Chinese Journal of Ship Research
基于FTO的船舶分布式编队的有限时间控制方法
1 430064中国舰船研究设计中心，湖北 武汉2 91999 266003中国人民解放军 部队，山东 青岛3 150001哈尔滨工程大学 自动化学院，黑龙江 哈尔滨
余玲玲*1，王欣1，李丽2，黄蔚1，付明玉3
Finite-time control method for distributed formation of ships based on finite-time observer
摘 要：［目的］由于速度测量值不可直接使用，因此针对有界环境干扰下的船舶编队控制问题，提出一种基于有限时间观测器（FTO）分布式编队的有限时间控制方法。［方法］首先，仅根据船舶的位置信息，设计一种FTO
以观测其速度状态；然后，在领航信息仅局部已知的通信结构下，利用观测值和齐次法设计多船分布式编队的有限时间控制律，实现多艘船舶在有限时间内跟踪期望航迹并同时保持期望队形；最后，根据齐次性理论和李雅普诺夫稳定性判据，证明整个闭环系统的误差信号在有限时间内收敛。［结果］仿真结果验证了所提出的有限时间编队控制方法相比于传统渐近收敛的编队控制方法，可以为多船编队提供更快的收敛速度、更高的控制精度以及更强的抗干扰能力。［结论］研究结果可为多船编队的控制提供借鉴。关键词：非线性船舶运动模型；分布式编队；有限时间控制；有限时间观测器；齐次法中图分类号：U664.82 文献标志码：A DOI：10.19693/j.issn.1673-3185. 01708
YU Lingling*1，WANG Xin1，LI Li2，HUANG Wei1，FU Mingyu3 1 China Ship Development and Design Center，Wuhan 430064，China 2 The 91999 Unit of PLA，Qindao 266003，China 3 College of Automation，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China Abstract：［Objectives］In order to solve the formation control problem of multiple ships whose velocity measurements cannot be used directly and the environment disturbances are bounded，a finite-time control method for the distributed formation based on finite-time observer （FTO） was proposed. ［Methods］ Firstly，a FTO was designed according to the position information of ships to observe the velocity state. Then，under the communication structure where the navigation information was only locally known，the finite-time control law of the distributed formation of multiple ships was designed by using the observation values and homogeneous method，so that multiple ships can track the desired trajectory in a finite time and keep the desired formation at the same time. Finally，according to the homogeneous theory and Lyapunov's stability criterion，it was proved that the error signal of the whole closed-loop system converged in finite time.