面齿轮磨削齿面齿形误差修正
明兴祖1，2 方曙光2 王红阳2
1.湖北文理学院机械工程学院，襄阳， 441053
2.湖南工业大学机械工程学院，株洲， 412007
摘要：以面齿轮齿面的形状误差为研究对象，建立了面齿轮齿面数学方程，通过三坐标测量仪（ CMM）对面齿轮齿面进行了误差测量。为提高面齿轮齿面的精度，提高其理论和工程的应用价值，提出了一种基于序列二次规划（ SQP）的面齿轮齿面误差评定方法。建立了齿面误差的识别方程，应用序列二次规划算法对机床加工参数进行优化求解，并与最小二乘优化法进行对比，应用修正后的机床调整参数，再次通过三坐标测量仪对修正后的齿面误差进行检测，验证了该方法的可行性。
关键词：面齿轮；三坐标测量仪；序列二次规划；机床调整参数；误差测量
中图分类号： TP215
DOI：10.3969/j.issn.1004⁃132X.2018.17.003 开放科学(资源服务)标识码(OSID) ：
Tooth Surface Form Error Correction for Face Gear Grinding
MING Xingzu1，2 FANG Shuguang2 WANG Hongyang2
1.School of Mechanical Engineering，Hubei University of Arts and Science，Xiangyang，Hubei，441053 2.School of Mechanical Engineering，Hunan University of Technology，Zhuzhou，Hunan，412007 Abstract： The form errors of the face gear tooth surfaces were taken as the research object，the mathematical model of face gear tooth surfaces was established，and the error measurements of face gear tooth surfaces were conducted by CMM. In order to improve the accuracy of face gear tooth surfaces and enhance the application values of theory and engineering，an error assessment method of face gear tooth surfaces was proposed based on SQP. With the identification equation of the tooth surface errors was es⁃ tablished，the processing parameters of the machine tools were optimized by using SQP algorithm. And compared with the least squares optimization method，the modified machine tool adjustment parameters were applied，the modified tooth surface errors were detected by CMM again，which verified the feasibil⁃ ity of the method.
Key words： face gear；coordinate measuring machine（CMM）；sequential quadratic programming （ SQP）；machine tool adjustment parameter；error measurement
0 引言面齿轮传动是一种圆柱齿轮与面齿轮相啮合的传动，可以实现两齿轮轴垂直或非垂直、相交或交错的运动，具有加工相对简单、安装方便、承载力大、噪声低、易于实现装置的轻量化等优点，在航空航天、精密传动等对空间有严格限制及对传动精度有较高要求的领域有广阔应用前景 。
