Les iso­lants font de la ré­sis­tance

Cer­tains ma­té­riaux sont iso­lants en leur sein, mais conduc­teurs à leurs ex­tré­mi­tés. Ces pro­prié­tés sur­pre­nantes sont dues à des ca­rac­té­ris­tiques to­po­lo­giques des états quan­tiques des élec­trons. D’abord théo­riques, les tra­vaux ex­pé­ri­men­taux sur ces ma­té­ria

La Recherche - - Dossier - Pierre Del­place, CNRS, la­bo­ra­toire de phy­sique de l’ENS de Lyon

Il y a un de­mi-siècle, le prix No­bel de phy­sique George Ga­mow ob­ser­vait que la to­po­lo­gie était, avec la théo­rie des nombres, le seul do­maine des ma­thé­ma­tiques qui n’avait pas d’ap­pli­ca­tion en phy­sique. Au­jourd’hui, force est de consta­ter que l’élan consi­dé­rable por­té par les nou­velles phases de la ma­tière, comme les iso­lants to­po­lo­giques, nous fait plu­tôt nous de­man­der quelle branche de la phy­sique échap­pe­ra à l’em­prise de la to­po­lo­gie. La dé­cou­verte de pro­prié­tés to­po­lo­giques en phy­sique dans les an­nées 1970 fut in­at­ten­due (lire p. 40). La to­po­lo­gie est une branche des ma­thé­ma­tiques qui s’at­telle à l’étude des dé­for­ma­tions conti­nues d’un ob­jet en un autre – on pour­rait dire sans uti­li­ser de colle ni de ci­seaux. Ces ob­jets peuvent être de na­tures très di­verses, comme un es­pace, une fonc­tion ou en­core une sur­face. Par exemple, la sur­face d’une cuillère peut être conti­nû­ment dé­for­mée en celle d’une ba­nane. De même, celle d’une tasse à ca­fé, avec son anse, peut être conti­nû­ment dé­for­mée en une bouée. En re­vanche, la sur­face d’une ba­nane ne peut pas être conti­nû­ment dé­for­mée en celle d’une bouée, car il fau­drait alors soit trouer la ba­nane, soit re­col­ler en­semble ses deux ex­tré­mi­tés. À tra­vers le filtre de la to­po­lo­gie, cuillère et ba­nane sont iden­tiques, mais dif­fèrent toutes deux de la tasse et de la bouée, qui dif­fé­rent éga­le­ment d’une mon­ture de lu­nettes. On com­prend bien qu’ici, seul compte le nombre de trous de la sur­face, zé­ro dans le pre­mier cas, un dans le deuxième, deux pour les lu­nettes… Le nombre de trous est un exemple de nombre to­po­lo­gique : c’est un nombre en­tier qui per­met de re­grou­per sous le même éten­dard toutes les sur­faces équi­va­lentes du point de vue de leur forme glo­bale. Mu­nis de ces concepts, les phy­si­ciens ont dé­cou­vert de nou­veaux états de la ma­tière qui ne rentrent pas dans la clas­si­fi­ca­tion entre iso­lants et conduc­teurs élec­triques.

De l’atome au cris­tal

La ca­pa­ci­té d’un ma­té­riau à être tra­ver­sé par un cou­rant élec­trique est gou­ver­née par le com­por­te­ment des élec­trons en son sein. Ces élec­trons, qui pro­viennent des atomes consti­tuant la ma­tière, portent cha­cun une charge élec­trique élé­men­taire. Alors que cer­tains as­surent la co­hé­sion des atomes entre eux, en for­mant des liai­sons chi­miques, d’autres, en ex­cès, sont libres

de cir­cu­ler. C’est par le mou­ve­ment de ces der­niers qu’un cou­rant élec­trique peut être en­gen­dré. Pour au­tant, ce mou­ve­ment est loin de res­sem­bler à ce­lui d’un flot de pe­tites billes char­gées élec­tri­que­ment. En ef­fet, à ces échelles na­no­mé­triques (10- m), le com­por

9 te­ment des par­ti­cules élé­men­taires

Sur le pour­tour d’un iso­lant to­po­lo­gique, le cou­rant se pro­page sans dis­si­pa­tion

(*) Un cris­tal est un so­lide dont les atomes qui le consti­tuent sont ar­ran­gés de fa­çon or­don­née, ré­gu­lière, sy­mé­trique. Par exemple, les mé­taux sont des cris­taux.

