃ U为整体结构总应变能。

4;

对比图6a与图6b可知,模拟“叶脉”的分布形态与真实的荷叶叶脉分布形态相似,“主叶脉”从中心点的“种子”出发,径向生长,至边缘处分歧出若干细枝,以抵抗受到的弯曲载荷,最大化展开并支撑“叶面”。最终结构的总应变能与初始结构的应变能之比U/U0为1.67×10⁃ 。由荷叶叶脉的再

4生过程可知,荷叶叶脉分布能使荷叶在承受自然载荷作用下获得整体刚度最大。图6c为设计迭代历程图,可以看出,随着迭代步数的增加,由于初

( c)迭代历程曲线

图6 设计结果对比与分析

Fig.6 Comparison and analysis of the design result始应变能U0和初始体积V0不变,故结构总应变能开始急剧减小,同时总体积迅速增大;随后因筋板

的截面积不断地“生长”与“退化”,结构总应变能的减小幅度逐渐变缓并趋于稳定,而体积比值也逐渐趋于稳定,最终不再变化。

3 典型算例与分析

3.1 不同子域数目的圆环结构周期性筋板分布形态设计

首先考虑子域数目P= 4时,承受指向圆心的均布面内载荷作用的圆环结构,见图7a。设计模型尺寸为D∶d= 4∶1,其中D为外圆直径, d为内圆直径。图7b中,在4个约束点处选取“种子”,加强筋从“种子”点处开始发散成长,逐步连接至圆环的边界,再依据自身的设计敏度过滤函数,形成由疏到密的加强筋布局形态,从而直接改善整个圆环结构力学性能。最终加强筋的设计分布结果见图7c,此时结构的整体应变能与初始结构的应变能之比U/U0为 1.27×10- 。图7d为圆环结构的

2

( d)迭代历程曲线

图7 P =4时周期性圆环结构的设计结果

Fig.7 Design results for a periodic ring structure

when P = 4 体积和应变能比值的迭代历程曲线,可以看出,随着迭代步数的增加,结构总应变能减小,总体积增大, 2条曲线最终均趋于稳定。

图 8a所示为子域数目P= 5时承受指向圆心的均布面内载荷作用的圆环结构,其他设计参数均与P= 4时的设计模型相同,“种子”位置见图8b。图8c所示为筋板最终的分布形态。图8d 为圆环结构的体积和应变能比值的迭代历程曲线,可以看出,随着迭代步数的增加,圆环结构的总体积增大,结构总应变能减小,在U / U0为 1.19 × 10- 时收敛。

2

( d)迭代历程曲线

图8 P =5时周期性圆环结构的设计结果

Fig.8 Design results for a periodic ring structure

when P = 5

对比上述2个不同子域数目的加强筋板布局的设计结果可以看出,两者每个子域的设计形态大致形同,起初加强筋板均从“种子”处开始发散成长,连接至结构边缘处时,筋板数目逐渐增多,而图7c的分支数量多于图8c的分支数量,这是由于后者圆环的子域数目( P= 5)比前者( P= 4)多了一根主支。本例结果表明,自适应成长法可根据

工程实际需要设置周期子域数目,以得到合理的加强筋分布形式。

3.2 不同几何形状的悬臂条状结构周期性筋板分布形态设计

图 9a所示为平面矩形悬臂条状结构设计模型,其中左端固定,右端作用有垂直载荷F。结构子域数目P= 4,设计模型尺寸为L∶W= 4∶1,其中L为矩形长, W为矩形宽。“种子”选取位置见图9b。最终结构的总应变能与初始应变能比值U/U0为8×10- 。图9c为圆环结构的体积和应变

3能比值的迭代历程图,可以看出,随着迭代步数的增加,圆环结构的总体积增大,结构总应变能减小, 2条曲线最终均趋于平缓。 ( c)迭代历程曲线

图9 平面矩形悬臂条状结构的设计结果

Fig.9 Design results for a planar rectangular

cantilever bar structure

图 10a所示为平面梯形悬臂条状结构设计模型,结构子域数目P= 4,设计模型尺寸为L∶W1∶ W2= 8∶2∶1,其中L为梯形的长, W1为梯形左端最大宽度, W2为梯形右端最小宽度。图10b 为“种子”选取位置与加强筋最终分布形态图,其应变能比值U/U0收敛于1.49×10- 。图10c为圆环结构

2的体积和应变能比值的迭代历程图,同理可以看出,随着迭代步数的增加,结构总应变能减小,总体积增大, 2条曲线最终均收敛。

( c)迭代历程曲线图10 平面梯形悬臂条状结构的设计结果

Fig.10 Design results for a planar trapezoid

cantilever bar structure

上述2个例子考虑的是不同几何形状的悬臂结构加筋设计,周期子域数目P相同。虽设计模型的几何形状不同,但每个子域的筋板数目相等,均呈交叉型周期性分布。但随着条状结构沿轴向方向的宽度变化,加强筋交叉的角度会发生适应性变化。

4 结论

( 1)通过引入周期性约束,将自适应成长法应用到周期性加筋结构的拓扑优化设计中。构建了优化设计模型,推导了基于KKT最优化条件的寻优迭代公式,并引入敏度过滤函数。

( 2)通过对荷叶叶脉再生过程模拟表明,自然界中真实的荷叶叶脉确实能使荷叶获得最大的整体刚度。

( 3)针对周向受压的圆环结构,分析了不同周期子域数目对设计结果的影响,并设计了不同形状的悬臂条状结构的周期性加强筋分布。

( 4)设计结果表明,所提方法的迭代公式简单,设计参数少,求解方便,筋板布局形态清晰,不需进行后处理即可得到筋板的实际布局,且可用

( a)周期性圆环结构

( a)基结构的组成

图5 “叶脉”的自适应再生过程Fig.5 Regrowth process of the lotus leaf

U/U0= 1.67×10- V/V0= 1.25 4 ( a)模拟“叶脉”最终分布图 ( b)真实荷叶叶脉分布形态

U/U0= 7.8×10- V/V0= 1.04 2, ( b) k= 5 U/U0= 1.27×10- V/V0= 1.25 2, ( c) k= 408

U/U0= 7×10- V/V0= 1.04 2, ( b) k= 5 U/U0= 1.19×10- V/V0= 1.25 2, ( c) k= 410

( a)设计模型

( a)设计模型

( a)设计模型

( a)设计模型

U/U0= 1.49×10- V/V0= 1.22 2 ( b) k= 310

U/U0= 8×10- V/V0= 1.22 3 ( b) k= 146

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