［Results］ The simulation results show that the proposed finite-time formation control method can provide faster convergence speed，higher control accuracy and better disturbance rejection ability for multiple ships than the asymptotically convergent formation control method. ［Conclusions］The study in this paper can provide reference for the formation control of multiple ships. Key words：nonlinear model of ships；distributed formation；finite-time control；finite-time observer （FTO）；homogeneous method收稿日期：2019 - 08 - 14 修回日期：2019 - 10 - 18 网络首发时间：2019-11-19 11:12作者简介：余玲玲，女，1990年生，博士，工程师。研究方向：舰船电子信息系统。E-mail：yulingling9230@163.com王欣，男，1979年生，博士，高级工程师。研究方向：舰船电子信息系统。付明玉，女，1964年生，博士，教授。研究方向：船舶安全航行与作业控制理论与应用。E-mail：fumingyu@hrbeu.edu.cn *通信作者：余玲玲
0引言
近年来，随着船舶控制技术的发展，多船编队控制的研究已成为船舶运动控制的热点问题之一。相对于单艘船舶，多船编队作业具有效率高、系统容错性和适应性强等优点。同时，多船编队有广泛的应用前景，如远洋在航补给、海底测绘、护航编队以及海上巡逻和编队扫雷等，因此对多船编队控制的研究具有重要的学术价值和实际应用价值［1］。目前多船编队控制的研究主要是针对系统无穷时间收敛的控制问题，即系统从初始状态收敛到平衡点的时间无穷大［2-4］。而从时间优化观点来说，能使控制系统在有限时间内收敛的方法是时间最优的控制方法［5］，因此，近年来，有限时间控制吸引了广大研究学者的兴趣［ 6-7］。Yan等［8］探讨了单个欠驱动无人水下航行器（UUV）的轨迹跟踪问题，所提出的控制方案能够Wang 等［9］考使得跟踪误差在有限时间内收敛。虑了船舶未知的动力学模型和干扰的情况，设计有限时间未知干扰观测器以观测未知扰动，并提出有限时间轨迹跟踪控制器，以实现更快的趋近速度及更强的鲁棒性。张国庆等［10］针对全驱动水面船舶动力定位控制问题，假设船舶模型参数摄动和外部扰动的上界已知，提出了一种自适应终端滑模控制方法，使得船舶的位置及艏向角在有Jin［11］考限时间内收敛于期望值。 虑了带有视线距离和角度约束的欠驱动水面船，在领导者的其他信息未知的条件下，设计有限时间领导-跟随的编队控制器。上述控制器的设计均基于水下/水面航行器的状态全部已知的条件。实际工程应用中，由于海洋航行器结构限制以及技术原因、成本问题或传感器装备故障等因素，会导致船舶的速度测量值不能实时反馈。然而，现有大部分文献［12-13］针对船舶速度测量值未知设计的观测器均是传统渐近收敛，换言之，被观测的系统状态无法在有限时间内收敛到真实值。而且大部分关于船舶有限时间控制的研究都集中在单船的跟踪问题上，而多船的有限时间编队控制并不是单船有限时间控制的简单扩展，特别是当领航者信息仅局部已知的条件下。受上述研究成果的启发，本文将针对速度测量值不可直接使用和有界环境干扰下的多艘船舶，研究其分布式编队的有限时间控制问题。首先，仅根据船舶的位置测量值信息，设计有限时间finite-time observer，FTO观测器（ ）以观测船舶的
速度信息，使得观测误差在有限时间内收敛；其次，在领航信息仅局部已知的通信结构下，基于观测值和齐次法设计有限时间编队控制器（finite-time formation controller，FTFC），实现多艘船舶在有限时间内跟踪期望航迹并同时保持期望的队形，以及利用齐次性理论以及李雅普诺夫稳定性判据证明闭环系统的所有误差都能在有限时间内收敛；最后，通过仿真对比分析所提出的分布式编队的有限时间控制方法与传统渐近收敛的编队控制方法的优劣。
1 预备知识及问题描述1.1 代数图论
考虑 n艘船舶组成的网络系统，用无向图来描述它们之间的通信结构。将单艘船舶视为一个节点，船舶之间的信息交互路径可由一条无方向的边表示，整个船舶编队的信息通信关系可以映射为一张具有节点和边的图。定义图 = (ν ε)，其中 ν ={1 2 ... n}为节点集合， ε Í ν ´ ν 为连接两节点的边组成的集合。如果连接两节点之间的边是无向的，则称图 为无[14]向图 。对于无向图，若任意两个节点之间都有一条无向路径，则称该无向图是连通的，且这两个节点是邻接的。图 的邻接矩阵表示为： = [aij]Î ，若节点i和 j 是邻接的，则 aij = 1， n ´ n否则 aij = 0。用于描述节点与其相连所有节点的连接程度的矩阵称为图 的度矩阵，记为= = [dij]Î ，则图 的拉普拉斯矩阵n ´ n lij]Î = - n ´ n 可表示为 。用图 来描述包含一个领航者和 n 个跟随者的网络通信关系。其中领航者只能发布信息并不=能接收来自跟随者的信息。定义矩阵diag { b1 b 2 ... bn} ，为领航者与跟随者间的邻接矩阵，若第 i 个跟随者与领航者间存在一条有向路= +径，则 bi > 0 ，否则 bi = 0。此外，定义 描述图 各节点的通信关系。
