MATEMATIKA 5. TŘÍDA

Každý test od společnosti Cermat obsahuje konstrukční úlohu: pro 5. i 9. třídu. Výklad i příklady tak budou nyní společné. V záznamovém archu, který odevzdáváme ke zhodnocení, je vymezeno bílé pole, do kterého je třeba úlohu zkonstruovat. Rýsujeme klasicky obyčejnou tužkou a teprve po pečlivé kontrole všechny čáry i písmena obtáhneme propisovací tužkou. Kontrola je v tomto případě obzvlášť důležitá, protože propiskou zvýrazněné objekty již nelze vymazat, a tudíž je prakticky nemožná případná oprava. Každý objekt (přímka, kružnice, bod atd.), který sestrojíme, musíme pojmenovat.

K vyřešení konstrukční úlohy používáme kromě psacích potřeb pravítko s měřítkem, trojúhelník s ryskou a kružítko.

Základní útvary pro všechny...

Za základní prvek geometrie považujeme bod, pro jehož popis používáme velká tiskací písmena. Každými dvěma různými body lze vést nekonečnou rovnou čáru nazvanou přímka a tu popisujeme malým psacím písmenem. Část přímky, která je ohraničena dvěma krajními body, nazveme úsečkou a část přímky, která má jeden počáteční bod a pokračuje od tohoto počátku do nekonečna, nazveme polopřímkou.

Dvě různé přímky v rovině mohou být vzájemně různoběžné nebo rovnoběžné. Různoběžné přímky mají jeden společný bod a ten nazýváme průsečík. Oproti tomu rovnoběžné přímky žádný společný bod nemají. Speciálním případem různoběžek jsou vzájemně kolmé přímky, které mezi sebou svírají úhel o velikosti 90°, tzv. pravý úhel.

Kružnice rýsujeme pomocí ořezaného kružítka a zatím umíme konstruovat pouze ty kružnice, u kterých známe jejich střed a poloměr. Ten může být zadán konkrétním číslem, ale například i vzdáleností dvou bodů.

Naším úkolem v konstrukčních úlohách bývá pomocí prvků, které byly zmíněny výše, narýsovat geometrické útvary. Pro jejich přesné zobrazení je třeba si pamatovat některé vlastnosti, které nám pomohou i v jiných úlohách, například při počítání obvodů a obsahů rovinných útvarů.

Trojúhelník je určen třemi body, které neleží na jedné přímce a nazýváme je vrcholy. Spojnice vrcholů nazýváme strany a podle jejich délky označujeme trojúhelník za obecný (strany jsou libovolně dlouhé), rovnoramenný (dvě strany mají stejnou délku) a rovnostranný (všechny strany jsou stejně dlouhé). Jeden z vnitřních úhlů v trojúhelníku může být pravý, pak takový trojúhelník nazýváme pravoúhlý.

Obdélník je vymezen čtyřmi stranami a dvojice protilehlých stran jsou rovnoběžné a stejně dlouhé. Dále platí, že všechny vnitřní úhly jsou pravé.

U čtverce platí stejné vlastnosti jako u obdélníku a navíc mají všechny strany stejnou délku. Uvědomme si, že úhlopříčky, tj. spojnice nesousedních bodů, se ve čtverci půlí a jsou navzájem kolmé.

Důležité pravidlo: Vrcholy geometrických útvarů značíme postupně proti směru hodinových ručiček. Pouze takové pojmenování vrcholů lze mít za správné.

Zlatá rada: Vždy si nejprve načrtněte řešení. Pokud je úkolem sestrojit např. čtverec ABCD, načrtněte si čtverec, pojmenujte jeho vrcholy (ať vidíte, který vrchol sousedí s kterým) a do obrázku pak dokreslete i zadání. Pokud nějaká strana leží na přímce, načrtněte si přímku. Pokud má kružnice nějaký střed nebo prochází danými vrcholy, načrtněte si příslušnou kružnici apod. Okamžitě pak uvidíte, jak se ze zadání dostanete k výsledku.

... a dodatek pro 9. třídu a všechny zvídavé

Pro narýsování kružnice stačí znát například její střed a poloměr. Ale kružnici můžeme sestrojit také každému trojúhelníku, aniž bychom dopředu znali zmíněný střed a poloměr, a to buď kružnici opsanou, nebo vepsanou.

Kružnice opsaná prochází všemi vrcholy trojúhelníku a sestrojíme ji pomocí os stran trojúhelníku. Průsečík os stran je střed kružnice opsané (pro nalezení středu nám postačí narýsovat dvě osy stran). Poloměr této kružnice určuje vzdálenost středu a libovolného vrcholu trojúhelníku.

Kružnice vepsaná se dotýká všech tří stran trojúhelníku a sestrojíme ji pomocí os úhlů. Průsečík os úhlů je střed kružnice vepsané (pro nalezení středu nám opět postačí narýsovat dvě osy úhlů). Poloměr vepsané kružnice je dán vzdáleností jejího středu a libovolné strany (určíme jej po sestrojení kolmice ze středu na libovolnou stranu).

Speciálním případem je Thaletova kružnice. Mějme například úsečku KL se středem S. Kružnice se středem v bodě S a poloměrem zadaným vzdáleností bodu S a K se nazývá Thaletova kružnice. Pro všechny body (označené například M) na Thaletově kružnici mimo K a L platí, že jsou vrcholem pravoúhlého trojúhelníku KLM. V tomto trojúhelníku je úsečka KL přeponou.

Osová souměrnost je zobrazení například bodu, přímky nebo celého geometrického obrazce podle osy. Při konstrukci nejprve sestrojíme kolmici na osu vedoucí z daného bodu např. A a poté přeneseme vzdálenost bodu A od osy na druhou stranu kolmice a označíme jako bod A1. Osová souměrnost zachovává velikosti úhlů a délky úseček, jedná se o shodné zobrazení.

Rovněž středová souměrnost patří mezi shodná zobrazení, avšak jak sám název napovídá, souměrnost je daná středem souměrnosti S, kdy bodem A vedeme přímku procházející středem souměrnosti S a nový bod A1 leží na této přímce. Jeho vzdálenost je rovna vzdálenosti bodu A od bodu S a leží na opačné polopřímce k polopřímce SA.