Chinese Journal of Ship Research
基于波动法的双层板振动功率流分析
杨培凯，陈美霞，陈乐佳
摘 要：［目的］耦合双层板结构是船体中的常见结构，研究其结构振动及其功率流特性具有重要意义。［方法］基于薄板理论，采用波动法建立有限尺寸双层板的振动模型，在结构耦合及激励处离散，由连续条件将各离散
板的运动方程组装。运用上述方法，验证波动法解析解与有限元法数值解的准确性。在此基础上，分析激励力角度、连接件角度及其厚度对振动功率流的影响。［结果］研究结果表明：弯曲振动功率流和面内振动功率流均
随着频率的增加而增大，而面内振动功率流在低频段远小于弯曲振动功率流，随着频率的增加，二者逐渐靠近；弯曲振动功率流在全频段随着激励力角度的增加而增大，面内振动功率流在高频段随之减小；随着连接件的倾角和厚度的增大，都会使接收板的振动功率流降低。［结论］研究结果对于双层板结构的设计及应用具有一定的
参考价值。关键词：双层板；振动功率流；耦合振动；波动法
0引言
耦合双层板结构常见于船体结构中，例如船底板、舱壁等，其弯曲振动和面内振动及辐射噪声与舰船的安全性和适用性密切相关。因此，研究双层板结构振动功率流有助于舰船减振降噪设计。目前，国内外基于波动法的耦合结构振动功L率流相关研究多为 型板，而对双层板结构的功例如：Kessissoglou［1］运率流分析却不多见。 用波L动法研究了 型板的振动与功率流特性，结果表明，面内波在低频段对功率流的影响不大，但在高频段作用显著；Cuschieri等［2-4］分析了薄板和厚板L情况下的 型板功率流，发现薄板的面内波在弯0.1曲波波数与板厚的乘积小于 时的作用可以忽1时影响较大；Zhang等［5］讨论了双层略不计，大于耦合板和“口”字型耦合板的振动特性，发现面内平均振幅远低于弯曲振动，仅在共振峰处的面内波幅值与弯曲波幅值接近；朱瑞仪［6］基于波动理论将板结构简化为梁的方法，分析了多转角结构和双层板结构的功率流及其振动衰减特性；赵芝L梅等［7］基于波导方法讨论了激励特性对 型板振动功率流的影响，重点分析了激励力角度和力矩混合等激励特性对面内波的影响；漆琼芳等［8-9］采用波动法研究了有限尺寸耦合板的振动功率流与板的激励力角度及连接角度的关系，结果表明，较低频率时的弯曲波功率流远大于面内波功率，而［10］高频时二者相当；姚熊亮等 基于波动理论分析了典型船舶中振动波的传递特性，结果表明突变截面使阻抗失配，由此加剧了振动波的转换，使隔［11］振效果得到改善；赵建学等 采用平均法导出了系统功率流传递率，发现双层隔振系统有比等效线性隔振系统更好的低频隔振性能。鉴于目前使用波动法分析耦合板功率流的研究成果较多，而对于双层板结构的相关研究则较为少见，本文将基于薄板理论采用波动法建立有限尺寸双层板的振动模型，在结构耦合处断开，离散后将每块板的运动方程组装，求解得到振动响应。在此基础上，计算弯曲振动功率流和面内振动功率流，并分析激励力角度、连接件角度和厚度对振动功率流的影响，以为双层板结构的设计提供一定的理论指导。
1 理论推导1.1 双层板运动方程
2本文研究的耦合双层板结构由上、下 层矩形薄板和中间连接板组成，并将双层板模型在激6励力处及结构连接处断开后离散为 个区域，记1~板6，图 1 6为板 示出了 个板各自的局部坐标方向和内力方向。图中：ui ，vi ，wi 分别对应第i 块板在 xi ，yi ，zi 方向的振动位移；θi =¶ wi /¶xi ，为转角；V ，M ，N 和 N 分别为第i 块板横截xxi xxi xxi xyi
面上等效的法向纯剪力、弯矩、面内纵向力和面内1剪切力，内力表达式见文献［ ］；简谐激励力F (x0 y 0) 与 x 轴夹角记为 α（以下称激励角），板2 4与板 的夹角记为 β （以下称连接角）；板宽为1~板 6 Ly ，板 在 y = 0 和 y = Ly 处均为简支边界， 1 5 3 6板 和板 的左端及板 和板 的右端均为自由边界。Poisson-Kirchhoff 设［1］，不由 薄板假 考虑剪切变形情况下薄板的振动微分方程为
（1）式中： D = Eh3 [12(1 - μ2)] ，为板的弯曲刚度，其中