1.2 有限时间控制
有限时间控制是一种新型的鲁棒控制方法，相比于渐近稳定控制，它致力于使得系统的状态在有限的时间内收敛到平衡点。下面给出有限时间稳定性的定义及本文所引用的引理。定义1 有限时间考虑如下系统ẋ = f (x t) f (0 t) = 0 x Î U Ì Rn （1）
= 的一个开领域U 内连续。当其且仅当系统的解 = 是李雅普诺夫稳定的且为有限时间收敛，则其为（局部）有限时间稳定。有限时间收敛是指在初始时间t0 处的任意初始条件 Î U Ì U ，存在时间 T > t0 ，使得系0 ) 在 t Î[0 T ) 时满足 )ÎU 0\ { 0} = 0 ，当 "t > T 时，有 = 0 。当统的解®
R和 lim t ®T U = U = R ，则n 0
n n令 ® 为一向量函数。若对任意的λ > 0 ，存在 (r1 r 2 ... rn)Î ，其中 ri > 0( i = 1 n 2 ... n) ，使 得 满足 (λr1 x1 λr x 2 ... + ri λrn xn) = λk ，其中 k >- min{ri} ，则称 关于 (r1 r 2 ... rn) 具有齐次度 k 。n令V ® 为一连续标量函数。若对任意的 λ > 0 ，存 在 (r1 r 2 ... rn)Î ，其 中n ri > 0(i = 1 2 ... n) ，σ > 0 ，使得 f (x) 满足V (λr1 x1 λr x 2 ... λrn xn) = λσV ，则称V (x) 关于 (r1 r 2 ... rn)具有齐次度σ ［16］。1引理 ：假设存在正定的连续可微函数® ，U1 Í U Î ，满足阵； 为船舶在船体坐标系下的平移速度和艏n 2 -cV t) Î U1\ { （ ） α 向回转率； i式中，c > 0 ，0 < α < 1 ，那么该系统是局部有限时间稳定的。对于任意给定的初始条件 U1 ， 1 - α收敛时间满足T V t0)/c(1 - α) ［17］。2引理 ：假设存在正定的连续可微函数® ，U1 Í U Î ，满足n -c1V + c 2V Î U1\ { α式中，c1 > 0 ，c > 0 ，0 < α < 1 ，那么系统是局部有2限时间稳定的。对于任意给定的初始条件Î{ U1 U 2} ，收敛时间满足T ln(1 - (c 1 -α 2/c1)V 2}［18］。t0))/(c α - c 2) ，其中U c1/c 1 - α 2 2 3引理 ：假设存在正定的连续可微函数® ，U1 Í U Î ，满足n （4） -cV + θ Î U1\ { α式中， c > 0 ，α Î(0 1) ，0 < θ <¥ ，那么系统是实α用 有 限 时 间 稳 定 的 ，且 V θ/(1 - ρ 0)c ， 0 < ρ0 < 1，收敛时间满足T V t0)/cρ0 (1 - α)［19］。1 - α 4引理 ：对于任意的 x y Î ，如果 c > 0 ， d > 0 ，γˉ > 0 ，则有［20］ | x | c| y | cγˉ| x | /(c + d ) + d | y | /[γˉ (c + d )] d c + d c + d cd 5：对引理 于任意的 xi Î ，i = 1 2 ... n ，以及实数 0 < p 1 ，则有［21］
V
V
V
定义 齐次度
V
RV
V
RRn 在原点
=
RR是全局有限时间稳定的［15］。
RRRRRRR为科里奥
为非线性阻尼矩阵；τi ，τ i ωi分别为船舶的控制输入向量和在海洋环境下风、浪、流引起的外界干扰力；i用于表示编队的船1舶数量，i = 1 2 ... n 。图 所示为船舶在北东坐标系和船体坐标系下的关系。根据船舶北东坐标系下的数学模型，令μi = ，则模型可另表示为： i = μi i -1 (τi + ) + i ωi = i
式中： 0 -ri )= ri 0 00
0 0 。0 (ηi i) 7 （ ） （8） ；
T
1.4 控制目标
针对如式（7）和式（8）所示在环境干扰下的船舶，考虑在领航者信息仅局部已知的通信拓扑以及速度测量值不能实时用于反馈的条件下，仅依据位置测量值设计有限时间编队控制律以跟踪期望的队形。具体来说，是为每艘船舶设计一个分布式编队有限时间控制律 τi ，使得在有限时间内实现对期望航迹 d(t) 的跟踪，并实现期望的队形，保证船舶编队误差在有限时间T 内收敛，其编队2示意图如图 = ηi + δi为每艘船舶编队时的参考点，其中 δi = - ψ 0i)li ，为船舶在北=[ x0i y0i ψ 0i]T Î ），为船体坐标系下的结构向量，用于在设计控制器之前，对系统做如下假设。船舶编队期望的航迹 d(t) = [xd yd ψ d]T是关于时间t 的光滑函数，且 ，η̇ ，η̈ 均有界。d d d船舶间的通信拓扑图 是无向且连通的，那么拉普拉斯矩阵 的特征值均为非负实数，且矩阵 是对称且正定的。
