基于附加模糊度参数的卡尔曼滤波模型
── GNSS动态载波相位测量的数据处理方法之三
刘基余，陈小明（武汉大学测绘学院，武汉 430079）
摘要：基于附加模糊度参数的卡尔曼滤波模型,是一种获得较高的GNSS动态定位精度的数据处理方法，本文论述了它的基本数学模型。并进行了实际验算。
关键词：卡尔曼滤波；附加模糊度参数；GNSS动态定位精度d o I：10.3969/J.ISSN.1672-7274.2018.Z1.001
中图分类号：TN96 文献标识码：A 文章编码：1672-7274（2018）z1-0001-05
A Calman Filter Model Based on the Additional Ambiguity Parameters --Data Processing Method on GNSS Kinematic Carrier Phase Measurements (3)
Liu Jiyu, Chen Xiaoming
(School of Geodesy and Geomatics, Wuhan University, Wuhan, 430079)
Abstract: The Calman filter model based on the additional ambiguity parameters is a data processing method to get the high accuracy of GNSS kinematic positioning. This paper discusses its basic mathematical model, and the actual calculation was carried out.
Keywords: Calman filter model; additional ambiguity parameter; GNSS kinematic positioning accuracy
在载波相位测量整周模糊度已知时，仅利用双差载波相位观测值，采用“卡尔曼滤波GNSS数据
处理模型”一文（“数字通信世界”，2018第2期， P.1~10）所述模型进行滤波处理，就可以获得很高
的动态定位精度。在整周模糊度未知时，可以将双差载波相位的整周模糊度作为状态向量的一部分，同时利用伪距、载波相位双差观测值，在滤波估计动态接收天线位置和速度的同时，估计双差载波相位整周模糊度，我们称之为附加模糊度参数滤波模型。由于在滤波计算整周模糊度参数时，不仅利用了伪距双差所提供的距离信息，而且还利用了定位星座所提供的几何图形信息，在滤波充分多步后，整周模糊度往往极为接近正确的整周数，从而也可 获得较高的动态定位精度。
1 基本滤波模型
附加模糊度参数模型，即在状态向量中除包括运动状态向量（指动态接收天线的三维位置，速度等）之外，还包括双差载波相位的整周模糊度参数。从而卡尔曼滤波的状态向量为Xk=[xk,yk,zk,xk,yk,zk, △▽N12, △▽N13…△▽N1N]T。△▽N表示双差载波相位整周模糊度，n为卫星数，状态向量中包含n-1个整周模糊度参数。
状态方程为：
若假设共观测m+1颗卫星，则可组成m个双差伪距和m个双差载波相位观测值，状态向量为6+m维， Pk,k-1,pk,k为(6+m)h(6+m)维， Hkp,hk φ为mh(6+m)维，kk为(6+m)h2m维。
在Kk矩阵中包含了一个2mh2m维矩阵的逆。在观测卫星较多时，求逆阶数较高。在软件设计中为套用已有的递推计算函数一般一次性构成量测矩阵（即H Rp 0 Hk = kp Rk =
）及量测噪声协方差阵 。H 0 Rφ kφ Hk矩阵为2mh (m+6)维，r矩阵为2mh2m维，
k
Hk,rk矩阵的维数也较高，在计算时，占用内存也较
大，为了减少矩阵求逆的阶数，以及减少计算时占用的内存，中国陈小明博士提出了一种分步滤波的方
法。可以证明分步滤波与按式(3a)一式(3e)递推计算
是完全等价的。2 分步滤波方法及等价性证明在假设伪距观测与载波相位观测不相关时，可以采用如下分步滤波方法：
X =Φk X （4a）
k ,k −1 ,k −1 k −1,k −1 P =Φ P ΦT +Γk −1Qk −1Γk T （4b） k ,k − 1 k ,k − 1 k ,k − 1 k ,k −1 −1 双差伪距测量更新 1
在式(4a)~(4h)的递推计算中，式(4a)和式(4b)的状态预报Xk,k-1,pk,k-1与式(3a)和式(3b)相同。在测量
更新中，首先利用双差伪距观测进行第一次测量更新，然后再采用双差载波相位测量进行第二次测量
更新，得到在时元的滤波估计Xk,kφ和pk,kφ。
在以上递推计算中，Kkp和kkφ中均终需计算mhm维矩阵的逆矩阵，且Kk矩阵由原来的2mh(m+6)维分解为两个mh(m+6)维的矩阵kkp和kkφ，减少了矩阵
