Chinese Journal of Ship Research
环肋圆柱壳卧置状态下的重力变形分析
1，张岳林1，陈武2刘东1 91404 066001中国人民解放军 部队，河北 秦皇岛2 201913海军驻上海江南（造船）集团有限责任公司军事代表室，上海
摘 要：为了研究潜艇耐压壳体合拢阶段端口处在自身重力作用下产生的变形，基于板壳理论的有矩理论和无矩理论，推导环肋圆柱壳自由端变形的简单计算公式，计算结果与有限元仿真结果进行了比较，验证了公式的可靠性。结果表明：当底部简支的薄壁圆柱壳受到自身重力影响时，自由端变形量与圆柱壳内半径的四次方成正比，与壁厚的二次方成反比；对于悬臂圆柱壳，重力载荷对自由端面的圆度影响不大，随着自由端与固支端的距离增大自由端变形量呈非线性递增趋势，且增加速率逐渐增大。随着圆柱壳内半径增加，自由端变形量逐渐0.75降低，当圆柱壳内半径是纵向长度的 倍时，自由端变形量达到最小，此后，随着圆柱壳内半径增加而逐渐增大。研究结果可为环肋圆柱壳卧置状态下的重力变形计算和加强措施提供参考。关键词：环肋圆柱壳；重力变形；结构力学；弹性力学；板壳理论；无矩理论
0引言
20 40 4世纪 年代以来，造船模式大致经历了个阶段，包括按功能/系统组织生产、按区域/系统组织生产、按区域/阶段/类型组织生产以及按区域/阶段/类型一体化组织生产，最后阶段的造船模式又称为现代造船模式［1-4］，该模式有利于加强船舶工业企业管理、缩短造船周期、提高建造效率及现代化管理水平，从而被国内外造船界公认为当今最先进的造船模式。但是，随着现代造船模式的兴起，在传统造船模式中没有出现过的问题也逐渐显现。以潜艇建造为例，作为典型环肋圆柱壳的耐压壳体在合拢施工阶段均处于卧置状态，按照总段模块化建造要求，很多设备在组装前已经安装到位，卧置的圆柱壳在自身重力作用下会产生变形。当变形超出一定范围后，将对耐压壳体大合拢阶段的装配造成影响，例如，在壳体的椭圆度较大时强行装配圆柱壳圈会产生较大应力，严重时可能产生裂纹，造成安全隐患。目前，解决该问题的通常做法是在圆柱壳的端部设置内部支撑结构，以避免卧置状态下因自身重力作用及其他载荷原因引起变形。但按模块化设备安装施工的需要，部分圆柱壳的端部不能设置支撑结构，为了提高圆柱壳结构的安全性、总段合拢施工效率以及保证建造质量，需要先预报处于卧置状态下的圆柱壳在自身重力和设备等其他载荷的影响下产生的变形量，进而提出相应的解决措施。在圆柱壳中，为了得到应力状态的近似解，计算时，可取圆柱壳端部变形的平均值作为计算值［5］ ，而主曲率半径变化通常可以忽略不计［6］。2对圆柱壳进行非线性分析，必须考虑以下个问题：第一，建立能正确描述结构非线性特性的程［7-8］；第二，方程组建立后，寻求简单、有基本方效的求解方法。目前，圆柱壳非线性问题的求解2方法主要有 种，即半解析法和数值法。半解析法指在求解控制方程的过程中引入部分解析解或解析函数；解析法指在求解球—环—锥组合壳体结构时，取薄膜解和边缘力作用下有矩解的和来表示各壳段的内力，并利用边界条件，得到结构应力的解析式［9］。 等［10］基龚良贵 于卡门假设和板壳理论，建立了球对称变形下完整球壳非线性弯曲的控制方程。郑衍双等［11］为了研究局部缺陷对球14 4壳破坏压力的影响，开展了 个铝球壳和 个钢球壳的模型试验，并得到球壳破坏一般为局部现象的试验结果。 在圆柱壳的几何、物理模型及重力载荷引入某些简化假设的基础上，本文采用经典板壳理论中的有矩理论和无矩理论，对环肋圆柱壳在自身重力作用下的变形及其影响因素进行研究分析。
1 理想圆柱壳的自重变形