2 分布式编队的有限时间控制设计
3多船分布式编队的有限时间控制结构如图所示，下文将分别对控制结构中的有限时间观测器和有限时间编队控制器进行具体设计。
2.1 有限时间观测器设计
= ηi - ηi = 2i的有限时间观测器设计如下： ηi = μi + k1i sigα μi = i-1τi +
控制公式令- μi ，则船舶i
9 （ ） β (η μi ) +k sig 2i式中：ηi 为船舶位置向量 ηi 的观测值；μi 为船舶速度向量 的观测值； 1/2 < α < 1 ；β = 2α - 1 ； i kmi > 0（m = 1 2 3），为待设计控制的参数；sigα é| )|z )ùT z1i1 sgn(z sgn(z ë û 1i1 1i2 1i3 sgn(×) 为符号函数。将船舶数学模型表达式（7）和式（8）代入式（9），可得有限时间观测器的观测误差系统表达式为= - k1i sigα 2i = i-1τ + 2i ωi定义系统矩阵β i) - k sig 2i （10） ，可知 是赫0
尔维兹矩阵，则考虑如下可微正定函数： 2i) =
=[
T 1i sgn(z1i 2) z1i3 - (ηi μi)
2i]T = T -k1i = -k 2i
ésig1 γ ë (ηi
û
[ sig1/γα
（11） T 2i)]T ，为
观测误差，其中 γ = αβ 为解。根据文献［24］，可知式（10）的李雅普诺夫函数。给定一任意正常数 ε ，构建如下紧致集合： Ω1 = ε μi
T
+
=，
的2i) 就是误差系统
ε} i （12）若初始信号 ηi ，μi ，ηi ，μi都在紧致集合 Ω1 25内，则根据文献［ ］，必存在一正常数 ξ 使得- ξ 。(ηi μi) (ηi i) 2i假设作用于船舶的环境干扰是有界的，即满{(ηi μi i i)| ηi
ε i
ε
1。i-1τ Δi ，则可得定理ωi 1 ：对于存在有界干扰的非线性船舶数式（7）和式（8学模型表达 ），若船舶初始位置 ηi 、速度状态 μi 、位置观测值 ηi 以及速度观测值 μi 9都在紧致集 Ω1内，则有限时间观测器的式（ ）观测误差 可在有限时间内收敛到1/(2γα - γ)足
定理
导数；
c3i + c 0 < c0 < 1- ；λ 与 λ 分别为 的最大2i max min c1i和最小特征值。
-1和i ωi这两项，则式（10）可写为i) = - k1i sigα 14 2i （ ） β =- k sig 2i 2i 2，可推断出该系统关于权值根据定义 (1 α) 14具有齐次度 α - 1 ，并令 为系统式（ ）的向量场，则 L fiV1i 为 V1i 2i) 沿向量场 的李导数。此外，还可推断出 V1i 2i) 及 L fiV1i 2i) 关于1i 1i权值 (1 α) 分别具有齐次度 2/γ 和 2/γ + α - 1。基于此，根据文献［26］，可得以下不等式： -c1iV1i 2i)θ1 L fiV1i 2i) αγ γ式中，θ = 1 + - < 1。1 2 2根据上述分析，对李雅普诺夫函数式（11）求10导，并将式（ ）代入，可得V1i = LfV1i (ηi
<
证明：若暂时忽略
c3i + c 2i c1i (1 - c 0) 1 λmin i)式中：c =- max L fiV1i (xi ) ，其中 L fiV1i 为V1i (x)的李1i {xi:V1(xi ) = 1}
2ZiT
T 2Z 0
2ξλmax
0 -diag(|
| - |(1/γα 1))( 2i 3 - (ηi μi)
γα 2i)+ (| |(1/γα - z 2i m =1
γα 3
(| =1 γα
(ηi μi)
(ηi i))
-c V 1i 1i ) 3 (| z 2i m =1 |(1/γα 1)) - 2i m 1i
（13）
+ 2i
； + (| |(1/γα - 1) z ) 2i m =1
V1i -c1iV1i
γα 3 (| z 2i m =1
3 3 (| m| 1/γα z ) 2i =1
（16）
3 3 3 3 i 2i 5，可得式（17）：根据引理3 (1/γα) -1 3 m| γα 1/γα 1 - γα ) 3 ( z ) 2i =1 + γα)/2 - γα 3(1 Z 1 i 16 17 15将式（ ）和式（ ）代入式（ ），可得2 6 3 ξλmax + + γα 1 ( z 2i m =1
Z(1 + γα)/2 2D λmax (Pi )3 i 2i)
