# An Evaluation Method of Line Profile Errors Based on Least Condition Principle

China Mechanical Engineering - - 中国机械工程 -

LU Xincheng1 HUANG Meifa1 TANG Zhemin1 ZHONG Yanru2

1.School of Mechanical and Electrical Engineering，Guilin University of Electronic Technology，

Guilin，Guangxi，541004

2. School of Computer Science and Information Security，Guilin University of Electronic Technology，

Guilin，Guangxi，541004

Abstract： A measuring method of simulating actual measuring tool processes was proposed to evalu⁃ ate the line profile errors. The method followed the least condition principle of shape tolerances in the na⁃ tional standard. The position relationship between the measuring points and the corresponding envelope boundary was analyzed，the set of measurement points was regarded as a rigid body. The relative mo⁃ tions were calculated between the rigid body and the boundary which might occur in the processes of the boundary shrinking to the minimum region，and finally all the measured points were located in the mini⁃ mum containment region. The results show that evaluation processes are more global and directivity than that of the large ⁃ scale search of common optimization algorithm，which may effectively avoid the local solutions of the search results caused by the algorithm defects. The proposed method is suitable for the error evaluation of line profiles.

Key words： line profile；least condition principle；error evaluation；virtual measurement

0 引言在大型船舶、航空和航天等领域，常常需要评定自由曲线的加工质量，因此，线轮廓度误差的准确评定有着重要的意义。由于自由曲线的特殊性，使其有时难以通过简单的几何方程来表示，此外，根据国家标准GB/T 1958⁃2004，形状公差的评定需要满足最小条件。在曲线轮廓度的评定中存在两大难点：一是求算测量点到理想曲线的最

［］ 1⁃3求算最短距离的方法主要有分割逼近 、粒子

［］ 4群搜索 、构造近似曲线 等。调整测量点位姿的

［］ 5 ［］ 6优化算法主要有遗传算法 、拟牛顿算法 、禁忌

［］ 3 ［］ 7搜索算法 等。但现有方法仍然存在两个问题： ①

［］ 8

1 线轮廓度公差带的定义与分析

［］ 9点必须位于包络一系列圆的两包络曲线之间。

Fig.1 Defination of line proflie tolerance zone

Σ

i NURBS在IGES、STEP和PHIGS等标准中广泛使用 ，因此本文中的理想轮廓选用NURBS曲

［］ 10

2.1 曲线数学模型的构建

［］ 10 其中， Pi为曲线上的控制点，这些控制点形成控制多边形来约束曲线的形状，见图2； ωi为权因子，首末权因子ω0、ωn > 0，其余ωi ≥ 0，且按顺序排列的p个权因子不同时为0，以防止分母为零、保留凸包性及曲线不因权因子而退化为一点 ； Ni, ( u ) ［］ 11

p表示定义在非周期且非均匀节点矢量U上的p次B样条基函数，函数形式及计算方法依据de Boor⁃ Cox给出的基函数递推式［］ 10 ：

Fig.2 Control point constraint curve shape（ p = 3）

U ={ a, … ,, a up 1, up 2, …, um 1, b, … , b }

 + + -- p  p +1 p +1

NURBS曲线由一系列基函数组合而成，为了保证曲线各连接处具有足够的光滑度，参数曲线需要满足一定的连续性，以符号Gn表示。一般情况下，拟合得到的曲线至少要满足G2连续性［］ 11 ，即

2.3 NURBS曲线的局部修改性

p+ 1

p（

p有如下形式： 其中， Bi， p（ u）表示p次的伯恩斯坦基函数，其二项式递推式如下： 3 模拟接触法计算最小距离

［］ 12的范围内变动，该范围内的两包络线段的曲率半径极大，曲率值极小，可看作相互平行的两条直线段，见图3。此外，对于平行的包络线段，在向理想曲线收缩的过程中，可能产生的弯曲变形可忽略不计，认为其始终保持平行并同时平行于对应的理想曲线段。

Fig.3 The envelopes of approximate straight lines in

the range of motion of measuring points

Fig.4 The rotation of measuring points driven

by the boundary

Fig.5 The containment boundary reaches the

minimum area

4 最小距离求算过程

Cn ( u· ) C' ( u )=0 （ 5）基于上述前提与说明，现构造测量点附近平行包络线段，通过寻找线段间最短距离来满足最小区域条件并进行线轮廓度误差求算，具体步骤如下：

（ 1）假设给定的公差值为a，设计曲线的节点矢量为U，测量点的坐标为Qi（xi ， yi），通过式（ 1）求出设计曲线上点的坐标C( ( x( , y( )， k表示设

k ) k ) k ) i i i计曲线上的点。对节点矢量U中每一个参数ui计算点距：

d = (- xi x( ) +( yi - y( )

