L’In­fi­ni­to in­te­rio­re che nep­pu­re i nu­me­ri rie­sco­no a cat­tu­ra­re

Corriere della Sera - La Lettura - - Universi - Di PAO­LO ZELLINI

Do­po ave­re uc­ci­so il dra­go che te­ne­va con­fi­sca­te le ac­que del cie­lo nel­le vi­sce­re del­le mon­ta­gne, il dio In­dra di­ven­ne re de­gli dèi, si in­su­per­bì, e chie­se al suo ar­chi­tet­to Vi­sh­va­kar­man, dio del­le ar­ti e dei me­stie­ri, di co­struir­gli un pa­laz­zo con­so­no al suo splen­do­re. Le pre­te­se di In­dra si fe­ce­ro con il tem­po sem­pre più gran­dio­se, fi­no a ri­dur­re al­la di­spe­ra­zio­ne Vi­sh­va­kar­man, che do­vet­te chie­de­re soc­cor­so più in al­to.

Al­la fi­ne fu Vi­sh­nu, l’Es­se­re Su­pre­mo, a ri­sol­ve­re la vertenza. Per mo­de­ra­re le pre­te­se di In­dra, Vi­sh­nu si li­mi­tò a mo­strar­gli una pro­ces­sio­ne in­ter­mi­na­bi­le di for­mi­che che in per­fet­to as­set­to mi­li­ta­re for­ma­va­no sul pa­vi­men­to una co­lon­na lar­ga quat­tro me­tri. Le for­mi­che era­no sta­te al­tret­tan­ti In­dra, che in di­ver­si in­nu­me­re­vo­li eo­ni ave­va­no com­piu­to le sue stes­se im­pre­se. Vi­sh­nu spa­lan­ca­va co­sì, al su­per­bo re de­gli dèi, la ter­ri­bi­le vi­sio­ne dell’in­son­da­bi­le e sel­vag­gia in­fi­ni­tà dell’uni­ver­so, do­ve i re, nel cor­so del tem­po, di­ven­ta­no for­mi­che e le im­pre­se più glo­rio­se si sciol­go­no nell’im­men­si­tà de­gli spa­zi e dei ci­cli co­smi­ci. La le­zio­ne im­par­ti­ta a In­dra ri­di­men­sio­na­va co­sì le sue am­bi­zio­ni, ispi­ran­do­gli una prov­vi­den­zia­le pre­sa di di­stan­za, un di­stac­co dal­le co­se. Lo sguar­do aper­to sull’im­men­si­tà del crea­to di­ven­ta un so­gno fan­ta­sti­co, ter­ri­fi­can­te ma an­che li­be­ra­to­rio: co­me in­se­gna­no le Upa­ni­shad, Mr­tyu, la te­mi­bi­le di­vi­ni­tà che am­mi­ni­stra la leg­ge del tem­po è in­sie­me an­nien­ta­tri­ce e sal­vi­fi­ca.

Dob­bia­mo a Hein­ri­ch Zim­mer, au­to­re di im­por­tan­ti stu­di sul­le tra­di­zio­ni po­po­la­ri dell’In­dia, il rac­con­to di que­sto apo­lo­go, do­ve è pu­re sol­le­va­to il que­si­to più ver­ti­gi­no­so: è pos­si­bi­le con­ta­re tut­te le crea­zio­ni sor­te dall’abis­so in­for­me dell’ocea­no? Tra i ser­vi­to­ri del re c’era chi so­ste­ne­va di po­ter con­ta­re tut­ti i gra­nel­li di sab­bia sul­la ter­ra e tut­te le goc­ce del­la piog­gia, ma nes­su­no avreb­be po­tu­to con­ta­re tut­ti gli In­dra. Po­treb­be­ro mai i nu­me­ri ve­ni­re a ca­po di tut­ta la va­sti­tà del­lo spa­zio e del tem­po? Una que­stio­ne non cer­to estra­nea al­la dot­tri­na oc­ci­den­ta­le del lo­gos, il cui si­gni­fi­ca­to era af­fi­ne a quel­lo di nu­me­ro, e a cui era de­man­da­to il com­pi­to di ar­ri­va­re fi­no agli estre­mi con­fi­ni dell’Uni­ver­so.