1图 所示为处于卧置状态下有底部简支的理想圆柱壳。图中：A为圆柱壳上任意位置的截面， A0，A1，A 分别为 X 轴正向、Z 轴负向和 Z 轴正2向截面一部分；U1，U 2，ω 分别为 A1 ，A ，A0 截0 2 mm；P面在各自方向上的变形， 为支撑点， R 为mm圆柱壳内半径， 。对于 A 截面： X = R cos φ ， Z = R sin φ 。 M ，M1为作用于圆柱壳任意截面 A 0的弯矩，而作用于圆柱壳任意截面 A的垂直力对弯矩 M 的影响很小，可忽略不计； M 为第一象2限 A 至 A的圆柱壳自身重力作用于 A截面的弯2矩；圆柱壳底部支撑平台对右半侧圆柱壳的反作P/2。用力传递到截面 A0 的值为 设圆柱壳位于第一象限的部分于 A0 截面处固定，在 M 作用下，A 分别向下和向左位移，并2 2按下式计算 M 。2 （1） M = M - π2 R2 Fγ ( 1 - cos φ) 2 0 mm2；γ式中： F 为圆柱壳截面面积， 为圆柱壳重度，N/mm3；φ 轴正向的夹角，（°）。为计算点与 X
对于圆柱壳下半圆的第四象限，设第四象限的圆柱壳于 A0截面处固定，则在平台对右半侧圆柱壳向上的反作用 P 和第四象限圆柱壳向下的自身重力共同作用于任意截面 A的弯矩 M1作用下，A1向左上方位移。第一象限圆柱壳的自身重力作用于 A0截面的值是 P/2 ，并按下式计算 M1 ：2 M1 = M - π2 R2 Fγ(1 - cos φ) （ ） 0则3 M1 = M =M （ ） 2即作用于圆柱壳任意截面 A的弯矩相等。（4） M = M0 - π2 R2 Fγ(1 - cos φ)以第四象限为例，计算弯矩 M 值。令 ε0 = 0 ， mm；ω ω =- RM/EI ，其中： ε0 为线应变， 为角应rad；E MPa；I变， 为圆柱壳材料的弹性模量， 为截面惯性矩，mm4。A0 和 A1两个截面的夹角在圆柱壳自身重力作用下发生变化，其中（5） M = R2 Fγ(π2 cos φ - 1)求解得到弯矩后，圆柱壳在自身重力作用下垂直方向变形量U 指的是垂直位置的圆柱壳内半径在垂直方向的减少量。第四象限 A1 点在垂直方向向上的位移U1 -π/2 π2 0 （6） U1 = R ω cos φdφ = R4 FγEI -1 8由此，垂直位置的圆柱壳内半径在垂直方向的减少量U π2 U =4 - 1 R4 （7） ρgF 8 π EI为材料密度，kg/m3；g 为重力加速度，m/s2。式中：ρ
2 悬臂圆柱壳的自重变形
19板壳理论是 世纪末基于基尔霍夫—乐甫（Kirchhoff-Love ）假设建立起来的。根据板壳理论，如果壳体的几何形状和表面载荷都是连续可微函数，则壳体处于无弯矩的应力状态，即称之为板壳的无矩理论。2所示，q1，q如图 2，q3为圆柱壳所受载荷 q0分别在纵向、环向及法向的分量； F T1，FT2 和F = F 分别为纵向拉压力、环向拉力及平错T12 T21力，则柱壳的无矩理论平衡方程和弹性方程分别由式（8），式（9）给出。 式中：u，v，w 为圆柱壳中面内各点的纵向、环向及法向位移，mm；α，β 分别为圆柱壳纵向、环向长度，mm，δ 为圆柱壳厚度，mm；μ为泊松比。 3图 所示为假设全长为l的某个各向同性材料的悬臂圆柱壳。图中，左、右两端分别为固支端和自由端。 取圆柱壳截面中点O 为坐标原点，由于对称性，只对圆柱壳纵向长度 α的正向进行计算，载荷及其在 个方向上单位面积载荷分量分别为： 2其中，积分后产生的常数分别由 个边界条件确定 ，即 自由边： F = F = F = 0 ；固 定边： T1 T12 T21
2.1 自由端变形随α的变化
采用上述理论方法，计算圆柱壳不同纵向长度 α时的自由端顶点的变形，同时进行有限元仿真，并与理论值进行比较，研究自由端变形随α 变ABAQUS化的规律。采用大型有限元软件 进行求4解，不考虑非线性修正。选取 种不同纵向长度α 0.01R。对模型与圆柱壳内半径 R 的比值，且 δ = 1施加 g = 9 800 m/s2 的重力载荷，得到表 所示两种方法的计算结果，以及圆柱壳自由端变形云图4）和自由端变形随 5）。（图 α变化的曲线（图1 4由表 和图 可知，本文计算结果和采用ABAQUS软件仿真解较为接近，相对误差控制在3%以内，自由端变形量随 α增大而呈非线性递增趋势，且增加速率逐渐增大，说明自由端与固支端5也的距离是影响自由端变形的重要因素。由图可以看出，距固支端较近的位置无明显变形。在 实际工程中，应尽量增加支撑墩木的数量以避免自由端与固支端距离过大。本文计算结果相较于4有限元解偏大，主要是因为有限元仿真使用了S4R节点线性缩减积分单元（ ），采用完全积分单元有望使计算结果更加精确。
