含空腔点阵增强夹芯结构的固有振动分析方法

王祖华，殷洪430205武汉第二船舶设计研究所，湖北武汉

王祖华，殷洪

摘 要：［目的］为研究芯层含多种组分的含空腔点阵增强夹芯结构的固有振动特性，探讨此夹芯结构的固有振动分析方法，［方法］首先，通过体积平均，将圆台形空腔近似视为圆柱形空腔来处理，采用多层次均匀化的思路，将含增强柱和空腔的复杂芯层等效为正交各向异性材料，并利用Mori-Tanaka方法进行2次单相夹杂处理，获取芯层的等效弹性模量。然后，基于一阶剪切变形理论建立运动学方程，进一步利用芯层等效弹性模量的计算值，采用双三角级数求解四边简支含空腔点阵增强夹芯结构的固有频率。最后，在此基础上，分别探讨芯材面板模量比、点阵增强柱体积比和空腔体积比对含空腔点阵增强夹芯结构固有频率的影响规律。［结果］与有限元计算结果的对比显示，固有频率的相对误差不超过3%，验证了该方法的正确性。［结论］所提方法可快速、准确地计算含空腔点阵增强夹芯结构的中、低频固有频率，且数理模型清晰，公式简单，易于对其规律进行研究。关键词：空腔；点阵增强；夹芯结构；均匀化；一阶剪切变形；固有频率

Analysis on natural vibration of lattice reinforced sandwich structure with cavities

Wang Zuhua，Yin Hong Wuhan Second Ship Design and Research Institute，Wuhan 430205，China Abstract：［Objectives］In order to study the natural vibration characteristics of the lattice reinforced sandwich structure with cavities，whose core layer contains multiple components，an analysis method for the natural vibration of the sandwich structure is discussed here.［Methods］Firstly，frustum cone-like cavities are approximated as cylinder-like ones in the principle of volume average. the multi-level homogenization is adopted，the complex core layer of the sandwich structure is taken as orthotropic material，and the single-phase inclusions are performed twice by using Mori-Tanaka method to obtain the equivalent elastic modulus of the core layer. Then the equation of motion is established based on first-order shear deformation theory，and then combined with the resultant equivalent elastic modulus of the core layer so as to figure out the natural frequency of the four-sided simply supported lattice reinforced sandwich structure with cavities by using double Fourier series. On this basis，the influences of core panel modulus ratio，lattice-enhanced cylinder volume ratio and cavity volume ratio on the natural frequency of the lattice reinforced sandwich structure with cavities are discussed. ［Results］ By comparing with the finite element calculation results，the relative error of the natural frequency is less than 3% ，and the correctness of this method is verified.［Conclusions］The method discussed in this paper can calculate the natural vibration characteristics at medium and low frequencies of the lattice reinforced sandwich structure with cavities accurately and quickly by using clear mathematical models and simple formulas，which helps to study the law of the natural vibration characteristics easily. Key words：cavities； lattice reinforced； sandwich structure； homogenization； first-order shear deformation；natural frequency

0引言

含空腔点阵增强夹芯结构由面板和内含多种组分的复杂芯层组成，是一种兼具力学和声学性能的夹层吸声复合材料。沿厚度方向植入的增强柱能够较好地提高夹芯结构的承载能力［1］，在上、下面板之间使用合理布置的圆台形空腔可以实现吸、隔声功能［2］。含空腔点阵增强夹芯结构的芯层由芯材、周期性分布的点阵增强柱及空腔组成，其结构形式复杂，各结构组分的形状、尺寸、材料参数均可影响整体结构的固有振动性能，故难以直接运用经典的层合板理论对其固有振动开展研究。目前，针对芯层含内部组分的复合材料夹芯结构的振动研究方法，主要包括基于板壳理论的解析方法和有限元方法。王展光等［3］对金字塔点阵夹芯结构的动态力学响应进行了理论分析，其假设面板只承受面内轴力而不承受横向剪力，腹杆承受横向剪力而不承受轴力，从而将点阵夹芯Reissner板折算为等效的均质夹层板，采用 夹层板理论，对其在自由振动和简谐载荷作用下的受迫振动问题进行了研究。Lok Cheng［4］通过将梯和形棱柱点阵夹芯板等效为均匀的正交各向异性厚板，采用一阶剪切变形理论，解决了在四边简支边界条件下自由振动和简谐载荷作用时的受迫振动Reddy问题。徐胜今等［5］采用 高阶剪切理论，对正交各向异性蜂窝夹层板进行分层研究，推导出了蜂窝夹层板的动力学基本方程，并对正交各向异性单向蜂窝夹层板的自由振动进行深入研究，给出了对边简支时的频率方程和振型函数，同时分Lou 等［6］析了夹芯厚度及厚跨比对频率的影响。研究了复合材料四面体点阵夹芯结构的自由振动特性，通过对单胞进行受力分析，求得金字塔点阵芯子的等效横向剪切模量，考虑面板的弯曲变形Hamilton）变和芯子的剪切变形，根据哈密尔顿（分原理推导自由振动控制方程，并求解了固有频ANSYS率的理论值。朱波等［7］应用 有限元分析软8 Solid 45件，采用 节点 实体单元，对建立的增强型夹层圆柱壳物理模型进行了自由振动及瞬态动力学过程分析，并考虑树脂材料性能、尺寸和分布等参数变化，分析了点阵增强和齿槽增强对夹层圆柱壳动力学性能的影响。前人使用的解析方法主要基于成熟的板壳理论，将含内部组分的芯层进行简化等效处理，以方便控制方程的求解，从而对复合材料夹芯结构的振动特性进行分析。该类方法对于芯层内部组分 材料相同、尺寸单一且分布形式相似的夹层结构2具有一定的普遍适用性，但对于芯层内含 种以上组分，且组分材料不一、尺寸不同的夹层结构，则无法直接适用。Zhu对于多组分复合材料的等效处理研究，等［8］基于广义自洽法，采用分步均匀化等效的思路，获取了电化学沉积修复饱和混凝土的有效性献［8］提能。本文将借鉴文 供的多层次均匀化等效思路，来处理含空腔、点阵增强柱和泡沫基体的复杂芯层的等效问题，并基于一阶剪切变形的夹层板理论，对四边简支含空腔点阵增强夹芯结构的固有振动进行研究。

