Discrete Fouriertransformatie
Uit zijn observaties van hoe warmte zich verspreidt in vaste stoffen, concludeerde Jean Baptiste Joseph Fourier dat een periodiek analoog signaal kan worden beschreven door het sommeren van oneindig veel sinus- en cosinussignalen van verschillende sterkte. De Fouriertransformatie (FT), die naar hem is vernoemd, beschrijft de mathematische stappen voor het ontleden (analyse) en samenstellen (synthese) van analoge signalen. De Fouriertransformatie vergaarde wetenschappelijke populariteit met de ontwikkeling van snelle varianten van de complexe formules, namelijk de Fast Fourier Transformation (FFT).
Die is met name toe te passen bij het ontleden van analoge signalen als geluidsgolven in hun frequentiespectra. Voor het analyseren van de gegevensstroom van losse waarden in een gedigitaliseerd analoog signaal, is er de Discrete Fouriertransformatie:
De formule berekent de signaalsterkte van de n-de frequentieband X van een signaal x met N discrete waarden. In het Engels worden deze bereiken 'bins' genoemd. De grootte of spectrale resolutie van de bins is de verhouding tussen de samplerate en de grootte van het zogenaamde venster N. Bij cd's is die bijvoorbeeld 86,13 Hz met een bemonsteringfrequentie (samplerate) van 44,1 kHz en een venstergrootte N van 512. Frequentieverschillen van minder dan 86,13 Hz zijn met die waarden niet te onderscheiden. Het ligt dus voor de hand de spectrale resolutie van de DFT te verbeteren met toereikend grote waarden voor N. Daardoor wordt echter ook de lengte groter van het signaalsegment (interval) waar de DFT van uitgaat, wat betekent dat de tijdresolutie die de DFT gebruikt om wijzigingen in de signaalsterkten in het frequentiespectrum te herkennen kleiner wordt.
N bepaalt ook het aantal berekeningen van een DFT, want voor het bepalen van de signaalsterkten van alle relevante bins van een gedigitaliseerd analoog signaal zijn N versies van de gegeven formule nodig – en ook voor elk interval.
Het is daarom zaak met een goede keuze van N tot een compromis te komen en een zo gering mogelijk aantal berekeningen met een zo hoog mogelijke resolutie te vinden [2].