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Le solfège de la jonglerie Roger Mansuy

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C’ est la fin de l’été et vous cherchez une activité à la fois plaisante et improducti­ve ? Et vous ne disposez que de quelques balles… Vous êtes donc prêt pour faire des mathématiq­ues. Commencez par lancer les balles de manière élégante. Si vous persévérez au-delà de quelques secondes ou si vous cherchez à expliquer – voire à enseigner – le magnifique mouvement que vous venez de réaliser, vous comprenez rapidement que vous avez besoin d’un langage adapté, précis et relativeme­nt économe pour décrire vos gestes. Autrement dit, vous avez besoin du solfège de la jonglerie.

DANS LE CAS SIMPLE

d’un jonglage asynchrone (chaque main agit à tour de rôle en lançant une balle), une figure de jonglerie peut être décrite facilement par une suite finie d’entiers. L’idée est la suivante : on note successive­ment les temps de vol de chaque balle (ou de manière équivalent­e les hauteurs des lancers). Si le premier chiffre est 3, cela signifie que la première main lance au temps 1 une balle qui restera 3 instants en l’air et qui sera donc rattrapée au temps 4 = 1 + 3 ; si le deuxième chiffre est 4, la balle lancée par l’autre main au temps suivant (donc au temps 2) sera rattrapée au temps 6 = 2 + 4 et ainsi de suite… Le nombre 0 est particulie­r, puisqu’il indique une main vide (c’est-à-dire qui lance une balle de temps de vol 0). Le nombre 1 indique un transfert entre les deux mains et, par convention, le nombre 2 une balle qui reste dans la main sans être lancée. Une figure de jonglerie est ainsi décrite par une succession d’entiers. Sauf talent exceptionn­el de votre part, cette suite est périodique, car vous recommence­z à un moment ou à un autre les mêmes mouvements. Il suffit alors de ne mémoriser qu’une période.

CE LANGAGE ÉCONOME

qui décrit les figures de jonglerie, le siteswap, a été inventé par des mathématic­iens américains dans les années 1980. Par exemple, la suite infinie 33333… (aussi baptisée siteswap 3) indique que chaque main va à son tour lancer une balle qui restera 3 instants en l’air : la gauche envoie, la droite envoie, la gauche envoie, la droite reçoit la première balle lancée et la renvoie, la gauche reçoit la deuxième balle lancée et la renvoie, etc. Cette figure est la fontaine à trois balles, mais il en existe de nombreuses autres : 42 correspond au yo-yo (une main lance une balle et la récupère, l’autre ne fait rien), 55500 n’est pas un code postal de la Meuse, mais un flash à trois balles (trois balles envoyées à un rythme différent). Avec ce langage, on dispose désormais d’une façon simple de coder et décoder, de communique­r une figure de jonglerie sous la forme d’un objet mathématiq­ue, et de démontrer des théorèmes. Par exemple, si votre siteswap est de longueur impaire, vous constatez que votre figure est « symétrique » : au bout d’une période, la main droite fera ce que faisait la main gauche et réciproque­ment ; à peine plus difficile, vous retrouvez le nombre de balles requises pour effectuer une figure comme la moyenne des nombres du siteswap correspond­ant (pour le 55500, il faut donc (5+ 5 + 5 + 0 + 0)/5 = 3 balles).

DE NOMBREUSES QUESTIONS

deviennent rapidement des exercices mathématiq­ues. La figure 53445 estelle réalisable ? Comment combiner deux figures ? Cette dernière question en appelle une autre, algébrique : si l’on sait combiner des siteswaps, quelle est la structure de leur ensemble ? La réponse est techniquem­ent compliquée : on l’identifie à une partie d’un groupe affine de Coxeter de Ãn. Cela vous avance peu, mais vous pourrez toujours utiliser cette informatio­n pour sauver la face lorsque les balles finiront par terre !

Le 55500 est un flash à 3 balles : 3 balles envoyées à un rythme différent ”

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