Pla­to­ni­sche Kör­per

PLATONPOLY.LSP

Autocad and Inventor Magazin - - Au­to­cad Ma­ga­zin In­halt - ( Wolf­gang Ra­eder/ ra) ■

Die pla­to­ni­schen Kör­per ge­hö­ren zu den re­gu­lä­ren kon­ve­xen Po­ly­e­dern. Ih­re Ober­flä­che ist aus den glei­chen re­gel­mä­ßi­gen Viel­ecken auf­ge­baut und in je­der Ecke sto­ßen gleich vie­le sol­cher Viel­ecke zu­sam­men.

Pla­to­ni­sche Kör­per sind Po­ly­e­der mit größt­mög­li­cher Sym­me­trie. Je­der von ih­nen wird von meh­re­ren de­ckungs­glei­chen, gleich gro­ßen, gleich­sei­ti­gen und gleich­wink­li­gen ebe­nen re­gel­mä­ßi­gen Viel­ecken be­grenzt.

Es gibt nur fünf re­gel­mä­ßi­ge Kör­per: Te­tra­eder, Wür­fel (oder He­xa­eder), Ok­ta­eder, Do­de­ka­eder und Iko­sa­eder. Den Be­weis, dass ge­nau fünf pla­to­ni­sche Kör­per exis­tie­ren, er­brach­te der grie­chi­sche Ma­the­ma­ti­ker The­ai­te­tos. Die äl­tes­ten, von Men­schen ge­mach­ten pla­to­ni­schen Kör­per sind über 4.000 Jah­re alt. Sie wur­den in Schott­land ge­fun­den. Et­wa zeit­gleich ent­stan­den in Ägyp­ten und Mit­tel­ame­ri­ka die ers­ten, auf ei­nem Ok­ta­eder ba­sier­ten Bau­wer­ke: die Py­ra­mi­den. Die ma­the­ma­ti­schen Ge­setz­mä­ßig­kei­ten von Te­tra­eder, He­xa­eder und Do­de­ka­eder wur­den vor 2.500 Jah­ren von den Pytha­go­rä­ern un­ter­sucht.

Pla­ton hat die Kör­per spä­ter in sei­nem Werk „Ti­mai­os“be­schrie­ben und sie den Ele­men­ten sei­nes ei­ge­nen (pla­to­ni­schen) Welt­bilds zu­ge­ord­net. (Die Welt be­steht aus den vier Grund­ele­men­ten Feu­er, Was­ser, Er­de und Luft. Sie al­le wie­der­um aus klei­nen, un­teil­ba­ren Ato­men, die laut Pla­ton die Form der pla­to­ni­schen Kör­per ha­ben). Künst­ler wie et­wa Leo­nar­do da Vin­ci oder Al­brecht Dü­rer ver­wen­de­ten die­se in ih­ren Il­lus­tra­tio­nen. Jo­han­nes Ke­p­ler kon­stru­ier­te 1596 ein Son­nen­sys­tem, das die Bah­nen der sechs da­mals be­kann­ten Pla­ne­ten mit den Inund Um­ku­gel­ra­di­en der pla­to­ni­schen Kör­per be­schrieb.

Ver­bin­det man die Mit­tel­punk­te der Sei­ten­flä­chen ei­nes pla­to­ni­schen Kör­pers, so ent­steht wie­der ein pla­to­ni­scher Kör­per. Die­se zu­sam­men­ge­hö­ren­den Kör­per hei­ßen dua­le Kör­per. Das Te­tra­eder ist selbst­du­al, der Wür­fel ist du­al zum Ok­ta­eder und das Do­de­ka­eder du­al zum Iko­sa­eder.

Ein pla­to­ni­scher Kör­per wird durch die Kan­ten­län­ge ein­deu­tig be­stimmt. Da­her ist die Län­ge ei­ner Sei­te der ein­zi­ge Wert, den das LISP-Pro­gramm PLATONPOLY.LSP be­nö­tigt, um den ge­wünsch­ten Kör­per zu er­stel­len. So­bald man sich al­so ent­schie­den hat, wel­che Form man er­stel­len möch­te und das Maß an­ge­ge­ben hat, wird der Kör­per so­fort als Vo­lu­men­kör­per er­zeugt.

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