(*) L’ef­fet Joule est la dis­si­pa­tion de l’éner­gie d’un cou­rant élec­trique en cha­leur lors de la tra­ver­sée d’un ma­té­riau op­po­sant une ré­sis­tance élec­trique.

est dic­té par les lois de la mé­ca­nique quantique, qui offrent no­tam­ment aux élec­trons la ca­pa­ci­té d’in­ter­fé­rer, comme le font les ondes. Se­lon la mé­ca­nique quantique, les élec­trons d’un atome ne peuvent oc­cu­per que des états d’éner­gie spé­ci­fiques. On parle alors du spectre dis­cret d’éner­gie de l’atome. Cette spé­ci­fi­ci­té est en fait as­sez ana­logue aux modes de vi­bra­tion pos­sibles d’une onde acous­tique dans une flûte, qui cor­res­pondent aux dif­fé­rentes notes de l’ins­tru­ment ; s’il est pos­sible de jouer ces notes, les sons de fré­quences com­prises entre ces notes sont in­ac­ces­sibles. La théo­rie des bandes, éla­bo­rée dans les an­nées 1930 sous l’im­pul­sion de Fe­lix Bloch en Suisse et d’Al­lan Wil­son en An­gle­terre, per­met d’étendre la com­pré­hen­sion du fonc­tion­ne­ment d’un atome à celle d’un cris­tal (*), qui peut en com­por­ter un nombre dé­me­su­ré­ment grand. En se cou­plant les uns aux autres, les atomes voient leurs ni­veaux d’éner­gies dis­crets de­ve­nir des plages conti­nues, ap­pe­lées bandes d’éner­gies. Ces bandes sont gé­né­ri­que­ment sé­pa­rées les unes des autres par des « gaps » d’éner­gies, ou « bandes interdites », qui sont une ré­mi­nis­cence du spectre dis­cret de chaque atome. Par consé­quent, les ondes élec­tro­niques qui existent dans un cris­tal, bap­ti­sées ondes de Bloch, ont éga­le­ment des éner­gies qui leur sont in­ac­ces­sibles. L’oc­cu­pa­tion des états élec­tro­niques par tous les élec­trons du cris­tal s’ef­fec­tue en mi­ni­mi­sant leur éner­gie. Mais les élec­trons ap­par­tiennent à cette fa­mille de par­ti­cules quan­tiques (les fer­mions) qui leur in­ter­dit de par­ta­ger le même état quantique, et donc en par­ti­cu­lier d’in­ves­tir en­semble l’état de plus basse éner­gie. Se fai­sant, ils doivent se ré­par­tir en rem­plis­sant les bandes : d’abord celle dont l’éner­gie est la plus basse, puis les sui­vantes, jus­qu’à ce que cha­cun ait trou­vé sa place. L’éner­gie la plus éle­vée ain­si at­teinte – l’éner­gie de Fer­mi – sé­pare le der­nier ni­veau oc­cu­pé par les élec­trons du pre­mier ni­veau in­oc­cu­pé. Soit la der­nière bande oc­cu­pée est par­tiel­le­ment rem­plie, alors le ni­veau de Fer­mi se si­tue dans cette bande. Soit toutes les bandes sont com­plè­te­ment oc­cu­pées, et alors le ni­veau de Fer­mi ré­side dans un gap. La dif­fé­rence entre ces deux scé­na­rios est ra­di­cale. Dans le pre­mier cas, les élec­trons dont l’éner­gie est proche de celle de Fer­mi pour­ront être mis en mou­ve­ment si on leur confère un peu d’éner­gie, par exemple en ap­pli­quant une ten­sion élec­trique au ma­té­riau. Dans le se­cond cas, les élec­trons sont blo­qués, et l’éner­gie que pour­rait leur confé­rer une ten­sion ex­té­rieure ne suf­fit pas à com­bler le gap pour les pro­mou­voir dans la bande d’éner­gie su­pé­rieure. C’est toute la dif­fé­rence entre un mé­tal qui est un bon conduc­teur, dans le pre­mier cas, et un iso­lant, dans le se­cond.