［］ 1在实际的生产加工过程中，机床固有的运动误差、夹具的几何误差、工艺系统受热变形引起的误差、调整误差等机械加工误差会导致实际加工齿面与设计齿面之间存在不可规避的误差。面齿
收稿日期： 2017－12－01
基金项目：国家自然科学基金资助项目（ 51375161）；湖南省自然科学基金资助项目（ 2017JJ4023）
轮的传动性能与齿面误差的修正有很大关联，而面齿轮齿面误差与机床的加工参数之间又有密切的关系。面齿轮三维理论模型齿面的点集与实际齿面点集的匹配是面齿轮加工误差评定的基础。为了使实际齿面和设计齿面之间的误差值最小，国内外学者对机床参数对齿面误差的影响进行了相关研究。SIMON 讨论了机床相关参数的设置
［］ 2和齿轮的相对位置误差对齿面接触性能的影响。LITVIN等 、LIN等 采用基于机床调整参数的
［］ 3 ［］ 4单位增量建立了误差敏感矩阵，并进一步建立了齿面误差识别方程组，计算得到了误差修正所需的加工参数的调整量。李丽霞等 研究了弧齿锥
［］ 5齿轮的齿形误差与机床调整参数之间的联系。王小椿等 提出了三坐标测量方法，并利用差曲面特
［］ 6
征参数修正齿面，对误差进行了分解分析。王军
［］ 7应用差曲面的空间参数对螺旋锥齿轮齿面误差进行了修正，并根据增量空间的相关性计算得到了加工参数的最优调整量，但该方法易出现病态方程，对于超定方程的求解存在一定困难。苏进展等 以齿面误差平方和最小为目标函数，通过改变
［］ 8加权系数和优化，从而达到齿面误差较高的精度修正要求。陈书涵等 采用截断奇异值分解
［］ 9
（ truncated singular value decomposition，TSVD）方法与L曲线法求解齿面偏差识别方程，得到的求解结果更精确。
本文提出了一种基于序列二次规划（ sequen⁃ tial quadratic programming ， SQP）的面齿轮齿面误差修正方法，采用三坐标测量仪（ coordinate measuring machine，CMM）对正交面齿轮的实际齿面误差进行测量，建立和求解包含机床调整参数的齿面误差识别方程，并优化机床调整参数以减小齿面误差。通过对比最小二乘的求解方法，验证了所提出方法在对误差识别方程求解过程中的有效性。
1 含误差参数的齿面数学方程的建立本文采用格里森公司STADTFELD 提出
［］ 10的碟形砂轮磨削面齿轮方法，碟形砂轮磨削面齿轮具有结构简单、设计制造和修整方便且不受面齿轮设计参数限制的优点 。
［ 11⁃12 ］依据曲面共轭原理，建立了面齿轮齿面方程。面齿轮齿面是复杂的空间几何形状。面齿轮传统精加工方法采用磨齿工艺，在磨齿过程中，碟形砂轮和齿坯进行正交面齿轮齿面的磨削过程是碟形砂轮与面齿轮齿坯做共轭运动的结果。通过碟形砂轮加工面的曲面方程，碟形砂轮与齿坯的相对位置关系，以及依据齿轮的啮合原理可以得到包含机床调整参数的齿面数学方程。
1.1 正交面齿轮齿面的磨削原理
正交面齿轮是一种特殊的锥齿轮，目前多采用渐开线碟形砂轮进行磨削加工。碟形砂轮对面齿轮的磨削过程模拟了插齿刀具对面齿轮进行插齿加工时的所有动作，碟形砂轮对面齿轮齿面的磨削过程也存在虚拟的啮合关系，可以视为虚拟的渐开线齿轮与面齿轮在空间中的包络运动，工件和刀具在空间中的位置关系见图1。
在磨床上对面齿轮进行磨削加工，工件绕自身的轴线旋转时，碟形砂轮也绕自身的轴线做高速旋转运动，并沿着绕虚拟插齿刀的轴线摆动。同时碟形砂轮做沿面齿轮齿长方向的径向进给运· · 动和沿面齿轮齿高方向的轴向进给运动，即可实现面齿轮齿廓的单齿展成加工，然后逐步对面齿轮进行分度，不断重复以上工序，直至面齿轮的所有齿完成磨削加工，面齿轮磨削机床简图见图2，其中{ Sk}（Ok xk yk zk）为面齿轮的初始位置坐标系， { St}（Ot xt yt zt）为碟形砂轮的初始位置坐标系。 1.2 砂轮与齿坯的位置关系