1 芯层的均匀化等效

含空腔点阵增强夹芯结构由面板和内含多种1组分的复杂芯层组成，如图 所示。该夹芯结构的芯层是由芯材、周期性分布的空腔和点阵增强3柱组成的 相复合材料。研究夹芯结构固有振动的关键是解决含空腔、点阵增强柱和泡沫基体的Mori-Tanaka复杂芯层的等效问题。本文基于 方法，采用多层次均匀化的思路对含复杂组分的芯层进行等效处理。

1.1 Mori-Tanaka 方法

Mori-Tanaka Eshelby方法是一种基于 等效夹杂理论求解复合材料等效弹性模量的细观力学方法［9-10］。对于两相夹杂复合材料，其有效模量表示为

（1）

L = L 0(I + C1 A)-1其中，应变集中因子张量 A为（2） A ={L + (L1 - L 0)[C1 I + (1 - C1)S]}-1(L - L1) 0 0式中：L为等效后复合材料的弹性常数张量；L0

为基体相的弹性常数张量；I 为四阶单位张量；C1为夹杂相的体积比； L1为夹杂相的弹性常数张Eshelby量；S 为 张量，其值由 L 和夹杂形状决定。0 Zhao Eshelby等［11］给出了 S张量 的表达式，当ν0夹杂相为圆柱形，材料各向同性，泊松比为 时， Eshelby其 张量 S的矩阵形式可写为

1 G12式中：E11 ，E ，E 分别为弹性主方向上的弹性22 33模量； G12 ，G ，G 分别为平面内的剪切模量； 23 31 ν12 ，ν ，ν13为主泊松比；ν ，ν31 ，ν32为次泊松比。23 21的矩阵形式代入式（1）和式（2），可将 L0 ，L1 L͂求出复合材料的等效弹性常数张量 ，对其矩阵

形式求逆，就能较方便地得到各个等效弹性模量。

1.2 芯层的等效过程

对于周期性分布的增强柱及空腔的芯层结 构，本文采用多层次均匀化等效的思路来获取其

等效弹性模量。1）第1层次等效。以泡沫芯材作为基体，空腔作为夹杂相，两相

复合成为含空腔泡沫芯层。空腔为圆台形，在面 内方向上，含空腔泡沫芯层可视作各向同性材料； 考虑到本文主要研究的是芯层整体结构的固有振 动，可通过体积平均，将圆台形空腔近似视为圆柱

形空腔来处理，进一步与芯材基体等效为正交各A，等效过程如向异性材料，并记作等效复合材料2（a）所示。利用式（1）和式（2），即可求得复合图 A材料 的等效弹性模量。为避免计算过程中出现的奇异问题，将空腔视作一种弹性模量和泊松比 都非常小的材料［13］。采用体积平均方法将圆台形空腔等效为圆柱形空腔，其等效直径为

5 ϕ = 2 (ϕ + ϕ2 + ϕ ´ ϕ 2)/3 （ ） 1 2 1式中，ϕ1 ϕ 分别为圆台形空腔的上、下端直径。2 2）第2层次等效。A以等效复合材料 为基体，点阵增强柱作为2夹杂相，两相复合进行第 层次的等效。由于增强柱为圆柱形，可以将复合材料等效为正交各向异B。采用Mori-Tanaka性材料，并记作等效复合材料方法，将式（3）和式（4）代 式（1），即入 可求得正交B各向异性等效复合材料 的等效弹性模量。等效2（b）所示。过程如图 （b）第2层次等效 图2 含空腔点阵增强芯层等效为正交各向异性材料的过程Fig.2 Process of the lattice-reinforced core with cavities equalizing to orthotropic material 由上述多层次均匀化等效过程可知，等效复B合材料 的模量即可反映含空腔点阵增强芯层的宏观力学性能。

2 一阶剪切变形的层合板理论

取芯层中面作为坐标平面，含空腔点阵增强3 层，h0，h1，h2，h3夹芯结构共 分别为各层厚度，如3图 所示。根据一阶剪切变形的假设，层合板内任意一

图1 含空腔点阵增强夹芯结构示意图Fig.1 Schematic diagram of the lattice-reinforced sandwich structure with cavities