Guides d’ondes

Mo­di­fier l’am­pli­tude du gap ou la po­si­tion du ni­veau de Fer­mi est un jeu au­quel les phy­si­ciens se sont at­te­lés de­puis des dé­cen­nies, avec à la clef le contrôle du trans­port élec­tro­nique, no­tam­ment avec les se­mi-conduc­teurs qui offrent la pos­si­bi­li­té de chan­ger un ma­té­riau iso­lant en un conduc­teur et ré­ci­pro­que­ment. C’est le suc­cès de la théo­rie des bandes sur la­quelle se fonde le tran­sis­tor ou en­core les cel­lules pho­to­vol­taïques. Pour­tant, des ma­té­riaux ré­cem­ment dé­cou­verts, les iso­lants to­po­lo­giques, ne rentrent pas dans ce sché­ma simple. Car, s’ils se com­portent bien comme des iso­lants usuels en leur sein, ce sont en même temps d’ex­cel­lents conduc­teurs sur leurs bords ! Ce­la si­gni­fie que des états élec­tro­niques, lo­ca­li­sés aux bords du ma­té­riau, sont dis­po­nibles dans le gap d’éner­gie, là où siège le ni­veau de Fer­mi. Ain­si, ces états de bord sont les seuls à pou­voir contri­buer au trans­port de la charge élec­trique (Fig. 1). Ils agissent comme de vrais guides d’ondes élec­tro­niques. Un iso­lant to­po­lo­gique n’est donc pas vrai­ment un iso­lant : un trans­port de charges s’y dé­roule, un peu à la ma­nière d’une cape d’in­vi­si­bi­li­té élec­tro­nique où le cou­rant, ne pou­vant pé­né­trer dans le coeur du ma­té­riau, doit en faire le tour. Qui plus est, les élec­trons se pro­pa­geant à tra­vers ces guides d’ondes de bord le font tous dans

le même sens et sont in­ca­pables de se re­tour­ner. Ils de­meurent donc in­sen­sibles aux di­verses per­tur­ba­tions qu’ils peuvent ren­con­trer sur leur che­min – on parle de pro­tec­tion to­po­lo­gique. Par consé­quent, ils as­surent une conduc­ti­vi­té élec­trique sans dis­si­pa­tion, c’est-à-dire sans perte d’éner­gie par ef­fet Joule (*). D’ailleurs, dans une cer­taine classe d’iso­lants to­po­lo­giques, cette par­ti­cu­la­ri­té est si ma­ni­feste que la conduc­tance élec­trique (l’in­verse de la ré­sis­tance) ne peut prendre que des va­leurs mul­tiples de e 2/ h, où h est la constante de Planck qui in­ter­vient en phy­sique quantique, et e la charge élec­trique élé­men­taire. On parle alors de quan­ti­fi­ca­tion de la conduc­tance.