碟形砂轮与齿坯的位置关系如图3所示。{ Sr} （ Or xr yr zr）为面齿轮的动坐标系， { Se}（Oe xe ye ze）为碟形砂轮的动坐标系， φr为面齿轮转角， α为砂轮的摆动角度， { Sh}（Oh xh yh zh）为砂轮沿面齿轮齿高方向进给形成的动坐标系， { Sj}（Oj xj yj zj）为砂轮沿面齿轮齿长方向进给形成的动坐标系， L1为碟形砂轮初始位置坐标系{ St}与齿高方向动坐标系{ Sh}原点间的距离， L2为齿高方向动坐标系{ Sh}与齿长方向动坐标系{ Sj}原点间的距离， L为碟形砂轮的初始位置坐标系{ St}与面齿轮的初始位置坐标系{ Sk}原点间的距离，对刀后L值归零。坐标系之间的转换矩阵可表示为é cosφr sinφr 0 0 ù ê ú
Mrt = ê -sinφr cosφr 0 0
ú
0 0 1 0 ë 0 0 0 1 û
1.3 面齿轮齿面方程的建立
依据碟形砂轮磨削面齿轮原理，虚拟插齿刀是替代小圆柱齿轮与面齿轮啮合展成加工出面齿轮齿面，因此渐开线圆柱齿轮的齿面方程可表示刀具的齿面方程。渐开线刀具的齿廓截面参数见图4，设渐开线上任意一点的法矢为nf，插齿刀具的基圆半径为rbf ，任意一点的法矢与基圆切点到渐开线起始点之间的圆心角为θf，刀具在齿槽上的对称线和渐开线起始点的夹角为θf0，ab、cd分别为对应于刀具两侧齿槽的渐开线， uf为沿刀具轴线zf的齿宽参数。刀具加工面的曲面矢量方程可表示为é ± r bf [ sin ( θ f0 + θf )- θf cos (+ θ f0 θf ) ] ù ê ê ú ú rf - r bf [ cos ( θ f0 + θf ) + θf sin ( θ f0 + θf ) ]
( uf, θf ) = （ 2）
uf ë 1 û
θ f0 = Nf - ( tanαf - αf ) 式中，“±”号分别对应于渐开线ab和渐开线cd；Nf为插齿刀具的齿数； αf为插齿刀的压力角。刀具齿面上任意一点的单位法矢nf可表示为
é n fx ù é ∓cos ( θ f0 + θf ) ù nf = n fy = -sin ( θ f0 + θf ) （ 3）
ë n fz û ë 0 û面齿轮展成坐标系见图5，可以看出，对面齿轮和插齿刀具的运动坐标系作了重合处理，其中
{ Sk}（Ok xk yk zk）和{ Sp}（Op xp yp zp）分别为面齿轮和插齿刀具的初始位置坐标系， { Sr}（Or xr yr zr）和{ Sf} （ Of xf yf zf）分别为面齿轮和插齿刀具的动坐标系， γk为面齿轮与插齿刀具轴线间的夹角， φr、φf分别为加工时面齿轮和插齿刀具的转角。
xr 插齿刀动坐标系{ Sf}到面齿轮动坐标系{ Sr}之间的转换矩阵为é cos φr cos φf -sin φf cos φr -sin φf 0 ù ê ú
Mfr -sin φr cos φf sin φf cos φr -cos φr 0
（ 4）
=
sin φf cos φf 0 0 ë 0 0 0 1 û依据齿轮啮合原理和坐标系转换，将插齿刀具齿面方程进行转换，得到面齿轮齿面的矢量方程为
r ( θf, φf ) = é r bf [ cosφr ( sinφθ ∓ cosφθ) - sinφr / ( i rf cosφ θ) ] ù ê ú
- r bf [ sinφr ( sinφθ ∓ cosφθ) + cosφr/ ( i rf cosφ θ) ] （ 5） ë - r bf ( cosφθ ± θs sinφθ ) û
φr = i rf φf φθ = φf ±( θ f0 + θf )
r bf = mNfcosα f /2
式中， φθ为啮合转角； m为刀具模数； ir f为面齿轮与刀具的传动比。
1.4 含误差的齿面方程的建立
根据啮合方程和图3所示的碟形砂轮和齿坯的位置关系，通过坐标变换和向量计算，可以推导出在加工坐标系下包含误差的面齿轮齿面方程，方程的具体推导过程参考文献［ 13 ］。根据4×4 （ Denavit⁃Hartenberg）齐次变换矩阵，含误差的面齿轮齿面矢量方程可表示为
