Chinese Journal of Ship Research
非周期系统的局域化现象研究
李宗威，纪刚*，周其斗
430033海军工程大学 舰船与海洋学院，湖北 武汉
Localization phenomena in disordered periodic systems
LI Zongwei，JI Gang*，ZHOU Qidou
College of Naval Architecture and Ocean Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China
Abstract：［Objectives］The localization effect produced by a disordered structure can be quantitatively described by localizing factors. In order to study the mechanism of the effect and the expression of localizing factors，the rules of the localizing factors must be ascertained.［Methods］From the perspective of waves， this paper analyzes the generation principle of the pass band and stop band of periodic structures，and explains the reason for the localization of disordered periodic structures. It compares the transfer characteristics of periodic and disordered periodic structures，and gives the calculation method for localizing factors based on Furstenberg's Theorem. Taking the mass-spring chain model as an example， this paper derives the pass-band and stop band of periodic systems， as well as the mathematical expressions of localizing factors for disordered periodic systems， studies the frequency variation of localizing factors and verifies them via numerical simulation based on the Monte Carlo method.［Results］ The results show that the degree of localization is related to the perturbation variance. The localizing factors have random distribution characteristics，but they approach the limit with the increase in the number of units，which can be predicted.［Conclusions］ This paper can provide references for understanding the vibration localization of generally disordered periodic structures, and guiding vibration control in engineering. Key words：disordered periodic structures; Furstenberg's Theorem; localizing factors; Monte Carlo method
收稿日期：2019 - 04 - 28 修回日期：2019 - 06 - 21 网络首发时间：2020-5-25 14:49作者简介：李宗威，男，1993年生，硕士生。研究方向：潜艇声隐身技术。E-mail：503277025@qq.com纪刚，男，1975年生，博士，副教授。研究方向：潜艇结构声学特性。E-mail：909092586@qq.com周其斗，男，1962年生，博士，教授。研究方向：潜艇结构声学特性。E-mail：QidouZhou@126.com *通信作者：纪刚
0引言