Le Scrit­tu­re as­se­gna­va­no lo stes­so po­te­re al­la Sa­pien­za, che Ago­sti­no avreb­be iden­ti­fi­ca­to con il nu­me­ro. Ma i nu­me­ri, in que­sto ca­so, po­te­va­no si­gni­fi­ca­re due co­se di­ver­se, che po­trem­mo es­se­re in­cli­ni a con­fon­de­re: la for­za di una Sa­pien­za che tra­scen­de le pos­si­bi­li­tà uma­ne e la vo­lon­tà pro­me­tei­ca di ol­tre­pas­sa­re ogni li­mi­te. Nel mi­to di In­dra nes­su­no si so­gne­reb­be mai, per le­ni­re lo sgo­men­to di una vi­sio­ne dell’im­men­si­tà del crea­to, di cat­tu­ra­re la gran­dez­za dell’uni­ver­so con un si­ste­ma di nu­me­ri. E an­che la Bib­bia ( Si­ra­ci­de, 1, 2) sem­bra sot­tin­ten­de­re un’ana­lo­ga in­ter­di­zio­ne: «La sab­bia dei ma­ri, le goc­ce del­la piog­gia, i gior­ni dei se­co­li, chi può con­tar­li?». D’al­tro can­to la ra­gio­ne scien­ti­fi­ca vuo­le con­qui­sta­re di­stan­ze proi­bi­ti­ve e di­men­sio­ni im­po­nen­ti, e a que­sto fi­ne si in­ge­gna — lo no­ta­va Leo­par­di — di rim­pic­cio­li­re ogni gran­dez­za, al prez­zo di ri­dur­ne il po­te­re di ri­ve­la­zio­ne poe­ti­ca o me­ta­fi­si­ca. La scien­za cal­co­la e ri­di­men­sio­na l’enor­mi­tà dell’uni­ver­so, Vi­sh­nu la am­pli­fi­ca ol­tre ogni li­mi­te im­ma­gi­na­bi­le.

L’Oc­ci­den­te non man­cò cer­to di ri­mar­ca­re il ca­rat­te­re ter­ri­bi­le e su­bli­me dell’im­men­si­tà del crea­to, ma fu ten­ta­to, al con­tem­po, di mo­strar­ne i li­mi­ti e la fi­ni­tez­za. Per la scien­za oc­ci­den­ta­le l’uni­ver­so è sem­pre sta­to gran­de, im­men­so, ma non in­fi­ni­to o ta­le da non la­sciar­si cat­tu­ra­re dai nu­me­ri, pur­ché que­sti fos­se­ro suf­fi­cien­te­men­te gran­di. Que­sti so­no og­gi i nu­me­ri cal­co­la­ti da­gli astro­fi­si­ci: più di 120 mi­liar­di di ga­las­sie, cia­scu­na con mi­lio­ni o mi­liar­di di stel­le, con di­stan­ze va­lu­ta­te in mi­liar­di di an­ni lu­ce. In­ver­sa

Cal­co­li La ra­gio­ne scien­ti­fi­ca vuo­le con­qui­sta­re di­stan­ze proi­bi­ti­ve e di­men­sio­ni im­po­nen­ti. Per que­sto fi­ne si in­ge­gna di rim­pic­cio­li­re ogni gran­dez­za, ma al prez­zo di ri­dur­ne il po­te­re di ri­ve­la­zio­ne poe­ti­ca o me­ta­fi­si­ca

men­te, a li­vel­lo mi­cro­sco­pi­co, l’ener­gia ci­ne­ti­ca del­le par­ti­cel­le ele­men­ta­ri che com­pon­go­no lu­ce e ma­te­ria è va­lu­ta­ta co­me un mul­ti­plo del­la co­stan­te di Planck, un nu­me­ro pic­co­lis­si­mo, dell’or­di­ne di 10 ele­va­to a −34. Ora il pun­to da no­ta­re è il se­guen­te: i nu­me­ri che mi­su­ra­no gran­dez­ze astro­no­mi­che o mi­cro­sco­pi­che dif­fi­cil­men­te im­ma­gi­na­bi­li so­no fa

cil­men­te rap­pre­sen­ta­bi­li co­me se­quen­ze di ci­fre che la no­stra ra­gio­ne è per­fet­ta­men­te in gra­do di com­pren­de­re. L’or­di­ne di gran­dez­za si mi­su­ra in ter­mi­ni di un 1 se­gui­to, o pre­ce­du­to, da una lun­ga, e pur fi­ni­ta, se­quen­za di ze­ri.