r3 ( θf, φf ; L1, L2, α )= Mjr r ( θf, φf ) （ 6）面齿轮齿面的法向矢量方程为n * （ 7）
=- nf M
jr é cos φr cos α -cos φr sin α -sin φr ù
M -sin φr cos α sin φr sin α -cos φr （ 8）
* jr =
ë sin α cos α 0 û
1.5 齿面的离散化
通过对正交面齿轮的理论齿面和实际齿面相同离散点的法向距离进行测量，可对正交面齿轮的实际齿面和其理论齿面的法向偏差进行测评。首先需要对齿面进行离散化处理。因面齿轮的齿面形状是复杂的空间几何曲面，该曲面由一个点集组成，该点集包含无穷个点元素，从而无法对这无穷个点集进行测量评价。为了方便检测，需要在面齿轮齿面上规划出一些网格点，并依据齿面方程计算出网格节点的坐标值。为了确保所选的网格节点可真实地反映面齿轮齿面的形状，通常取轴截面齿长方向的9个点、齿宽方向的5个点，则投影在面齿轮齿面上的45个点即为所选取的离散点，如图6所示。 为了使测量点分布在齿面啮合区域，规定在轴截面的齿高方向向内收缩5%，在齿长方向的大端和小端分别向内收缩10% ，面齿轮单齿轴截
［］ 14面网格的划分见图7，其中坐标轴原点为齿坯的三维坐标系的原点。
· · 网格中任意一点的位置表达式如下：
j -1 ü
Yi, =- r1 - (- r2 r1 ) j
8
ý （ 9）
5- i
Zi, =- r bf + h j
4 þ r1=-R1+ 0.1u r2=-R2- 0.1u u=R2-R1 h= 0.95H H= 3.5m
式中， i（i= 1，2，…，5）为行标； j（j= 1,2，…，9）为列标； u为齿宽； R2为最大外半径； R1为最小内半径； H为面齿轮齿高。
得到了面齿轮理论齿面上的网格点的坐标，将正交面齿轮的理论坐标系与三坐标测量仪（ CMM）的测量坐标系重合后，根据面齿轮齿面网格节点的理论坐标值和法向矢量可以测得齿面网格节点处的实际坐标值。由于分度误差是机床的固有误差，连续分度后齿轮同一侧的齿距误差是相同的，因而分度误差引起的齿距误差相对平稳，所以可通过提高机床分度精度的方式来减小齿距误差对测量结果的影响。由此可见，齿形误差是影响齿面误差测量的主要因素。为了消除齿距误差的影响，需要对测量的误差进行处理，可将真实齿面绕齿坯轴线旋转一定的角度，从而使得网格中间节点的误差归零。此外需要测量10个面齿轮齿面，以将偶然误差对齿面误差测量的影响降到最小。本文将测得的10组误差值的平均值作为最终测量的结果，见表1。
表1 齿面的10组误差值的平均值
齿轮齿面与刀具的相对位置关系，经由一系列的矩阵转换可得到正交面齿轮的齿面方程，面齿轮在加工时参数是固定的，所以一组加工参数对应一组齿面误差，因此对齿面误差的修正实际上就是对面齿轮加工参数的调整。若将加工参数作为变量，则可得到包含齿面误差参数的面齿轮齿面方程，即可根据方程优化加工参数，达到使齿面误差减小的目的。根据碟形砂轮与齿坯的位置关系，将L1、、L2 α 作为影响面齿轮齿面误差的3个主要参数。
根据含误差的面齿轮齿面方程，可得到齿面网格节点处的误差为
∂ r3 ∂ r3 ∂ r3
3
Δr3ij = Δθf + Δφf + Σ Δdk
（ 10） ∂ θf ∂ φf ∂ dk
k =1
式中， Δθf、Δφf分别为θf 和 φf的误差； dk为引起齿面偏差的机床加工参数，且d1 = L1, d2 = L2, d3 = α； Δdk为机床加工参数的误差。
对式（ 10）等号两边同时乘以齿面的法向矢量n ，可得
∂ r3
3
Δr3ij n = ξ ij = Σ Δdk （ 11）
n
∂ dk k =1
其中， ξ ij为齿面偏差，且此处满足
∂ r3 ∂ r3
n = n =0
∂θf ∂φf
将通过CMM对正交面齿轮齿面误差测量所得的45组误差值代入式（ 11）后，可得到一系列的方程，联立这些方程并对机床调整参数进行优化求解，从而达到减小正交面齿轮齿形误差的目的。3 基于序列二次规划对机床调整参数的求解