求逆的运算以及矩阵乘法的运算量。
另外，式(4f)~(4h)的双差载波相位更新公式与式(4c)~(4e)完全一致。在软件设计时，双差载波相
位更新可套用与双差伪距更新同样的函数进行，软件上也很容易实现。这一递推算法将高维矩阵求逆转换为低维矩阵求逆，将高维矩阵的乘法转换为低维矩阵的乘法，运算量相对减少了，占用的内存也减少了，并且软件实现也十分方便，现证明如下：由于
方法一、二中滤波的预报值X k,k-1和其协方差阵pk,k-1
的计算是相同的。因而要证明这两种方法的等价性，只需证明最后得到的滤波值X 及其协方差阵
k,k
Pk,k相同即可。
为了便于证明，将方法一的Kk,pk,k,xk,k的计算
用卡尔曼滤波的另外一种形式给出：
式(5e)与(5a)完全相同，这就证明了采用这两种方法计算得到的滤波估值协方差阵相同。在方法二中，将式(4c)代入(4f)可得： 由于P =Pk,k ，比较式(5c)和式(5k)可知，
k
X φ=x
k,k k , k，也即两种方法计算的滤波值也相同。因此，这两种递推方法是等价的。
3 整周模糊度参数变化时的处理
在GPS动态定位中（尤其是长时间的动态定位），由于GPS卫星的上升和降落以及其它原因引起的卫星信号失锁，不同时元的观测卫星不完全相同，相应地在不同时元卡尔曼滤波的状态向量中，整周模糊度参数也不尽相同。另外，由于观测方程中，我们选择的是双差观测量组成双差测量值时，一般选取高度角最大的一颗卫星为参考卫星。在定位过程中，随着时间的推移，卫星高度角随之而发生变化，原定参考卫星的高度角，可能会小于其它卫星。因此，在组成双差时，需要重新选取新的参考卫星，而重新组成的双差模糊度为原双差模糊度的线性组合。
观测卫星数增加或减少，可认为是一新滤波器的开始，对于观测卫星增加的情形，新滤波初值及其协方差阵选取原则为：对原滤波器中有的状向量，初值及初始协方差阵选为原滤波器的滤波值及其协方差，新增加的模糊度参数初值及方差另外设定。对于观测卫星减少的情形新滤波器状态向量维数减少，新滤波器的初值及协方差选为原滤波器滤波值及协方差的相应部分。参考卫星变化时，新组成的双差模糊度参数为原双差模糊度参数的线性组合，有 N! = SN （ 6 ）式中， N!为参考卫星变化后的双差模糊度； N为参考卫星变化前的双有效期模糊度；S为线性变换阵。
设参考卫星变化前后的状态向量分别为X = X6 N T ， X! = X! 6 N! T。协方差阵分别为 ，则有P, P!
X! = I6 0 •X （7） 0 S I 0 I 0 P! = , P = （8） 0 S 0 ST
上述附加模糊度参数模型，提供了一种在整周模糊度无法固定为整周时的一种较高精度的解算方法。从数值分析可以看出，随着滤波的递推，流动站
位置的估计越来越准确，逐渐趋近于无模糊度参数模型解算结果。
与载波相位平滑伪距相比较，附加模糊度参数模型无需根据不同卫星参与滤波的次数重新设计量测噪声矩阵。另外，载波相位平滑伪距是基于单颗卫星或单差的，即平滑只是针对于单个观测值。附加模糊度参数模型则充分利用了所有观测量的信息，即滤波是相对于所有观测值的，这导致附加模糊度参数模型所解算的整周模糊度估值及流动站位置精度比载波相位平滑伪距略高。更为重要的是，在此模型的基础上可以构造整周模糊度在航解算算法（待后文述）。
4 数值分析
4.1 与无模糊度参数模型解算结果比较
附加模糊度参数模型利用伪距及卫星图形信息来估计双差载波相位模糊度及流动站位置和速度，随着滤波的递推，位置估值越来越精确，逐渐趋近 无模糊度参数模型的解算结果（见图1所示）。
4.2 与载波相位平滑伪距解算模糊度的比较
载波相位平滑伪距，仅利用单个双差伪距观测值来估计双差载波相位模糊度，而附加模糊度参数模型，不仅利用了伪距的距离信息，而且还利用了卫星的图形信息。双差载波相位模糊度估值往往比载波相位测量平滑伪距更为精确。图2中虚线为载波相位平滑伪距算得的整周模糊度估值与真值之差，实线为附加模糊度参数模型算得的整周模糊度与真值之差，从图中可以看出，随时间的推移，附加模糊度参数模型解算的整周模糊度比载波相位平滑伪距更接近真值。
参考文献
[1] 刘基余．GPS卫星导航定位原理与方法（第二版）．北京：北京科学
出版社，2008.6.
[2] Lachapelle,g., GPS Theory and Applications, University of Calgary, Fall
2000, PP.310.
[3] 刘基余，陈小明，李德仁等．GPS Kinematic Carrier Phase Measurements for Aerial Photogrammetry, ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing, Vol. 51, No. 5, 1996, P. 230~242.