Coif­fer une boule che­ve­lue

Cette phase se ma­ni­feste à tra­vers l’ef­fet Hall quantique, dont la dé­cou­verte à Gre­noble en 1980 a va­lu le prix No­bel de phy­sique à l’Al­le­mand Klaus von Klit­zing. Cet ef­fet est ob­te­nu dans des gaz d’élec­trons à deux di­men­sions pié­gés dans des hé­té­ro­struc­tures (*) se­mi-conduc­trices, telles que l’ar­sé­niure de gal­lium, sou­mises à un fort champ ma­gné­tique per­pen­di­cu­laire de plu­sieurs tes­las (soit en­vi­ron dix mille fois plus in­tense que le champ ma­gné­tique ter­restre). La conduc­tance prend alors des va­leurs quan­ti­fiées, si pré­cises qu’elles servent d’éta­lon en mé­tro­lo­gie. Ce ré­sul­tat est d’au­tant plus spec­ta­cu­laire qu’il faut gar­der à l’es­prit que l’échan­tillon, en gé­né­ral, pos­sède bon nombre de dé­fauts en tout genre. Il s’agit donc bien d’ex­traire des pro­prié­tés uni­ver­selles et fon­da­men­tales de la ma­tière « sale ». La quan­ti­fi­ca­tion de la conduc­tance pour­rait rap­pe­ler celle du spectre d’éner­gie des atomes en ni­veaux dis­crets, dont la phy­sique quantique hé­rite son nom. Tou­te­fois, leur ori­gine est bien dif­fé­rente, comme le mon­trèrent Da­vid Thou­less et ses col­la­bo­ra­teurs Ma­hi­to Koh­mo­to, Pe­ter Nigh­tin­gale et Mar­cel den Ni­js (1) en ré­vé­lant que la conduc­tance de Hall peut s’ex­pri­mer comme un nombre to­po­lo­gique qui, en tant que tel, ne peut prendre que des va­leurs en­tières. In­sis­tons d’abord sur le fait que ce nombre to­po­lo­gique ne re­pré­sente en au­cun cas des trous dans le ma­té­riau lui-même, contrai­re­ment à l’exemple de la tasse men­tion­né au dé­but de l’ar­ticle ! Si ce que re­pré­sente ce nombre est plus dif­fi­cile à cer­ner, le théo­rème dit de la boule che­ve­lue peut tou­te­fois nous gui­der dans la bonne di­rec­tion. Con­si­dé­rez une boule et at­ta­chez des che­veux sur toute sa sur­face. Si vous es­sayez de coif­fer ces che­veux à plat, sans les dres­ser, vous réa­li­se­rez qu’il existe né­ces­sai­re­ment au moins un point au­tour du­quel il est im­pos­sible de les ali­gner, comme ce­lui qui est vi­sible sur le haut du crâne de ceux qui portent des che­veux courts. Ce point consti­tue un dé­faut de

(*) Une hé­té­ro­struc­ture est un as­sem­blage de plu­sieurs ma­té­riaux se­mi-conduc­teurs dif­fé­rents.

la coif­fure dont il est im­pos­sible de se dé­bar­ras­ser, bien que sa po­si­tion ne soit pas fixée. Tant que la sur­face que l’on coiffe est celle d’une boule, d’une cuillère, d’une ba­nane ou de toute autre sur­face sans trou, il existe né­ces­sai­re­ment un dé­faut rédhi­bi­toire.

