Chinese Journal of Ship Research
不确定性传播的混沌多项式方法研究进展
引用格式：熊芬芬,陈江涛,任成坤, 等.不确定性传播的混沌多项式方法研究进展[J]. 中国舰船研究, 2021, 16(4): 19–36. XIONG F F, CHEN J T, REN C K, et al. Recent advances in polynomial chaos method for uncertainty propagation[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2021, 16(4): 19–36.
熊芬芬*1，陈江涛2，任成坤1，张立1，李泽贤1
1北京理工大学宇航学院，北京 100081 2中国空气动力研究与发展中心，四川绵阳 621000
摘 要:不确定性在工程设计中广泛存在，作为工程设计中的核心内容之一，不确定性传播和量化一直都是工程设计领域重要的理论课题之一。混沌多项式作为一种高效的不确定性传播方法近年来得到了广泛研究和应用，具有较大的工程应用潜力。为此，对混沌多项式方法的研究进展进行综述。首先，介绍该方法的应用场景和基本原理；其次，针对混沌多项式应用中面临的“维数灾难”、计算量大等难题，介绍基截断、稀疏重构、稀疏网格、多可信度建模等诸多解决策略；然后，对基于混沌多项式的全局和局部灵敏度分析方法进行介绍；最后，对混沌多项式的研究进行展望。关键词：不确定性传播；混沌多项式；维数灾难；多可信度建模；灵敏度分析
中图分类号: U662.2文献标志码:A DOI：10.19693/j.issn.1673-3185.02130
Recent advances in polynomial chaos method for uncertainty propagation
XIONG Fenfen*1, CHEN Jiangtao2, REN Chengkun1, ZHANG Li1, LI Zexian1
1 School of Aerospace Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China 2 China Aerodynamics Research and Development Center, Mianyang 621000, China
Abstract: Uncertainty exists widely in engineering design. As one of the key components of engineering design, uncertainty propagation and quantification has always been an important research topic. Polynomial chaos (PC) is a highly efficient uncertainty propagation method which has been widely studied and applied. Therefore, this paper reviews recent advances in the PC method. First, the fundamentals of PC are introduced, including the construction of an orthogonal polynomial basis and the calculation of PC coefficients. Second, strategies such as basis truncation, sparse reconstruction, sparse grid and multi-fidelity modeling are described to address the "curse of dimensionality" issue of PC. Local and global sensitivity analyses based on PC are then introduced. Finally, the research prospects of PC are given.
Key words: uncertainty propagation；polynomial chaos；curse of dimensionality；multi-fidelity modeling； sensitivity analysis
0 引 言
复杂工程产品（例如飞行器、船舶、汽车等）高水平、高效率的开发设计对国民经济及国防事业的发展有着举足轻重的作用。为了缩短设计周
期、降低开发成本、满足产品不断提升的性能需求和更新换代需要，20世纪 60 年代中期以来，有限元分析（FEA）和计算流体力学（CFD）等计算机仿真技术和优化方法被广泛应用于复杂系统的设计。模型确认、不确定性分析和优化设计是复杂
收稿日期: 2020–09–29 修回日期: 2021–01–28 网络首发时间: 2021–06–09 11:07