2.2 自由端变形随 δ的变化
由板壳理论可知，薄壁壳体问题仅适用于壁1/20厚小于 内半径的情况。为了建立一系列壁厚大范围变化的悬臂圆柱壳模型，仿真时将圆柱壳1/20 4种的壁厚 δ 控制在其内半径的 以内。选取不同壁厚 δ 与内半径 R 的比值。对模型施加2 2 g = 9 800 m/s2 重力载荷，得到表 所示 种方法的计算结果，以及圆柱壳自由端变形随 δ 变化的曲6）。线（图 2 6由表 和图 可知，随着 δ 增大，自由端变形未发生变化，这与自由端变形的表达式是一致的。由 u，v，w 的表达式可知，各式中均含有q = Eδ 项，而 q = ρδg ，消去 δ 可以发现自由端变0 0形是一个与 δ 无关的值。根据有限元仿真结果，随着 δ 增大，自由端变形呈线性略微减小的趋势。这是由于圆柱壳壁厚增大改变了模型的刚度，与实际情况相符，说明随着 δ 增大，本文计算
结果的精度逐渐变差，但与有限元解的相对误差2%以内，满足工程实际需求。基于数值法控制在引入修正系数有利于提高计算结果精度。
2.3 自由端变形随R的变化
根据实际情况，本文选取内半径 R 分别为2 000，3 000，4 000，5 000，6 000 mm的环肋圆柱5壳，并选取与 种不同纵向长度 α 的比值，对模型施加 g = 9 800 m/s2 的重力载荷，经计算后，得到如3表 所示两种方法的计算结果，以及自由端变形7）。随 R变化的曲线（图7由图 可知，随着圆柱壳内半径增大，自由端= 0.75α时，自由端变形量达变形逐渐减小，当 R 4到最小，之后随着 R增大而逐渐增大。结合图自由端变形云图可知，无论无矩理论解，还是有限元仿真解，自由端上方变形和下方变形都是相似的，即重力载荷并未大幅度改变圆柱壳的圆度。在研究自由端变形随 R变化时，本文解相较于有1%左右。限元解偏大，相对误差
3 算例分析
8以图 所示的环肋圆柱壳为研究对象，计算端面变形。该圆柱壳为某潜艇舱段仿真图，舱段10 000 mm 100 mm全长，肋骨间距 ，肋骨尺寸^ 26 ´ 300 4 500 mm ，圆柱壳内半径 ，材料密度30 ´ 140 ρ = 7 850 kg/m3 ，弹性模量 E = 210 GPa ，泊松比2 μ = 0.3 ，后 个参数可以反映舱段合拢处圆柱壳的刚度。对于支撑结构的刚度，由于本文主要目2的在于研究需要合拢的 个端面的变形差，即使2支撑结构发生较大变形，个端面支撑结构的变形也基本一致，2个端面变形差还是主要取决于圆柱壳自身重力作用，故边界条件为底部简支。 2个在计算环肋圆柱壳端面变形时，引入了假设条件：外板厚度相对于肋骨腹板较小，将外板重量施加在腹板上，基于有矩理论计算腹板的自重变形；肋骨变形后为端面提供固支的边界条件，则该问题变成基于无矩理论计算悬臂圆柱壳的自2由端变形，求解 个变形量的代数和，即得到端面变形。肋骨变形
自由端变形= 0.29 mm U = u2 + v2 + w 2 2端面变形= 6.22 mm U = U1 + U 2
4结论
本文对环肋圆柱壳卧置状态下的重力变形进行了分析，得到以下结论： 1）对于理想圆柱壳底部简支情况，有矩理论表明，在自身重力作用下，圆柱壳垂直位置的内半径在垂直方向减少量随内半径增大而增大，随厚度增大而减小，变形量基本上与内半径的四次方成正比，与厚度的二次方成反比。2）对于设置有固支端和自由端的悬臂圆柱壳情况，无矩理论表明，自由端变形量随圆柱壳内半径增大而减小，随厚度增大而减小，同一端面各点的变形量大致相同，即重力载荷对自由端面的圆度影响不大。3）根据本文计算分析，悬臂圆柱壳自由端变形数量级较小，在工程实际中，横舱壁刚度较大，可近似提供固支边界条件，说明横舱壁对自由端变形影响很大。4）本文在使用有限元建模时采用了4节点线性缩减积分单元，而使用非线性完全积分单元能否提高精度是下一步研究的方向。
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