In­dif­fé­rence aux dé­tails

Alors que si l’on coif­fait une tasse à ca­fé ou une bouée, on n’y trou­ve­rait au­cun dé­faut de ce type. Ce dé­faut peut donc être qua­li­fié de to­po­lo­gique parce que son exis­tence ne dé­pend que du nombre de trous de la sur­face que l’on coiffe. Dans le cal­cul de Da­vid Thou­less, le rôle du che­veu est joué par un état quantique, et la coif­fure cor­res­pond à l’en­semble des états élec­tro­niques d’une bande d’éner­gie rem­plie. La ques­tion est alors de sa­voir si cette che­ve­lure peut être coif­fée sans dé­faut. Le tra­vail de Da­vid Thou­less a mon­tré pré­ci­sé­ment que ce n’est pas le cas pour la phase de Hall quantique, à la dif­fé­rence de tous les autres iso­lants que l’on connais­sait jusque-là. Ce ré­sul­tat est riche d’en­sei­gne­ments. Tout d’abord, on conçoit mieux l’ex­trême pré­ci­sion de la conduc­tance de Hall : celle-ci étant de na­ture to­po­lo­gique, elle ne peut pas chan­ger conti­nû­ment de va­leur. Dif­fé­rents échan­tillons peuvent certes va­rier les uns par rap­port aux autres, à tra­vers les im­pu­re­tés qu’ils com­portent. Ces dif­fé­rences se tra­dui­ront, pour les élec­trons dans les bandes, comme au­tant de formes de « coif­fures » dif­fé­rentes dont le nombre de dé­fauts – qui ré­gule la va­leur de la conduc­ti­vi­té élec­trique – reste in­chan­gé. À tra­vers l’ap­pa­ri­tion de nombres to­po­lo­giques en phy­sique, il y a donc l’idée cru­ciale de l’in­dif­fé­rence aux dé­tails, et donc de la ro­bus­tesse du phé­no­mène. En­suite, le ré­sul­tat de Da­vid Thou­less ré­vèle qu’il y a de l’in­for­ma­tion im­por­tante, me­su­rable et ca­chée dans la fa­çon dont les états quan­tiques d’une bande peuvent glo­ba­le­ment s’ar­ran­ger les uns avec les autres. C’est pré­ci­sé­ment ce point qui a échap­pé aux phy­si­ciens pen­dant un de­mi­siècle et sur le­quel Da­vid Thou­less a mis le doigt, jus­ti­fiant l’ob­ten­tion de son prix No­bel en 2016. Il a par la suite été com­pris que l’exis­tence de cette pro­prié­té to­po­lo­gique va de pair avec l’exis­tence de guides d’ondes aux bords du sys­tème, leur confé­rant ain­si une ro­bus­tesse qua­li­fiée de to­po­lo­gique. La na­ture to­po­lo­gique de la phase de Hall quantique a fait d’elle une cu­rio­si­té pen­dant vingt-cinq ans, jus­qu’à ce que Charles Kane et Eu­gene Mele, de l’uni­ver­si­té amé­ri­caine de Penn­syl­va­nie, com­prennent que d’autres phases to­po­lo­giques pou­vaient exis­ter dans la ma­tière. Dans la nou­velle phase qu’ils pro­po­sèrent en 2005 (2), les états de bord ont un tout autre as­pect. Ceux-ci ne peuvent exis­ter que par deux. Chaque par­te­naire de la paire se pro­page dans une di­rec­tion op­po­sée et porte avec lui un mo­ment ma­gné­tique in­trin­sèque (le spin)

éga­le­ment op­po­sé. Ce point est lourd de consé­quences, car il offre la pos­si­bi­li­té de ma­ni­pu­ler non seule­ment le flot de charges des élec­trons, mais aus­si leur spin, tout en les gui­dant de fa­çon contrô­lée. C’est tout l’en­jeu de la spin­tro­nique, qui vise à ti­rer pro­fit de cette in­for­ma­tion sup­plé­men­taire ac­ces­sible dans le monde quantique pour des ap­pli­ca­tions élec­tro­niques quo­ti­diennes. Une fois la brèche ou­verte par Charles Kane et Eu­gene Mele, tout s’ac­cé­lé­ra. Un an après leur tra­vail pion­nier, la confir­ma­tion ex­pé­ri­men­tale de l’exis­tence de cette nou­velle phase to­po­lo­gique est an­non­cée par le groupe de Laurens Mo­len­kamp, de l’uni­ver­si­té de Wurtz­bourg, en Al­le­magne, en col­la­bo­ra­tion avec l’équipe théo­rique de Shou­cheng Zhang, à Stan­ford. Cette confir­ma­tion a été ob­te­nue dans des hé­té­ro­struc­tures à base de mer­cure, de cad­mium et de tel­lure (3). Dans la fou­lée, la pre­mière phase to­po­lo­gique à trois di­men­sions est pré­dite puis ob­ser­vée dans un ma­té­riau à base de bis­muth et d’an­ti­moine. Cette fois, les élec­trons cir­cu­lant à la sur­face se com­portent comme s’ils n’avaient pas de masse, à la ma­nière de par­ti­cules ul­tra-re­la­ti­vistes (les élec­trons d’une feuille de gra­phène, un ma­té­riau car­bo­né de l’épais­seur d’un atome dé­cou­vert éga­le­ment en 2005, se