传统的潜艇耐压壳结构采取等间距肋骨的布置形式，亦称周期结构。周期结构在不同的频段内具有不同的振动特性，例如：在某些频段内，振动传递不随传播距离的增加而衰减，这些频段则被称为通频带；在另一些频段，振动传递随着传播距离的增加而呈指数衰减，此时，振动能量被局限于振源附近，即振动被“局域化”，而发生振动局域化的频段被称为止频带。研究表明，周期结构的通频带与止频带是交替出现的［1］。与周期结构不同，非周期结构的振动在所有频段都表现为局域化特征。也就是说，不存在通频带，在所有频带内，振动传递都随传播距离的增加而衰减。非周期结构的局域化效应与波在非周期结构中的散射相关，而与结构中的能量耗散无关。在国外， Anderson［2］在研究电子传播规律时首次发现了局域化效应，但研究仅限于电子传播的层面而并未扩展到结构层面。Hodges等［3］首先运用类比的方法发现了在结构动力学领域中也存在局域化效应；Pierre 等［4］通过实验证明了在无序刚性简支梁中存在局域化效应；Bouzit Pierre ［5］和 通过实验对周期和非周期简支支撑梁结构的振动特性进行了研究，发现非周期结构中振动传递与激励源的距离越远，衰减程度越大。Photiadis等［6］对有限长的不等间距加肋圆柱壳进行了局域化研究，将对称圆柱壳简化为一维问题，然后应用单频带近似的方法将一维周期结构近似为固有频率不同的振子系统进行研究。在国内，刘文玺和谭路等［7-8］通过具体实例，研究了结构不等间距布置对圆柱壳振动特性与声学性能的影响，研究表明，不等间距布置具有一定的减振作用。虽然上述学者的研究都发现了非周期结构中存在局域化效应，但均是对有限长的结构进行分析，既未扩展到无限长的结构，也未对局域化效应进行定量分析计算。对于局域化效应，在数值上Furstenberg［9］提出可以使用局域化因子来表征。了随机矩阵乘积的极限定理，并指出无序结构的振动状态可以通过随机传递矩阵来建立联系，此定理对于在一维系统中定量计算局域化因子有着重要意义。本文将从波传递的角度，从数学上分析周期Fursten⁃结构通频带和止频带的产生原理，基于berg定理解释非周期结构产生局域化的原因，并给出非周期结构局域化因子的计算方法。具体而言，针对无限长的弹簧质量链系统进
行波传递分析，导出相应周期系统的通、止频带和非周期系统的局域化因子数学表达式。为定量研究局域化因子随频率的变化规律，针对质量无序的弹簧质量链系统给出局域化因子随频率的变化曲线，分析局域化因子随频率的变化规律，并对所得相关结论的正确性及本质含义通过数值模拟的方法予以验证和说明。
1 一维周期结构中的波传递特性分析
1现将一维单耦合周期结构抽象为如图 所示2个的周期系统。对于第 j 号单元的状态，需用参数来表征，以构造第 j号单元右端点的状态量，并以列向量的形式表示为 x = [uj vj]T ，其中 x 为j该单元的状态向量，u 和 v 分别为该单元的位移和力。
周期系统具有传递特性，其传递规律可以通过矩阵描述。例如，第 j 号单元的状态可视为由第 j - 1号单元的状态传递而来，故 x 与 x 的关j j - 1
系可表示为
式中， T 为状态传递矩阵，其与频率 ω 相关，即T ( ω)是频率的函数矩阵，表征了周期系统端点状
态的传递关系，并由具体周期结构的力学关系来决定。Furstenberg为能使用 定理，在利用力学关系建立式（1）时，x 需经合理构造，以使T 矩阵行列j 1 |T式为单位 的矩阵，即 |= 1。式（1）以递归形式给出了离散周期系统的波动方程，各单元具体状态应结合边界条件给出。Fahy等［10］对一维有界媒质中的强迫振动分析表明，有界媒质的振动响应可视为由扰动源发出的左、右传播波及其在边界多次反射波叠加的结果。因此，有界媒质在远离扰动源处的响应衰减特征被归结为无界媒质中自由行进波的衰减特征。为此，需要针对式（1）进行波动分析。因|T |= 1 ，故其可分解为
式中：λ为状态传递矩阵的特征值；q为状态传递矩阵的特征向量； q-1 为逆矩阵； W 为波传递矩
阵；y 为波幅。
从物理意义上看，y 的分量 Lj 和 Rj 分别代j表了在第 j 号单元处的左传波波幅和右传波波
幅，因而 y 从波的角度表征了单元状态，W 则表
j征了相邻单元的波幅传递规律，这可从 λ 随频率的变化规律看出。Kissel ［11］针对式（2）的研究结果表明，q 是与频率无关的常数矩阵，λ与频率 ω相关。在某些频带， λ为实数，具体表示为 λ = eγ（或 λ-1 = e-γ ），该频带称为止频带，因为第 j 号单元处幅值为 Lj的左传入射波将以 λ = e-γ 的规律衰减为第 j - 1号单元处幅值 Lj 的透射左传波，而第 j - 1号单元- 1处幅值为 Rj 的右传入射波，将以 λ = e-γ 的规律- 1衰减为第 j 号单元中幅值为 Rj 的右传透射波，所以在整个周期系统中，各向波分量沿传播方向是1不断衰减的。在某些频带，λ为幅值为 的复数， jk具体表示为 λ = e （或 λ-1 = e-jk ），该频带称为通频带。可见，在整个周期系统中，各向波分量沿传播无损传播的。在通-止频段交界方向是以波数 k频率上， λ = 1（或 λ-1 = 1），对应于沿传播方向单元状态在相邻单元之间进行复制。综上所述， λ(ω)在不同频带的形式可表示为
2 一维非周期结构中的波传递特性分析
若每个单元因不规则扰动而不具有相同性，则称系统为非周期系统。对于非周期系统，联系两个相邻单元状态和波幅的关系将变为：
由于频率处于通频带时受扰而形成的非周期系统波传递关系为学者所关注，因而后续重点针对该频段进行分析。Kissel ［11］针对频率在通频带的受扰非周期系统的研究表明，W 一般不是对j - 1
角矩阵，其形式为
中 τj 为透射系数，ρj 为反射系数。- 1 - 1为考察 N 个无序单元对波的传播特性，取1 j = 1 N + 1个单元，则第 个单元处与第 N +1个单元处的波幅关系为若此 N 个无序单元左端（第1个单元左端）只1有幅值为 的右传入射波，且右端（第 N + 1个单元左端）没有左传入射波，即 LN = 0 ，R1 = 1 ，则+ 1由式（8）可解得 RN = τN。反之，若此 N 个无序+ 1 1的单元右端（第 N + 1个单元左端）只有幅值为左传入射波，且左端（第1个单元左端）没有右传入射波，即 R1 = 0 ，LN = 1 ，则 L1 = τN 。这说明 τN + 1反映了无序单元序列对入射波的透射特性。若令| |= e-γN ，则N τN