( k ) k ) 2 k ) 2 i i i

k ) i

k ) k ) i i λ的取值范围可根据经验在（ 1，1.5 ］范围内选取。

Fig.6 Adjusting the distance between ideal points and

measuring points

（ 2）结合式（ 4）计算各等分点处切向矢量，根据矢量C' ( u )与坐标C( k ) ( x( k ) , y( k ) )计算切线方程， i i i再由点到直线距离方程，计算各测点Qi与对应切线的距离Di：

max

max

Fig.7 Tectonic parallel line

（ 3）当接触第一个测点后， L1沿理想点的反向法向矢量方向向理想曲线靠近， Q1在L1的推动下沿着相同的矢量方向移动。为了保持所有测点的相对位置不变，令所有测点均沿Q1的移动方向改变位置。对于除L1外的其余包络线段，沿各自反向法向矢量方向向理想曲线靠近。在靠近的过程中，所有包络线段的移动速度v均相同。

（ a） θ< 90° (b) θ= 90° （ c） θ> 90°

Fig.8 Three cases of vector angle

① θ∈ ［ 0o，90o），计算测点到包络线段的距离S，则两者接触时所需时间

② θ= 90o，两者接触所需时间

③ θ∈（ 90o，180o ］，两者接触所需时间

（ 4）找到Q2后，计算Q2接触L2所需的移动距离。以θ∈（ 90o，180o ］为例，构建Q2与L2的几何关系见图9。Q2向A移动， L2向Q2移动， x为Q2和L2的移动距离， h为Q2到A的距离， S为Q2到L2的距离，由相关几何条件可知：

Fig.9 Q2 translation to L2

（ 5）当2个测点均接触到对应包络线段后，第三接触点Q3的搜索是平移和旋转的复合运动。根据国家标准GB/T 1958⁃2004中关于形状公差及其评定的描述，在最小包容区域的判定中有3种准则，基于此可得到间距最小的两平行平面。同理，在线轮廓度误差评定中可以用此判断最小区域。

Q3的复合运动可将其拆分为平移和旋转2个独立运动依次进行。在Q2接触到L2后， Q1、L1和Q2、L2存在如下2种位置情况（图10）：

①当处于图10a的位置关系时，仍可按照搜索Q2的方式搜索Q3，即只存在平移运动。可以证明，

Fig.10 Two positions of envelopes and

measuring points

②当处于图10b的位置关系时，则会产生旋转运动，旋转中心位于Q1和Q2连线上，见图11。可以证明在Q1和Q2连线上存在一点O使得连线绕O点旋转一定角度α后，其两端点B1、B2与包络线段的间距相等。实际情况下，为满足上述条件， O点会随Q1Q2的旋转而不断改变位置。

Fig.11 Rotational motion

B1 B2

（ 6）线段Q1Q2旋转方向由L1和L2的平移矢量方向决定。分别计算旋转前与旋转后测点到各自包络线段的距离并更新旋转中心点位置。当距离的最小值为0时， Q3接触对应包络线段L3，此时若满足GB/T 11337⁃2004中的判定要求，则完成最小区域的搜索；若不满足判定要求，则继续旋转直到满足要求。

5 实例分析

（ 1）调整理想点与测点间距。计算表1中的测点与理想点的间距，若理想点与测点的间距大于1.5倍公差值，则在理想曲线上选取新的理想点，

（ 2）计算切线方程并搜索最大距离。由理想点的坐标计算得到理想点处的切线方程，再结合测量点数据搜索测点到各自切线的距离Di，其中最大距离Di， max= 0.586 8 mm，对应测点序号为18，见表2。 （ 3）包络边界接触第一接触点。对所有切线沿各自法向矢量方向，在距离测点0.586 8 mm处构造包络线段。此时第一接触点与对应包络线段接触，且矢量模长均为0.586 8 mm。

（ 4）搜索第二接触点。根据式（ 7）计算各测点法向矢量方向与18号测点法向矢量方向的夹角θ，见表3。设所有包络线段沿各自法向矢量方向的移动速度v= 1 mm/s，根据θ计算各测点在18 号测点法向矢量方向上的分速度，并通过该速度计算测点移动至与对应包络线段接触的过程中，所需时间T的最短时间来确定第二接触点。

（ 5）搜索第三接触点。由式（ 11）计算出移动距离x，将测点沿第一接触点法向矢量Cn （ u18）方向平移距离D18，包络线段沿各自法向矢量方向平移

6 结论

（ 1）根据轮廓度公差的定义，分析了轮廓度误差的评定过程及相关特征，并建立了模拟实际测量的虚拟量具模型。在遵循物理规律的情况下，模拟实际量具的评定过程，使评定过程中各阶段得到的误差值均比前一阶段误差值小，不存在上下浮动情况，且评定过程中始终考虑所有测量点的整体运动，不存在陷入传统优化算法中局部解的情况，本文方法具有全局性和单一性。

（ 2）以测量仪器分析数据为对比进行曲线轮廓度误差的评定并给出评定结果，结果表明本算法具备有效性及正确性。

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(编辑 胡佳慧)

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（编辑 袁兴玲）

（ b）旋转

（ a）平移