E，h，μ 分别为杨氏模量、薄板的板厚、泊松比； =¶ 4/¶x4 + 2¶ 4/¶x2 ¶y +¶ 4/¶y ，为算子； ρ 为薄4 2 4板的密度；cl ，c 分别为纵波和剪切波波速；Fx ， t
Fy 和 Fz 分别为激励力在对应方向上的分量；t为时间。1 6如图 所示，离散后的双层板的 个区域记为1~ 6，Lxi板 板 为各板沿局部坐标 x 轴方向的板长，i=1，2，3，4，5，6。由于板在 y = 0 和 y = Ly 处均6为简支边界，故 个区域内的振动位移响应（省略时间项）如式（2）所示。¥ wi (x y) = åWi (xi )sin ky y m m =1 ¥ å 2 ui (x y) = Ui (xi )sin ky y （ ） m m =1 ¥ vi (x y) = åVi (xi )cos ky y m m =1式中：设Wi (xi ) = Ai ekxi ，为第i块板上面外方向的m位移通解形式，其中，下标m为模阶数，Ai 为位移函数中的待定系数，回代到振动式（1）中可得模态4个根；ky波数 k 的 为板结构沿 y 方向的模态波数，ky = mπ/Ly ，从而得到Wi (xi )的表达式。采用m 2同样的方法，可得 个面内方向的位移Ui (xi ) 和m的表达式，如式（3）所示。Vi (xi ) m
（3）式中： kx ，k 分别为结构弯曲波沿x方向的行波n波数和快衰波波数，kx = k - ky ，k = k + ky ， 2 2 2 2 p n p其中，k 为弯曲波波数，k = ω ( ρh/D )14 （ ω为圆p p
频 率）；λ1 和 λ3 为面内波动解的特征值， 2 4 λ1 =± ky - k ，λ3 =± ky 2 - kl 2 （ kl 和 k 分别为2 2 2 t 4 t
面内纵波波数和剪切波波数 ，kl =ω ρ(1 - μ2 )/E， k =ω 2ρ(1 + μ)/E ）；Ai 和 Bi (i = 1~6 j = 1~4) 为t j j位移函数中的待定系数，可由边界条件和连续条件求得。
1.2 边界条件和连续性条件
1.1 1~板由 节的推导可知，双层板离散后，板6 48共含 个位移系数待求解。本文取双层板中的1~板4板 作为边界条件及连续性条件进行分析。在 x = 0 和 x =L +L +L处为自由边界1 3 x1 x2 x3时，截面上的剪力、弯矩、面内纵向力和面内剪切0，由向量表示如下：力均为[V ]T （4） M N N =[0 0 0 0]T xx1 xx1 xx1 xy1 [Vxx3 Nxy3]T =[0 （5） M N 0 0 0]T xx3 xx3在截面x1 = x2 = x0的位移和内力连续条件为： （6） [u1 v1 w1 θ1]T =[u v w θ 2]T 2 2 2 [Vxx1 Nxy1]T =[Vxx2 Nxy2]T M Nxx1 M Nxx2 xx1 xx2 （7） 2，板 3 4板 与板 连接处 x = x3 = Lx1 + Lx2 2 x = 0位移和内力连续条件为： 4 [u v w θ 2]T =[u3 v3 w θ3]T = 2 2 2 3 [u′4 ′4]T （8） v′4 w′4 θ [Vxx2 xx2 Nxx2 Nxy2]T -[Vxx3 xx3 Nxx3 Nxy3]T M M = [V xy4]T （9） ′ ′ ′ ′ M N N xx4 xx4 xx4 [ ]T [V xy4]T式中：u′ v ′ w′ θ′ 和 ′ xx4 M ′ xx4 N ′ xx4 N ′ 分4 4 4 4 4别为板 坐标经过 β 角旋转变换后的位移和内力向量，坐标变换矩阵为-cos β 0 sin β 0 = 0 1 0 0 （10） T -sin β 0 -cos β 0 β 0 0 0 1 1，板2，板 3 4双层板板 及板 通过边界条件和
连续条件可以得到式（4）~式（9）共 28个方程，板4，板 5 6和板 采用同样方法也可列出其他剩余的20个方程，这里不再赘述。
1.3 简谐激励力
2 1，板2如图 所示，在板 连接线上的点 (x0 y 0)处 ，狄 拉 克 函 数 δ 表示的作用集中力F = F0 δ(x - x 0)δ( y - y 0) （其中 F0 为振动幅值）时，可将其沿x，y，z方向分解。本文重点讨论振动波沿 x方向的传递，即激励力垂直于y轴，则 α 为激励力与x轴的夹角，此时各方向的激励力分量为（11） Fx = F cos α ， Fz = F sin α ， Fy =0 1.2 式（7）中的此时，需对 节的内力连续方程2剪力和面内纵向力这 项进行修正，则有{Nxx1 Vxx1 - Vxx2 =- Fz