Nel III se­co­lo avan­ti Cri­sto era sta­to Ar­chi­me­de, nell’Are­na­rio, a pro­por­re al re Ge­lo­ne II di Si­ra­cu­sa una va­rian­te del pro­ble­ma già po­sto dai ser­vi­to­ri di In­dra: è pos­si­bi­le de­ter­mi­na­re un nu­me­ro ab­ba­stan­za gran­de da mi­su­ra­re la quan­ti­tà dei gra­nel­li di sab­bia che riem­pi­reb­be­ro non so­lo tut­to il glo­bo ter­re­stre, ma an­che lo spa­zio tra noi e gli astri del fir­ma­men­to? Ar­chi­me­de te­ne­va pu­re con­to dell’ipo­te­si elio­cen­tri­ca di Ari­star­co di Sa­mo, che ave­va già con­sen­ti­to di al­lar­ga­re quel­lo spa­zio fi­no a di­men­sio­ni gran­dis­si­me. Ar­chi­me­de di­mo­strò che quel nu­me­ro, ne­ces­sa­ria­men­te fi­ni­to an­cor­ché enor­me, può espri­mer­si nei ter­mi­ni di una no­ta­zio­ne sem­pli­ce e com­pren­si­bi­le a tut­ti: un 1 se­gui­to da 63 ze­ri.

Mol­ti se­co­li più tar­di Leib­niz pre­se ad esem­pio l’Are­na­rio per im­ma­gi­nar­si un pro­ble­ma che pu­re im­pli­ca­va nu­me­ri enor­mi. Poi­ché tut­te le co­no­scen­ze uma­ne — co­sì Leib­niz — si pos­so­no espri­me­re con le 24 let­te­re dell’al­fa­be­to, è pos­si­bi­le cal­co­la­re il nu­me­ro di pa­ro­le al più di 32 let­te­re di cui gli uo­mi­ni so­no ca­pa­ci. Que­sto nu­me­ro è fi­ni­to e mi­no­re di 24 ele­va­to a 33. Si po­treb­be dun­que «de­ter­mi­na­re la gran­dez­za di un’ope­ra che con­ten­ga tut­te le co­no­scen­ze uma­ne pos­si­bi­li, e do­ve ci sa­reb­be tut­to ciò che po­treb­be es­se­re mai sa­pu­to, scrit­to o in­ven­ta­to». Una si­mi­le ri­cer­ca po­te­va ser­vi­re a va­lu­ta­re me­glio quan­to po­co val­ga l’uo­mo al co­spet­to del­la so­stan­za in­fi­ni­ta, per­ché il nu­me­ro di tut­te le ve­ri­tà che pos­sia­mo co­no­sce­re è as­so­lu­ta­men­te me­dio­cre quan­do si pen­si all’in­fi­ni­tà di uo­mi­ni im­pe­gna­ti a gua­da­gna­re per l’eter­ni­tà sem­pre nuo­ve co­no­scen­ze. Per Leib­niz que­sto era un pa­ra­dos­so più estre­mo di quel­lo di Ar­chi­me­de, per­ché il nu­me­ro di gra­nel­li di sab­bia dell’Are­na­rio sa­reb­be sta­to po­ve­ra co­sa in con­fron­to al nu­me­ro del­le ve­ri­tà pos­si­bi­li.

Ma co­me si può sol­tan­to con­ce­pi­re un in­sie­me di tut­te le ve­ri­tà? Nel De mo­nar

chia (III, 15) Dan­te di­ce­va che la no­stra ani­ma vi­ve tra il tem­po e l’eter­ni­tà. Non pos­sia­mo quin­di evi­ta­re di sen­tir­ci par­te di una li­nea ascen­den­te e di­scen­den­te, dall’in­fi­ni­ta­men­te pic­co­lo all’in­fi­ni­ta­men­te gran­de, una li­nea in cui, co­me avreb­be scrit­to il ro­man­ti­co te­de­sco No­va­lis, dob­bia­mo pen­sar­ci co­me « uo­mi­ni di in­fi­ni­te va­ria­zio­ni». In­fat­ti nel mon­do ve­ro, di­ver­so da una mac­chi­na che una crea­tu­ra fi­ni­ta po­treb­be aspi­ra­re a co­no­sce­re, ci so­no di­stin­zio­ni im­per­cet­ti­bi­li tra le in­fi­ni­te di­ver­se con­di­zio­ni, fi­si­che e psi­chi­che che ci ri­guar­da­no. Il com­ples­so di que­ste va­ria­zio­ni, Leib­niz lo am­met­te­va, for­ma un con­ti­nuo, di­vi­si­bi­le in un’in­fi­ni­tà at­tua­le di par­ti, che nes­sun li­bro po­treb­be mai con­te­ne­re. Tut­ta­via pos­sia­mo pu­re con­ce­pi­re, di­stin­ta dal­la sto­ria se­gre­ta del­la na­tu­ra e dal­la to­ta­li­tà dei fat­ti con­tin­gen­ti, una più con­te­nu­ta nar­ra­zio­ne pub­bli­ca o ci­vi­le, re­gi­stra­bi­le ne­gli an­na­li di una sto­ria uni­ver­sa­le e con­den­sa­bi­le in un in­sie­me fi­ni­to di do­cu­men­ti scrit­ti. Di­spo­nen­do di un nu­me­ro