对于线性方程组Ax = B，其中A∈ Rpq， x∈ Rq， B∈ Rp，当p > q (即方程组个数多于自变量个数)时，则称此方程组为超定方程组。对于超定方程的求解，普遍采用最小二乘法进行求解，该计算方法往往会使计算的结果超出约束范围，从而使求得的解没有意义，即使没有超出约束，也会使求得的方程组的误差平方和非常大。而在面齿轮齿面的磨削加工中，机床调整参数包含砂轮在面齿轮齿高方向的位移距离L1、在面齿轮齿长方向的位移距离L2及砂轮的摆角参数α三个参数。方程组中包含代入45个齿面偏差后的45个方程，但作为未知数的机床调整参数只有3个，采用常规方法求解该超定方程组则无法求得方程组的精确解。本文采用序列二次规划（ SQP） 求解最优解的方法
［］ 15 来求解该方程组，从而达到优化机床加工参数、减小面齿轮齿面误差的目的。最优解的目标函数为
| |
∂ r3
3 min f ( Δdk ) = max Σ
Δdk n - ξ ij （ 12） ∂ dk k =1
即通过代入测量的45个网格节点的误差值后，计算得到最优解。其中 min ( Δdk ) < Δdk < max ( Δdk)表示调整参数变化量的范围 ，调整参数Δdk的迭代初始值为零。
机床调整参数的计算流程见图8，计算过程中对三项机床调整参数选择各自的搜索方向并确定各自的步长，即将SQP问题分解成二次规划（ qua⁃ dratic programming，QP）子问题后，在三个搜索方向上进行搜索，从而找到符合条件的最优解。 4 实验验证本文以面齿轮实际加工过程为例，对所提出的齿面误差修正方法进行验证。采用三坐标测量仪（ CMM）Xorbit plus 77，其测头直径为0.5 mm，对面齿轮齿面进行检测，见图9。在CMM不替换装夹方法的情况下，对同一面齿轮进行多次检测，得到了齿面误差基本一致的结果，因此可以排除CMM检测不稳定的因素对面齿轮齿面误差检测产生的影响。本文选用六轴五联动数控磨齿机QMK50A ，碟形砂轮磨削正交面齿轮（材料为18Cr2Ni4WA）为例，其基本参数见表2。
修正前齿轮的检测结果见图10，由检测报告可知，齿面最大误差为 0.371 μm，最小误差为0.207 μm。
在MATLAB中实现基于SQP法对机床调整参数的修正。为了体现该方法的可行性和优势，本文也采用传统的最小二乘法对机床的调整参数进行求解。两种方法的对比结果见表3。
·
对两种方法求解各自的误差平方和，采用SQP法和最小二乘法求解的误差平方和分别为
· 2036 · P1= 0.056， P2= 0.178，显然使用SQP法对机床调整参数进行求解更有效。使用SQP法优化后的参数，对该面齿轮进行修正后，再次检验其齿面误差，修正后齿面误差图见图11，通过与图10进行对比可以明显看出，采用SQP法对机床调整参数进行求解可使齿面误差得到较大的改善，以达到较为理想的修正效果，进一步证实了该方法在生产应用中的可行性。
5 结论
（ 1）根据面齿轮磨削过程中碟形砂轮与面齿轮之间的位置关系，建立了含有机床调整参数的齿面误差识别方程。
（ 2）根据对面齿轮的实体齿面误差的检测结果，提出采用SQP法对机床的调整参数进行求解，并与最小二乘求解法的结果进行误差对比，并再次对齿面误差进行测量，验证了本文提出方法的可行性和有效性。
（ 3）采用的对面齿轮齿面齿形误差修正的方法为其他齿轮齿形误差的修正或解决表面为曲面的零件误差修正问题提供了一定的参考。
参考文献：
［ 1 ］ 何国旗，严宏志，胡威，等. 面齿轮啮合过程中齿面接触分析［ J. ］ 中南大学学报（自然科学版），2013， 44（1）：95⁃100.
HE Guoqi，YAN Hongzhi，HU Wei，et al. Tooth Contact Analysis of Face Gear Meshing ［］ J . Journal of Central South University（Science and Techndo⁃ gy），2013，44（1）：95⁃100.
［］ 2 SIMON V. Computer Simulation of Tooth Contact