基金项目: 国家数值风洞项目（NNW2020ZT7-B31）；国防基础科研科学挑战专题资助项目（TZ2018001）
作者简介: 熊芬芬，女，1982 年生，博士，副教授。研究方向：不确定性量化和优化设计。E-mail：fenfenx@bit.edu.cn陈江涛，男，1983年生，博士，副研究员。
任成坤，男，1994 年生，博士生。研究方向：不确定性量化和优化设计。E-mail：3120170071@bit.edu.cn张立，男，1997 年生，硕士生。研究方向：不确定性量化和深度学习。E-mail：18811367828@163.com李泽贤，男，1998 年生，硕士生。研究方向：不确定性量化和优化设计。E-mail：lzx_bit@163.com *通信作者:熊芬芬
工程产品基于仿真的开发设计中涉及的两大关键内容。前者主要在于保证仿真模型的高保真度，从而为可靠的产品性能分析和设计提供保障；后者旨在通过设计提高产品性能在各种不确定性下的可靠性和稳健性。对于二者而言，需要解决的首要问题皆为不确定性传播（ uncertainty propagation, UP），这也一直是工程优化领域重要的理论
课题之一。然而，随着工程系统设计的复杂化、多学科化，仿真分析模型计算规模和计算量增长，响应函数高维、强非线性，给不确定性传播带来“维数灾难”、精度低、可靠性差等诸多难题。
作为一种高效的概率不确定性传播和量化理论，混沌多项式（ polynomial chaos, PC ）方法[1-2] 由于其坚实的数学基础和良好性能，近些年在学术界和工业界受到广泛关注。混沌多项式方法实质上相当于将随机变量表示为一组正交多项式的加权和，构建一个随机代理模型，不确定性传播就直接在这个代理模型上进行。它能够对具有任意分布类型的随机变量实现较为精确的近似，且理论上当条件满足，即可获得指数收敛速度。而且，一旦混沌多项式模型构建完成，输出响应的统计矩、失效概率以及概率密度函数都能非常方便地得到。相比于传统的蒙特卡罗仿真（Monte Carlo simulation, MCS）方法，混沌多项式方法在保
证精度的前提下，可大幅降低计算量；相比于传统的一阶[3]、二阶[4-5] 可靠性分析方法，对非线性函数具有更高的不确定性传播精度，且无需函数的导数信息，应用起来更加灵活。目前，混沌多项式方法在机械[6]、土木[7-8]、材料[9]、电力电子[10-11]、汽车[12]、航空航天[13-19]、船舶[20-23]、控制[14,24-25] 等领域都得到了广泛研究和应用，在航空航天和船舶领域应用尤为广泛。
由于构建混沌多项式模型的计算量随着不确定性输入维数的增加呈指数增长，高维下面临严重的“维数灾难”问题，这也是目前阻碍混沌多项式方法在工程问题中广泛应用的最大障碍之一。因此，如何解决或缓解混沌多项式的“维数灾难”难题，降低计算量，一直是学术界的研究热点。另一方面，混沌多项式方法基于概率理论，仅能处理随机不确定性，然而实际问题中存在大量由于知识或数据不足而导致的认知不确定性，例如在 CFD建模中由于认知不够，湍流模型的建立存在模型不确定性和相关参数选取的不确定性。因此，如何充分利用混沌多项式的优势，将其扩展为能处理认知不确定性，是关注的另一热点。本文将首先给出不确定性传播的基本概念及其在模型确认和不确定性优化中的作用，然后系统地介
绍混沌多项式方法的构建原理及其各类变种，接着针对当前混沌多项式应用中面临的“维数灾难”、计算量大、无法直接处理认知不确定性等问题介绍相应的解决策略，最后对混沌多项式的研究进行展望。
1基本概念
1.1不确定性传播
不确定性传播也称不确定性分析，是研究各种不确定性对产品系统性能（泛指系统输出）的影响规律的方法。简而言之，不确定性传播就是在给定输入的不确定性信息下，如何估算输出响应的不确定性信息。不确定性主要分为两大类：随机不确定性和认知不确定性，前者无法控制或减少，主要基于概率理论进行研究，而后者主要由认知或数据不足导致，可以减少。目前有多种研究认知不确定性的方法，例如模糊[26]、区间[27]、证据[28-29] 理论等。由于概率方法发展成熟，具有坚实的数学基础，很多情况下结合贝叶斯定理也可以处理认知不确定性，因此目前概率方法应用最为广泛。本文介绍的混沌多项式方法建立在随机概率空间，主要用于处理随机不确定性。图1展示了概率不确定性传播的基本概念，从数学上具体描述为：在随机输入 x=[x1, ···, xd] 存在不确定性的情况下（此时 x1, ···, xd 的不确定性可以用其概率密度函数、累积分布函数、或均值和方差描述），计算输出响应y 的不确定性信息，包括均值、方差、失效概率、概率密度函数（PDF）等。
1.2模型确认
对于基于仿真的复杂产品性能分析和优化设计，要想保证精度，构建高可信度的仿真模型是关键。然而，由于物理过程的复杂性及人们的认知偏差，物理建模与数值模拟始终存在不确定性。以CFD计算为例，其存在几何模型、模型假设、模型参数（例如湍流模型封闭系数）、迭代方法等各类不确定性，从而严重影响数值模拟结果的可信度,使得决策需承担很大风险。以飞行器