Zi
Z2 - γα -c1iV1i
（17）
2i)θ1 +
（18） - γα)/2 c 2iV1i 2i) + c3iV1i(2下面分两种情况对式（18）进行收敛性分析。2 - γα 1）当 18 V > 1时，因为 0 < < 1 ，则式（ ） 1i 2可简化为
（19） V1i -c1iV1iθ1 + (c + c3i)V1i 2i 2，可推断出根据引理 V1i 收敛到 V1i = 1所需时间可表示为
- t ln(1 - ((c + cˉ )/cˉ )V (0)1 1i 2i 3i 1i 1i ((c + c3i)θ1 ˉ - (c + cˉ3i)) 2i 2i 2 - γα 2）当 V1i 1时，因为 0 < < θ1 < 1 2 V1i -c1ic0V1iθ1 -[c1i - (2 - γα)/2 (1 - c 0)V1iθ1 - (c 2i
- γα)/2 V 1i(2 c3i + c式中，0 < c0 < 1- 。2i c1i
因 此 ，当 V 1i
V1i -c1ic0V1iθ1 ，则V1i递减的V1i 2i)
间内收敛到V1i <表示为差3 1 - t V1i 2i
- (2 - γα)/2 2i)
因此，可得在有限时间
)
为跟随船舶通信拓扑图 的拉普拉斯矩阵；为领航者与跟随船舶间的邻接矩阵。0 -ρ 1 3n ，因其是赫尔维兹-ρ 2Θ T
矩阵，则存在矩阵 使得 + =- 。为系统误差式（29）和式（30）构建如下李雅普诺夫函数： （31） V = T 2
Q式中, T sig1 α 1若暂时省略
写为： = =( +
IT)]。2项，式（29）和式（30 ）可分别2
（32） 33 β - = = 1sig ) - ρ2 sig2 (1/α)(E 2)] （ ） 2 1由此容易判断出误差系统式（32）和式（33）相对于权值 (1 α) 有齐次度 α - 1 ，V 2(E) 和 Lf V 2 2 。通过再次使用文献［26］分别具有齐次度 和 α + 1 4.2，可得以下不等式：的引理Lf2V 2(E) -c 4V 2(E)θ2 α + 1 <其中，c =- max Lf V 2(x) ，θ = 1。4 {x:V 1} 2 2结合上述分析，对V 求导，可得2 V -c 4V 2(E)θ + 2E -c 4V 2(E)θ + T 2 2 2λmax (Θ) -c 4V 2(E)θ + γα 3 i = 1 m =1
Z2i m 34 （ ）
其中，ζ1 = 2λmax (Θ)。4 6，可得以下不等式：再根据引理 和引理3 γα 6nγαζ2 m| m| × ji 2i 1 + γα ζ 1 3 j = 1 i = 1 m =1
En
1 + γα m| z 2i i = 1 m =1
n令矩阵2 3 2 j = 1 i = 1 m =1 3 n
ζ 1
=
En
jim i = 1 m =1
= 2 2
Zn
+ 1 (1 - γα)/2 (6n)
34因此，式（ ）可写为V -c 4V 2(E) 2
1 (1 - γα)/2 (6n) 1 (1 - γα)/2 (6n)
1 + γα m| ji 1 + γα m| z 2i i = 1 m =1
-c 4V 2(E)θ +
(1 + γα)/2 6nγαζ2 ae| |2ö z + 1 + γα 1è ø 2i m i = 1 m = (1 + γα)/2 2 n
3 j = 1 i = 1 m =1 n 3 6nγαζ2 + 1 + γα j = 1 i = 1 m =1
c V 5 2 2 n 3
EE3 j = 1 i = 1 m =1 n
2
1 + γα m| ji
ji m 2
n + γα)/2 +c åV1i 6 i =1 3
n
Eθ -c V 2(E) + 4
(1 + γα)/2 i) +
（35）
- γα)/2 6nγαζ ´ 3(1 ，c6 = 2 + γα)/2 (1 + γα)λ min(1 1 ,其中 c5 = + γα)/2 λ min(1 ζ1[(6n)(1 γα]1/γα - γα)/2 ζ = 3nζ1/1 +。2
2.3 系统稳定性分析
，针对根据非线性船舶运动学和动力学方程式（5）和式（6 ）设计的有限时间观测点控制公式（9），以及有限时间编队控制律式（28）所组成的2。闭环系统，给出定理2：考虑有界环境扰动下式（ 5 6 ）和式（ ），设计式（9）以观测船舶的速度状态，在满足假设1 2和假设 的条件下，设计有限时间编队控制律式（28）。如果有任意给定的常数V > 0 ，使得系M统的初始条件满足： ={ n 2)|åV1i Ω 2 i =1其中， V1i 和 V 2(E1 的定义见式（ 11）及2)式（31），则存在控制参数 km 和 λm ，使得闭环系统中所有误差都能在有限时间内收敛。
定理
i 1
E) + V 2 1 ) 证明：为闭环系统构建如下李雅普诺夫函数：