（12） - Nxx2 =- Fx
mπy式（12）等号两侧同时乘以 sin( ) ，并对 y Ly 0 积分，则将式（12）变化为从 到 Ly ¶3W1m ¶3W 2F0 sin α 2m - = sin(ky y 0) ¶x3 ¶ x2 3 L D 13 1 y （ ） ¶U1m ¶U 2F0 cos α(1 - μ2) 2m - = sin(ky y 0) ¶ x1 ¶ x2 Ly D
由修正后的激励力作用截面处的连续方程， 1.2 1~板6结合 节中板 的边界条件和连续条件，对所有板的运动方程进行组装，得到双层板的运动方程为
（14） AX =F 48×48式中：A为 的系数矩阵；向量 X 由各板位48移函数中的 个待定系数组成； F 为作用力向2 0，即 式（13）等号量，并且仅有 项不为 修正后的2 6 48右侧 项，再由 X = A-1 F 可求解得到 块板的个未知系数，最后代入式（2）和式（3），可得各个板在简谐激励力作用下的振动响应。
1.4 振动功率流
1.3节得到振动位移响应后，可由式（15）求得弯曲波功率流和面内波功率流。
Ly ¶w )* 0 (jω Mxx ùúû P =Re é(jωw)*Qxx - ë ¶x b 15 ¶w * （ ） (jω ) M dy ¶y xy Re[(jωu)* 0Ly (jωv)* Nxy]dy P =- Nxx + in式中：P 为弯曲波功率流；P 为面内波功率流； b in Re为取实部。弯曲波功率流和面内波功率流二者相加为总功率流，记第i块板在 ω1~ω 频带内结构的振动功2率流平均值 Pi 为
* ¶wi 1 ω2 Ly Pi =- ω1 0 Re (jωwi )*Q - (jω ) M - ω - ω1 xxi ¶xi xxi 2 ¶w ¶yii （16） (jω )* M + (jωui )* N + (jωvi )* N dyi dω xyi xxi xyi式中，Q ，M ，M ，N ，N 分别为第i块xxi xxi xyi xxi xyi
板横截面上的剪应力、弯矩、扭矩、面内纵向力和1面内剪切力，内力表达式参见文献［ ］。
2 数值计算与分析2.1 收敛性与有效性分析
应用模态叠加原理，需要足够大的模态截断数才可以保证收敛性。本文将有限元计算结果与解析法结果进行了对比，以验证结果的有效性。1表 所示为双层板尺寸及材料参数。1激励作用在板 上的力位于点 ( x0 y0 )= 1 ( 0.15 0.15) 处，振动幅值 F = 1 ，如图 所示。计0 1~5 kHz，分别取模态截断数M=6，10算频段为和14，得到激励点 x0 ( y0 )=( 0.15 0.15) 在各截断数3 a下的横向位移 w 频响曲线，如图 （）所示。数值ANSYS shell 63算法则采用有限元软件 求解，采用18 1为板1壳单元建模，共划分 万个网格，取测点上的 ( x0 y0 )=( 0.15 0.15) 处，测点 2 6为板 上的( x6 y6 )=( 0.15 0.15) 处，然后与本文采用波动法，
得到的横向位移振动响应结果进行对比，如3（b）和图3（c）所示。图 3（a）可见，在0~5 000 Hz由图 的计算频段内， 10 14模态截断数M为 和 时的横向位移频响曲线M=14计算结果已基本重合，取截断数 已足以保证结果得到收敛。3（b）和图 3（c）可由图 见，本文方法与有限元方法得到的横向位移振动响应结果基本吻合，这验证了本文方法的有效性和准确性。后续计算15。中，位移函数的截断数M均取为
2.2 不同角度激励下的振动功率流
