Visionaire wiskundige ontdekte magische verbanden
Robert Langlands krijgt dit jaar de ‘Nobelprijs’ voor de wiskunde. Hij sloeg bruggen tussen hele verschillende takken van de wiskunde.
Alex van den Brandhof
In 1967 stuurde de Canadese wiskundige Robert Langlands (1936) een brief aan André Weil, een van de reuzen van de twintigsteeeuwse getaltheorie. In zijn brief vroeg Langlands Weil naar zijn mening over een paar nieuwe wiskundige ideeën. Of hij de inhoud als „pure speculatie” wilde lezen, en zo niet, dat hij dan „vast wel een prullenbak” zou hebben.
In die prullenbak is de brief gelukkig niet beland. De zeventien pagina’s tellende handgeschreven brief is bewaard gebleven en is beroemd onder wiskundigen. De brief was het begin van wat later het Langlandsprogramma zou gaan heten.
Voor zijn werk krijgt Langlands (Institute for Advanced Study, Princeton) dit jaar de Abelprijs. Dat werd dinsdag bekendgemaakt. Langlands werk is door de wiskundige Edward Frenkel een Grand Unified Theory van de wiskunde genoemd.
Langlands bleek een visionair. Hij sloeg bruggen tussen takken van de wiskunde die ogenschijnlijk lichtjaren van elkaar vandaan stonden. Hij zag connecties die niemand eerder vermoedde. In 1970 publiceerde hij zijn theorieën onder de titel Problems in the Theory of Automorphic Forms. Hij formuleerde daarin vermoedens die de getaltheorie met de harmonische analyse verbindt; vermoedens waarvan experts geloven dat ze waar zijn, maar waarvan – ook nu nog – lang niet alles is opgehelderd.
In de daarop volgende jaren werkte Langlands zijn ideeën verder uit. Langzamerhand werd duidelijk dat veel door Langlands ontdekte patronen zich in de meest uiteenlopende deelgebieden van de wiskunde bevinden. Alsof elk muziekstuk van Bach een ‘spiegelbeeld’ heeft in de oeuvres van Brahms en Stravinsky, met verbluffende analogieën – qua lengte, opbouw, aantal noten, instrumentatie enzovoort.
Langlands’ magische verbanden kwamen bekend te staan onder de naam Langlandsprogramma. ’s werelds beste wiskundigen hebben zich ermee beziggehouden, waardoor het programma zich gestaag uitbreidde. Reciprociteitswetten, automorfe vormen, Riemann-oppervlakken, KacMoody-algebra’s, Hitchin-moduliruimtes: dit zijn stuk voor stuk abstracte begrippen uit deelgebieden van de wiskunde, die allemaal verband met elkaar bleken te hebben. Ze duiden op een mysterieuze onderliggende structuur voor de gehele wiskunde.
In de afgelopen decennia vielen er beetje bij beetje puzzelstukjes op zijn plaats. Een spectaculair voorbeeld is het verband tussen de beroemde laatste stelling van Fermat uit 1637 en het veel modernere ‘modulariteitsvermoeden’. Andrew Wiles, die twee jaar geleden de Abelprijs won, bewees dit laatste vermoeden in 1994. Andere doorbraken zijn het bewijs van het Sato-Tate-vermoeden (2006), en het bewijs van het hoofdlemma van het Langlandsprogramma (2008).
Maar er is nog veel werk aan de winkel. Veel vermoedens uit het Langlandsprogramma zijn nog altijd onbewezen. Sommige wiskundigen menen dat het programma zelfs aan het eind van de eenentwintigste eeuw nog niet is afgerond. Zó veel omvattend is het. Zó moeilijk zijn de vermoedens.