Dwa i pół wymiaru

Dzieciaki szaleją na placu zabaw, a ja mu mówię, że byłem w Grecji, i to akurat w czasie tego słynnego referendum. A on, czyli Łukasz Badowski, fizyk teoretyczny, popularyzator nauki, opowiada, że był na Mazurach. – Było fajnie. Tylko raz poszliśmy na spacer wokół jeziora, wydawało się bardzo małe, ale się okazało, że co chwila jest jakaś zatoczka, w tej zatoczce kolejna zatoczka, mała zaczęła narzekać, przeklęliśmy ten pomysł. Cóż, własności fraktali są takie nieintuicyjne. – Jakie znowu fraktale?! – Kształty, często spotykane w przyrodzie, które mają ułamkowy wymiar. Linia brzegowa jest świetnym ich przykładem. – O rety! – Spokojnie, jak zrozumiesz, co to jest wymiar, będziesz wiedział, co to jest fraktal. Kartka papieru jest płaska, zgadza się? – Tak. – Płaskie rzeczy są dwuwymiarowe. Kula jest trójwymiarowa. Ale jak weźmiesz kartkę, zemniesz ją w kulkę, bardzo pofałdowaną, nadal będziesz miał kartkę, ale to pofałdowanie spowoduje, że ona zaczynie wypełniać przestrzeń. I teraz pytanie: czy zmięta w kulkę kartka jest dwu- czy trójwymiarowa?

– Strzelam: trój.

– Ale to nadal jest ta sama kartka. Nie rozciągnąłeś jej w trzecim wymiarze, tylko pogiąłeś.

Im dokładniej zemniesz kartkę, tym bliżej będziesz wymiaru trzy, ale do kuli nie dojdziesz nigdy, bo to ciągle będzie ta sama płaska kartka. W rezultacie dostaniesz kształt, który ma np. dwa i dwie trzecie wymiaru.

Natura jest bardzo dobra w robieniu kształtów z czegoś, co jest jedno- lub dwuwymiarowe, a wypełnia przestrzeń. Np. twoje naczynia krwionośne.

Wiele tkanek ludzkiego ciała zaczyna jako płaska struktura, a potem się fałduje. Na tych fałdkach powstają mniejsze fałdki itd. Dzięki temu można zmieścić wiele rzeczy w małej objętości. Np. mnóstwo pęcherzyków płucnych. Jak zemniesz kartkę, to ona ci się mieści w dłoni, a przecież kartka papieru jest dużo większa niż dłoń.

Drugi powód, dla którego natura lubi fraktale, to samopodobieństwo. Liść paproci ma wypustki, na wypustkach kolejne wypustki itd. Każda wygląda jak cały liść.

Dzięki samopodobieństwu nie potrzebujesz mieć wzoru na każdą część obiektu. Jak budujesz samochód, to musisz wiedzieć, jak wygląda przednia klapa, tylna itd. Ale jak masz roślinę, to wystarczy ci prosty przepis: jak dojdziesz do odpowiedniego momentu, rozdziel się na dwa. Wypuść liść. Albo pęd. I tyle!

Ludzie bardzo by chcieli produkować fraktalne kształty, bo łatwo je robić. Powstają naturalnie w procesie doklejania się cząsteczek do krawędzi lub powierzchni. Nie musisz dbać o czystość, dokładność – fraktal wyrośnie sam jako produkt losowego procesu. Poza tym, jak coś ma fraktalną strukturę, to lepiej rozprowadza natężenia, radzi sobie z przypadkowymi defektami – jest bardziej odporne. – To dlaczego tego nie robimy? – Bo dopiero co się zorientowaliśmy, że fraktal istnieje! Przez tysiące lat nam się wydawało, że w geometrii już nic nowego się zrobić nie da. Koło już jest. Trójkąt też. Aż pojawił się Benoit Mandelbrot i powiedział, że wnaturze nie ma kół i kwadratów. Są fraktale. I zaczął je opisywać.

– Ale przecież ludzie od zawsze wiedzieli, że świat jest raczej postrzępiony niż idealny.

– Niby tak, ale my, zamiast dostosowywać się do natury, próbujemy dostosowywać naturę do nas. Np. chcemy wyhodować sześcienne arbuzy – żeby się łatwiej mieściły w kartonach. Na szczęście ludzie już eksperymentują w odwrotnym kierunku. Jak chcesz zrobić elektrownię słoneczną, to ustawiasz regularnie, jedno obok drugiego, ogniwa fotowoltaiczne. A może lepiej byłoby robić sztuczne drzewa? Na gałęziach rozstawić małe ogniwka jak liście? Drzewa przecież nie bez powodu są takie, jakie są. Nie mówiąc już o tym, że są dużo efektywniejsze niż elektrownie!

WIndiach jest plemię, które nie buduje mostów i kładek, tylko odpowiednio układa korzenie drzew i w rezultacie most sam wyrasta. A im drzewa się robią starsze, tym wytrzymalszy staje się most. Tolkien tak sobie wyobrażał technologię elfów – taką, która przekracza ludzkie możliwości.

– Czyli zamiast kontroli, perfekcjonizmu...

– W jakimś sensie natura jest bardziej perfekcyjna niż my, bo nie unika defektów. Ona z nich korzysta. A my robimy wszystko, by unikać przypadkowości. – A natura jak ją wykorzystuje? – Jak włożysz okruszek do macicy perłowej, to wokół niego zrobi się perła. My dopiero się uczymy tworzyć struktury, które są w stanie inkorporować błędy. Jest jeszcze jedna rzecz, jeśli chodzi o fraktale. Może najważniejsza. My, ludzie, jesteśmy przyzwyczajeni do rzeczy naturalnych. Wyrośliśmy przecież na sawannie, w lesie, na stepie. Dlatego to, co nas otacza w miastach – ulice, bloki z prostopadłościanów – nam się nie podoba. Niedawno widziałem niesamowity projekt kładki dla pieszych. Stanąć ma gdzieś w Chinach. Przypomina nieregularny, trochę fraktalny filament kostny. Tego typu konstrukcje są bardzo wytrzymałe, dużo lżejsze, tańsze i co najważniejsze – przecudownie piękne. Bo tak naprawdę najbardziej podoba się nam to, co fraktalne.

W Indiach jest plemię, które nie buduje mostów, tylko układa korzenie drzew tak, że most sam wyrasta

Chcesz o fraktalach wiedzieć więcej,

czytaj: Maria Isabela Binimelis „Nowy sposób widzenia świata.

Geometria fraktalna”, Fernando Corbalán „Złota proporcja.

Matematyczny język piękna”; dla zaawansowanych: Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens i Dietmar

Saupe „Granice chaosu. Fraktale”