fi­ni­to di let­te­re dell’al­fa­be­to, il nu­me­ro di tut­te le ve­ri­tà enun­cia­bi­li o leg­gi­bi­li in ta­li do­cu­men­ti da un qual­sia­si es­se­re uma­no, nell’ar­co di una vi­ta, non avreb­be su­pe­ra­to un cer­to li­mi­te, an­cor­ché mol­to ele­va­to. Leib­niz lo sti­ma­va dell’or­di­ne di 10 ele­va­to a 73 se­gui­to da 11 ze­ri. In un tem­po ab­ba­stan­za lun­go il ge­ne­re uma­no avreb­be esau­ri­to tut­te le ve­ri­tà enun­cia­bi­li e, per la cor­ri­spon­den­za che as­so­cia le ve­ri­tà ai fat­ti, la sto­ria avreb­be co­min­cia­to a ri­pe­ter­si. Si sa­reb­be co­sì po­tu­to espri­me­re in ci­fre, in nu­me­ri sem­pli­ci an­cor­ché enor­mi, l’al­lu­sio­ne crip­ti­ca, nel di­scor­so di Pie­tro ne­gli At­ti de­gli Apo­sto

li (3, 21), a una re­sti­tu­tio uni­ver­sa­le (in gre­co apo­ka­tá­sta­sis pán­ton), una «Re­stau­ra­zio­ne di tut­te le co­se an­nun­zia­te per boc­ca dei pro­fe­ti».

Ma è poi con­vin­cen­te la pre­te­sa di fis­sa­re con un nu­me­ro la du­ra­ta di un ci­clo che esau­ri­sca le ve­ri­tà pos­si­bi­li? Leib­niz ne du­bi­ta­va, ma spe­ra­va che i nu­me­ri ser­vis­se­ro co­mun­que a trac­cia­re l’oriz­zon­te che cir­co­scri­ve e li­mi­ta la no­stra dot­tri­na, ele­van­do il no­stro spi­ri­to fi­no a per­ce­pi­re i con­fi­ni che la na­tu­ra gli ha im­po­sto.

Tut­ta­via sa­per scri­ve­re un nu­me­ro enor­me co­me una lun­ga se­quen­za di ci­fre non ba­sta per ve­ni­re a ca­po del­la va­rie­tà e dell’enor­mi­tà dell’uni­ver­so. Con quel­le se­quen­ze di ci­fre dob­bia­mo po­ter ef­fet­tua­re i cal­co­li, e i nu­me­ri cal­co­la­ti cre­sco­no, ten­den­zial­men­te, ol­tre mi­su­ra. In un pro­ces­so com­pu­ta­zio­na­le di sca­la ele­va­ta, con mi­lio­ni o mi­liar­di di ope­ra­zio­ni ese­gui­te dal­la mac­chi­na, la cre­sci­ta dei nu­me­ri può es­se­re in­di­ce di una pro­pa­ga­zio­ne ab­nor­me dell’er­ro­re, ta­le da com­pro­met­te­re ogni pos­si­bi­le pre­ci­sio­ne. La so­lu­zio­ne di un’equa­zio­ne ri­ma­ne

co­mun­que, di so­li­to, av­vol­ta da una nu­vo­la di in­de­ter­mi­na­zio­ne, a cau­sa de­gli er­ro­ri im­pli­ci­ti nell’arit­me­ti­ca ap­pros­si­ma­ta di cui si ser­ve il cal­co­la­to­re. L’esat­to va­lo­re del­la so­lu­zio­ne re­ste­rà dun­que igno­to. Il cal­co­lo di­gi­ta­le, che ri­sol­ve cen­ti­na­ia di mi­glia­ia di equa­zio­ni in al­tret­tan­te in­co­gni­te, si scon­tra re­go­lar­men­te con li­mi­ti in­va­li­ca­bi­li di spa­zio (di me­mo­ria) e di tem­po (di ese­cu­zio­ne) e con l’esplo­sio­ne com­bi­na­to­ria di pro­ble­mi di ap­pa­ren­te­men­te fa­ci­le ri­so­lu­zio­ne. Quan­do cal­co­lia­mo man­ca sem­pre un re­sto o un re­si­duo che non po­tre­mo mai eli­mi­na­re del tut­to, e che ser­ve so­lo a in­for­mar­ci in che mo­do e fi­no a che pun­to il pro­ces­so com­pu­ta­zio­na­le po­trà con­ti­nua­re. Co­me re­ci­ta il Qo­hè­let (1, 7 e 1, 15), «Tut­ti i fiu­mi scor­ro­no ver­so il ma­re e il ma­re non si riem­pie mai» e «ciò che è stor­to non si può rad­driz­za­re né ciò che man­ca si può con­ta­re».