可见，γ = lim γN > 0 ，因此当不规则单元序列N ®¥
数量趋于无穷时，透射波相对于入射波是一定会衰减的，即产生了局域化效应。这里, γ 被称为局域化因子，表征了大量不规则单元系统对入射波的衰减程度。针对非周期结构，计算局域化因子主要有以2下 种途径。1）以 Furstenberg定理为基础，结合小参数展开理论。Kissel ［11］指出若非周期系统是通过对周期系统单元参数μ扰动而来的，且对所有单元的扰动规律相同，则可依据参数 μ的方差和透射系数对 μ的导数给出局域化因子，即
式中：μ为用于对之扰动形成非周期系统的参数，是随机变量，具有均值 μˉ = E ( μ) （其中E表示均值），对周期系统，μ = μˉ 是确定的常数，若规定特定 的 随 机 扰 动 规 律 ，则 可 给 出 μ 的方差2 σ = E é( μ - μˉ)2ù ë û ；t(μ)为单元透射系数，对于非周期系统而言，各单元的透射系数随机变化，它是由随机变量 μ 所引起的； ο(σ 2) 为剩余项 x 的高阶2
小量。2 ）蒙特卡罗模拟方法。该方法本质上是直接对数量有限的随机波传递矩阵多次计算以给出透射系数，进而得到局域化因子。如在取 N 为某个很大值时，可直接利用 N 个随机矩阵乘积给出1 H ，进而直接得到 τN = ，其中 H 为矩阵 HN 11 N 11 N HN 1 1 10中的第 行第 列中的元素，再利用式（ ）给出γN 。由于不规则系统的随机波传递矩阵具有各态历经性，因此，可通过针对多个 N 单元序列模型（如n个 N 单元序列模型）获得各自的局域化因i子值，即 γN i = 1 2 n ，然后对其进行平均，给出 γ 的估计值，即
3 弹簧质量链系统的波动分析
为验证一维系统的波动分析理论，以弹簧质量链系统为分析对象，进行波动分析。弹簧质量链系统由一系列质量为m的振子、刚度为 K 的弹号弹簧-质量单元如图2簧串联组成。第 j 所示。针对该单元进行受力分析，并利用相邻单元间的运动与力学连续性条件，可给出该单元的运动状态同第 j + 1号单元运动状态间的关系为可见，当 0 < ωˉ < 2 时， λ为复数，可以写成λ = e-jk 形式，因而该频带为弹簧质量链系统的通频带；当 ωˉ > 2 时，λ为实数，可以写成 λ = e-γ 的形式，因而该频带为弹簧质量链系统的止频带； -止交界频率为通 ωˉ = 2。3图 给出了周期弹簧质量链系统的特征值3 ln| λ |随无因次频率的变化规律。由图 可知，对0，这说明各向于周期系统，在通频带的 ln| λ |值为波分量沿传播方向可以无损传播；在止频带，ln | λ |
随无因次频率的增大而减小，波分量将衰减传播，指数衰减率与频率相关。若各单元振子质量是按照相同的随机规律给定，则周期系统将变为非周期系统。记第 j 号单
4图 给出了非周期系统局域化因子 γ 在通频带随无因次频率的变化规律。通过改变无因次质量离散度 ( μj /μˉ j) ，即随机无因次质量相对于均值0.1%，1%，10%，也即无因次质量μˉ 的变化分别为j 0.002，0.02，0.2，均匀概率密度函数的宽度分别为2由此可计算出对应的方差σ 分别为 0.333 ´ 10-6 ， 4 0.333 ´ 10-4 ，0.333 ´ 10-2 。为使结果更清楚，图中纵坐标为对 γ 取对数。4由图 可知，局域化因子 γ 随无因次频率 ωˉ -止频带交界频率附的增加而增加，尤其是在通近，γ值的增长更为迅速。不仅如此，通过不同的2 2方差 σ 值的 γ - ωˉ 曲线对比可看出，σ 越大，γ 的值也就越大。
式（14）值得说明的是，局域化因子 γ的解算是基于扰动展开理论给出的结论，在扰动展开失效的情况下，该计算结果是不准确的。对于弹簧偏大时，式（14）计算得到2质量链系统，当方差 σ的通-止频带交界频率附近的局域化因子结果并不准确。
4 弹簧质量链系统的数值模拟验证
2本节将采用数值模拟方式对图 所示弹簧质量链系统给出波动模拟与分析。首先，对周期弹簧质量链系统进行模拟，采用N 个弹簧质量单元链作为模拟对象。为模拟波动在无限弹簧质量链系统中的自由传播现象，令R = 1 ，LN = 0 ，以此用于模拟自由传播的边界1 + 1条件，即给系统左端一个右传波输入，同时右端不具备左传波输入。为计算系统左端的波状态变量 y1 ，需针对特
定频率计算状态传递矩阵T 和波传递矩阵W ，进而获得 q 。然后，计算 N 个弹簧质量单元链的H ，通过 R = 1和 L = 0 的条件，给出 L ，此时N 1 N +1 1 3即获得系统左端的波状态变量 y1。利用式（ ）的关系，可以将系统左端的波状态变量 y1变换为状
态变量 x1。在获得系统左端的波状态变量 x1 后，式（1）的即可利用 关系递推得出所有单元的状态变量，进而给出波形。5 N=20图 所示为针对 的周期弹簧质量链系5统得到的波形。由图 可知：频率 ω= 2 时，位移波形为行进波；频率 ω = 2.12 时，位移波形为衰减波；频率 ω = 2时，位移波形是纯直线，即每个质量的振动完全沿质量链复制。为模拟非周期弹簧质量链系统，首先采用蒙特卡罗模拟方法，运用随机函数生成每个单元质量，然后利用周期弹簧质量链系统的模拟方法得