De mul­tiples phases to­po­lo­giques peuvent exis­ter dans la ma­tière

dé­placent de fa­çon si­mi­laire). En l’es­pace de quelques an­nées, une ky­rielle d’iso­lants to­po­lo­giques a en­suite été dé­cou­verte dans des al­liages di­vers com­por­tant sou­vent des élé­ments lourds comme l’an­ti­moine, le tel­lure, le mer­cure ou le bis­muth. En pa­ral­lèle, il est vite ap­pa­ru que beau­coup d’autres phases to­po­lo­giques pour­raient être ob­te­nues, par exemple dans cer­tains types de su­pra­con­duc­teurs exo­tiques, ou en com­bi­nant des su­pra­con­duc­teurs avec des iso­lants to­po­lo­giques. Les par­ti­cules confi­nées aux bords de tels dis­po­si­tifs au­raient cette fois la sin­gu­lière pro­prié­té d’être… leur propre an­ti­par­ti­cule ! L’ob­ser­va­tion et la ma­ni­pu­la­tion, dé­li­cates, de ces par­ti­cules exo­tiques sans masse ni charge, dites par­ti­cules de Ma­jo­ra­na, est un do­maine très ac­tif. D’abord sur le plan fon­da­men­tal, car une telle par­ti­cule n’a ja­mais été ob­ser­vée en tant que par­ti­cule fon­da­men­tale dans la na­ture. Mais aus­si pour les pers­pec­tives in­édites d’ap­pli­ca­tions qui s’offrent dans le sto­ckage de l’in­for­ma­tion et de cal­culs quan­tiques (lire p. 44).

Au-de­là des élec­trons

Par ailleurs, ces concepts fon­da­men­taux de ro­bus­tesse to­po­lo­gique et de guides d’onde de bord se sont vite dis­sé­mi­nés au-de­là de la phy­sique des élec­trons où ils ont vu le jour ; ils ont trou­vé dans ces nou­veaux do­maines un écho sur­pre­nant. Qu’ils soient op­tiques, acous­tiques, ato­miques ou mé­ca­niques, des états to­po­lo­giques, ana­logues à ceux ren­con­trés plus haut, sont dé­jà une réa­li­té dans les la­bo­ra­toires (lire ci-contre). Ces concepts in­ves­tissent jus­qu’à la géo­phy­sique : cer­taines ondes océa­niques et at­mo­sphé­riques au ni­veau de l’équa­teur, dont l’une est pré­cur­seur du phé­no­mène El Niño, viennent d’être for­mel­le­ment in­ter­pré­tées comme des états de bord to­po­lo­giques coin­cés entre les deux hé­mi­sphères (4 ) . Le bou­le­ver­se­ment ame­né par l’avè­ne­ment des phases to­po­lo­giques dans le pay­sage de la phy­sique n’est pas ter­mi­né.

PHY­SI­CIEN Cher­cheur en phy­sique théo­rique, Pierre Del­place s’in­té­resse tout par­ti­cu­liè­re­ment aux pro­prié­tés to­po­lo­giques des élec­trons dans les so­lides et de leurs ana­logues dans les sys­tèmes ar­ti­fi­ciels.

Une tasse est to­po­lo­gi­que­ment équi­va­lente à une bouée : on peut dé­for­mer l’une en l’autre sans les trouer ou les dé­cou­per.

Cette vue d’ar­tiste montre la struc­ture des bandes d’éner­gie des élec­trons dans un iso­lant to­po­lo­gique.

Sur une sphère, ali­gner des flèches les unes à cô­té des autres se ré­vèle im­pos­sible au moins en un point, ap­pe­lé dé­faut to­po­lo­gique.

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