Tut­ta­via i ma­te­ma­ti­ci cer­ca­no sem­pre di «chiu­de­re» le astra­zio­ni in am­bi­ti cir­co­scrit­ti, e pu­re in­fi­ni­ti, con for­ma­li­smi che esclu­da­no l’ir­ru­zio­ne di en­ti­tà alie­ne o ir­rag­giun­gi­bi­li. In tal sen­so cam­pi nu­me­ri­ci co­me quel­lo dei nu­me­ri ra­zio­na­li o dei nu­me­ri rea­li so­no re­gio­ni chiu­se: se som­mia­mo o mol­ti­pli­chia­mo tra lo­ro due nu­me­ri ra­zio­na­li (rea­li) tro­via­mo an­co­ra un nu­me­ro razionale (rea­le). Il con­cet­to teo­ri­co di al­go­rit­mo, espres­so con i for­ma­li­smi usua­li (ri­cor­sio­ne o mac­chi­na di Tu­ring) si pro­po­ne di chiu­de­re in un uni­co in­sie­me ogni ti­po di com­pu­ta­zio­ne pos­si­bi­le, in mo­do da evi­ta­re ele­men­ti estra­nei che non si la­sci­no cat­tu­ra­re da quei for­ma­li­smi. Ma que­sti ele­men­ti estra­nei so­no per lo più ine­vi­ta­bi­li e ci apro­no a sem­pre più am­pie pro­spet­ti­ve e am­bi­ti di ri­cer­ca. Per ci­ta­re Ral­ph Wal­do Emer­son, tra­scen­den­ta­li­sta ame­ri­ca­no, «la vi­ta dell’uo­mo è un cir­co­lo che si evol­ve da sé, che si al­lar­ga da ogni par­te in nuo­vi cir­co­li più am­pi, e co­sì all’in­fi­ni­to».

I mon­di enor­mi, in­fi­ni­ti, an­che quan­do so­no me­re astra­zio­ni ma­te­ma­ti­che, li pro­iet­tia­mo di so­li­to in un mon­do rea­le fuo­ri di noi, per pen­sar­li co­me una ve­ri­tà scien­ti­fi­ca. Ep­pu­re il mi­to di In­dra in­se­gna co­me po­trem­mo pu­re ri­con­dur­li a una espe­rien­za in­te­rio­re, suf­fi­cien­te a ri­ve­lar­ci co­me l’in­fi­ni­to, il­lu­so­rio o rea­le che sia, sta co­mun­que nel­la no­stra men­te, o al­me­no in un am­bi­to in cui la no­stra men­te è in qual­che mo­do te­nu­ta a ri­tro­va­re e a mi­su­ra­re sé stes­sa. Ma in­ve­ce di un in­se­gna­men­to di­ret­to ed espli­ci­to, ispi­ra­to a un prin­ci­pio razionale, nel mi­to nar­ra­to da Zim­mer tro­via­mo un’espres­sio­ne in­di­ret­ta che si av­va­le di sim­bo­li e im­ma­gi­ni. Del re­sto i nu­me­ri fi­ni­ti mol­to gran­di — al pa­ri de­gli or­di­na­li tran­sfi­ni­ti in­tro­dot­ti nel XIX se­co­lo — sem­bra­no av­vi­ci­nar­ci pro­gres­si­va­men­te all’in­fi­ni­to, ma si li­mi­ta­no in real­tà a rap­pre­sen­tar­lo per se­gni al­lu­si­vi ed em­ble­ma­ti­ci, e ser­vo­no piut­to­sto, se fac­cia­mo no­stro un in­se­gna­men­to pi­ta­go­ri­co, a fis­sa­re una pau­sa cor­ret­ti­va, li­mi­tan­te, che ci met­te in sal­vo dall’abis­so dell’in­de­ter­mi­na­to.

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