Počítáme s písmenky

S radostným výrazem si s písmenkem počítám a nic mu nevytýkám

Dnes se budeme věnovat výrazům, jinými slovy: počítání s písmenky. Je to klíčové téma, které pokud nezvládnete, tak nemůžete správně řešit rovnice a pak ani slovní úlohy, které se řeší pomocí rovnic.

Z hlediska typu úloh jde o úzce otevřené úlohy, kdy zapisujete jen výsledek, a otevřené úlohy, kde je nutné dle pokynu „Uveďte postup řešení“uvést opravdu výsledek včetně postupu výpočtu. Při úpravách výrazů využíváme vše, co jsme se naučili v oblasti čísel. Sčítání a odčítání

Počítání s písmenky je vlastně snadné. Studentům se zdá příliš abstraktní, ale pod písmenkem si můžete představit nějaký konkrétní objekt a číslo před ním nám říká, jaké množství objektu máme.

Banán + banán = 2 banány. To není vůbec abstraktní příklad. Proto vám také už nebude dělat problém sčítání a odčítání s písmenky.

b+b=2b (pokud máme nějaký objekt jen jednou, obvykle před ním číslici 1 nepíšeme)

Můžete ale sčítat pouze naprosto stejné výrazy!

a+b je zkrátka a+b a nelze tento výraz už nijak zjednodušit.

Příklad:

6+4 a +5 b –2– a –4 b +2 a –5= =–1+5 a + b

Sčítáme pouze jen to, co jde: čísla s čísly, „áčka“s „áčky“a „béčka“s „béčky“.

Příklad: –2a(a2 –a +4)=–2 a a2 –8a, (2+a)(6 – b )=2(6– b)+a (6– b )= =12–2 b +6 a – ab

Rozklad na součin

Poslední dovedností je rozložení výrazu na součin, tj. násobení dvou (či více) výrazů (nelze to obejít fintou, že výraz napíšete do závorky a před závorku napíšete násobení jedničkou).

Rozložit výraz na součin lze jen vytýkáním, a nebo použitím důležitých vzorců. Vytýkat můžeme, nalezneme-li ve všech členech výrazu číslo či písmenko, kterým lze všechny členy vydělit.

3x +15=3( x + 5),

(člen 3x i 15 lze dělit trojkou) 2a +5 ab +6 a2 = a (2+5 b +6 a), 14a a2b +6 abc +2 a = =2 a(7a – ab +3 bc +1)

Existují dva důležité vzorce, které nám usnadňují práci a také nám umožňují rozložit na součin výrazy, kde nelze vytýkat. Téměř každý deváťák je zná, ale málokdo je umí perfektně užívat.

(a + b) = a ab + b2

(a + b)(a – b )= a2 – b2

Nemá smysl je používat, když lze výraz v závorce zjednodušit: (5a +2 a =(7 a =49 a2,

(4x+2x )(4x–2x )=6 x ·2 x =12 x2

Každý vzorec má dvě strany, což znamená, že jen jednu známe a druhou musíme doplnit. Známe-li levé strany vzorců, využíváme je k urychlení výpočtu.

Vypočtěte:

(6+ x x + x2,

(2x +3 y )(2x –3 y )=4 x y2,

Druhý způsob využití vzorců je, že pokud znáte jejich pravou stranu, pak nám vzorce umožní rozložit na součin i ty výrazy, kde to vytýkáním nelze.

Rozložte na součin: x2+8x +16=( x +4)2=( x+4)(x+4), m m + 5)(m – 5),

Je třeba si proto vzorce nejen pamatovat, ale i vědět, kdy má smysl je použít a k čemu jsou dobré.

Jako další k zapamatování je vždy ještě uváděn vzorec

(a – b)2 = a ab + b2, ale ten lze odvodit již z prvního: (a – b a +(– b))2 =

= a a(–b )+(– b)2 = a2–2ab+b2

Je na vás, zda si budete pamatovat o vzorec víc, či si ho odvodíte.