2.1本节采用了节相同的双层板模型参数。= 2分析时，分别取激励角 α 30° ，60° ，90° 。设板6上 x = 0.18 m 为激励板观测面，板 上 x6 = 0.48 m 2 2为接收板观测面，然后计算并分析上述 个观测面处低频段和高频段下激励板及接收板的弯曲振4~ 7动以及面内振动功率流，结果如图 图 所示。图中，平直虚线所示为 α = 90°时在相应频段内的功率流平均值。4由图 可看出，在低频段内激励板的弯曲振动功率流远大于面内振动功率流，其平均值相差12 dB，且弯曲振动功率流随激励角超过 α 的增大而增大，面内波则相反。5由图 可看出，在低频段内接收板同样满足了弯曲振动功率流远高于面内振动功率流的规30 dB，二者均随激励角的增大律，其平均值相差而增大，但相对于激励板而言，弯曲振动功率流和面内振动功率流的平均值都有较大衰减。6由图 可看出，激励板中的弯曲振动功率流3dB与面内振动功率流平均值相差仅 ，弯曲振动
功率流随着激励角度的增大而增大，但面内振动功率流随之减小。7由图 可看出，接收板中，随着频率的增加，面内波功率流也逐渐增大，这与弯曲波功率流相差无几。4~图7通过对图 的分析，可以得到如下结果： 1）在低频段内，弯曲振动功率流远远大于面内振动功率流，但随着频率的增加，面内振动功率流逐步增大，与弯曲振动功率流相当。2）在全频段内，弯曲振动功率流随着激励角度的增大而增大，但面内振动功率流在高频段内随激励角的变化规律与低频段相反，即随着激励角的增大而减小。综上所述，面内振动功率流变化的原因源于2个方面：一是激励直接引起的振动，二是弯曲和面内波的波形转换。一方面，激励角的增大导致了垂直于板的激励力分量增大，面内激励力分量减少，从而使面内的振动较小，而弯曲的振动较大；另一方面，尽管激励角的增大使激励板的面内振动相对较弱，但弯曲振动波也会经过波形转换更多地变为面内波。因此，计算得到的功率流是
外部激励和内部波形转换共同作用的结果。当频率较低时，薄板纵向刚度远比弯曲刚度的大，故激励力在面内方向的分量引起的振动功率流数值较小；当激励角度增大时，面内力的分量会更小，而4（b）~图7（b）显示其随着角度的增大，振动功图率流也会增加，造成此现象的原因是在此阶段的波形转换效果明显，起到了主要作用；而频率较高时，纵向刚度和弯曲刚度大小相当，激励力的面内分量直接作用逐渐凸显，在此阶段，激励力直接作用带来的面内振动功率流作用更加明显。
2.3 连接件板4对振动功率流的影响
2.1本节采用与 节相同的双层板模型参数。6分析连接角 β = 30° ，60° ，90° 时接收板 上截面0~1 000 Hz x6 = 0.48 m 处在 频率范围的功率流， 4 5 ，7，以及连接角 β = 90° 时板 的厚度分别为9mm 6情况下板 上截面 x6 = 0.48 m 处观测到的8 9功率流，结果如图 和图 所示。的增大而略有下降。连接角为 90° 时，减弱的作用表现得尤为明显，这是因为此时面板剪力方向平行于腹板的面内方向，弯曲波和面内波的波形转化效果明显，且波形转化随着频率的升高而加剧；振动传递过程中的能量衰减更明显，从而使接收板的功率流曲线也呈下降趋势［12］。9由图 可看出，接收板的振动功率流受连接件的板厚影响较大，总体上，总功率流随着连接板厚度的增大而下降，且峰值频率也会右移。这是因为连接板厚度的增大使板的刚度增大，连接板的能量传递和波形转化作用都会提升，与之对应的功率流衰减也更多，从而导致接收板的功率流曲线呈下降趋势。
3结论
本文基于薄板理论与波动法，建立了有限尺寸双层板的耦合振动模型，并通过有限元对比验证了计算方法的准确性。在上述基础上，分析了不同激励角、连接角及其厚度对振动功率流的影响，并得到如下结论： 1）在低频段，激励板和接收板的弯曲波功率流远大于面内波功率流，随着频率的增大，二者逐渐靠近。2）在低频段，激励板和接收板的面内振动功率流远小于弯曲波功率流，但在高频段二者相当， 2原因是二者主要受到外部激励力和波形转换这个因素的影响；激励板和接收板均满足在低频段随着激励角的增大而增大的规律，此时二者主要受到波形转换的影响；在高频段，二者随着激励角的增大而减小，此时受激励力的直接影响较大。3）接收板功率流的大小与双层板连接角及厚度密切相关，即连接角越是接近于垂直波形，其转化效果就越明显；同时，连接件的厚度越大，功率流的损耗也会增大，使得功率流曲线呈下降趋势。因此，在实际工程中，应在允许的范围内将双90°，并适当选择稍大层板中的连接角设计为接近的板厚以获得较好的减振效果。
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