LICZB RZECZYWISTYCH NIE MA, ZA TO MAMY WOLNĄ WOLĘ

Gazeta Wyborcza - - NAUKA -

Przy okazji mozolnego przenoszenia obfitych zasobów archiwalnych w pewnej firmie utyskujący na archaiczne nośniki danych (papier bezkwasowy ukryty w teczkach kwasoodpornych) pracownicy opowiadali sobie dykteryjkę z gatunku science fiction. Oto na Ziemię przylatują kosmici z misją archiwizacji naszej planety – zapisania wszelkich dostępnych informacji na temat Układu Słonecznego i wytworów cywilizacji na trzeciej planecie, licząc od strony gwiazdy. Zbierają więc dane, zamieniają je na postać cyfrową, a następnie zapisują w postaci jednej niezwykle długiej liczby. Przed tą liczbą stawiają zero i przecinek, otrzymując ułamek z przedziału od zera do jedności.

Następnie biorą stalowy pręcik jednostkowej długości i z niezwykłą precyzją grawerują na nim kreseczkę, zaznaczając miejsce rzeczonego ułamka na osi liczbowej. Zrobione. Koniec. Finito. Żadnych bibliotek, żadnych zwojów, żadnych dysków, a tym bardziej ton papieru, teczek i segregatorów.

Patyczek z kreseczką, a w nim wszystkie informacje wszystkich ziemskich bibliotek i przepastnych archiwów. Zbyt piękne, żeby mogło być prawdziwe?

Zgadza się. Ale właściwie dlaczego? Na przeszkodzie takiemu genialnemu – przyznajmy – sposobowi archiwizacji stoją same prawa natury. Wyobraźmy sobie, że zabieramy się do skrupulatnego wyżłobienia odpowiedniej kreseczki. Oczywiście dla precyzji działania potrzebne nam będzie najpierw szkło powiększające, a może nawet lupa, a w końcu nawet niezły mikroskop. Gdy dokładność, z którą chcemy wskazać punkt, rośnie, rośnie też powiększenie, w którym obserwujemy stalowy pręcik. W pewnym momencie uzyskujemy takie powiększenie, przy którym widoczna się staje atomowa struktura stali. Będziemy widzieć już nie lity materiał, ale poszczególne atomy, a potem jądra atomowe otoczone chmurą ruchliwych, rozedrganych elektronów. Nie sposób nawet wyobrazić sobie wyżłobienia pomiędzy nimi kreski – byłoby to jak robienie znaków na żywo płynącej rzece.

I właśnie dlatego, jak przekonuje Nicolas Gisin, profesor fizyki z Uniwersytetu w Genewie, zajmujący się teleportacją i kryptografią kwantową, liczby rzeczywiste nie są tak rzeczywiste, jak nam się wydaje. Czy też raczej matematyczne pojęcie liczby rzeczywistej nie ma rzeczywistej reprezentacji w rzeczywistym świecie.

Liczby opisujące nasz świat nie wypełniają wcale gęsto odcinków prostej, jak uczymy się w szkole, i nie mają ściśle określonej wartości. Są „rzeczywiste” tylko do pewnego miejsca po przecinku, a dalej tracą rzeczywiste znaczenie, rozmywają się, podobnie jak rozmywa się chmura prawdopodobieństwa zlokalizowania elektronu w danym punkcie. Ich początek jest określony całkiem dobrze, ale w pewnym momencie stają się coraz mniej realne, mniej ostre, mnie wyraziste, a ich „ogonki” poza którąś (tysięczną, milionową, bilionową?) pozycją przekształcają się w liczby całkowicie losowe. I bardzo dobrze, w końcu nie potrzebujemy nigdy znać niczego z tak absurdalną, nieskończoną dokładnością – ta przytłaczająca ilość informacji nie jest nam do niczego potrzebna.

W praktyce nigdy nie używa się całych liczb rzeczywistych, z wyjątkiem sytuacji, gdy dowodzi się pewne abstrakcyjne twierdzenia. Oczywiście niektóre liczby rzeczywiste zdają się istnieć całkiem realnie. Weźmy na przykład pierwiastek z dwóch. Co może w nim być nierzeczywistego? Konstruujemy kwadrat o boku jeden (natura zna multum takich kwadratów, te twory nie mają w sobie niczego podejrzanego). Przekątna takiego kwadratu ma długość pierwiastka z dwóch, a przekątna – przyznajcie – jest w pełni rzeczywistym elementem kwadratu.

Swoją drogą pierwiastek z dwóch był już raz jeden w historii powodem niezłej awantury wśród matematyków i filozofów na tyle poważnej, że prowadzącej do ofiar w ludziach. Otóż w starożytnej Grecji uważano, że wszystkie liczby wywodzą się od liczb naturalnych i mogą być z nich uzyskane poprzez dodawanie, odejmowanie, a także mnożenie i dzielenie. Innymi słowy, wyglądają albo jak liczby naturalne, albo jak ułamki. Pierwiastek z dwóch okazał się kłopotliwy z uwagi na to, że ułamkiem być nie chciał, tj. łatwo dawało się pokazać, że nie można dopasować takich m i n, żeby V2=m/n. Ci, którzy tę rzecz zauważyli, uznali ją za nadzwyczaj niefortunną. Postanowiono całą sprawę utrzymać w tajemnicy, gdyż wydawała się szkalować porządek świata. Pierwszego matematyka, który zauważył liczbowego dziwoląga, zgładzono. W nadziei, że zabierając ze sobą do grobu tajemnicę o niepokojącej niedoskonałości, zabierze wraz z tajemnicą także liczby tego rodzaju. Na próżno. Pierwiastek z dwóch istniał.

Czyżby dziś znowu próbowano podważać jego istnienie? Bynajmniej. Gisin, który neguje sens rozważania liczb rzeczywistych, pierwiastka z dwóch akurat nie kwestionuje.

– Taka liczba, choć nieskończenie długa, koduje bardzo niewiele informacji – ot, tyle, ile potrzeba, by zapisać twierdzenie Pitagorasa, które ją określa, albo by napisać program generujący tę liczbę z dowolną dokładnością – tłumaczy. To zaledwie kilka bitów. Tyle daje się zmieścić w jednym punkcie. Jednak tego typu liczby wśród liczb nazywanych rzeczywistymi są w znakomitej mniejszości (matematycy powiedzą, że ich zbiór ma miarę zero).

„Typowa” liczba rzeczywista zawiera ogromną, jeśli nie nieskończoną ilość informacji. To monstrum. Mogłaby zawierać wszystkie odpowiedzi na wszystkie możliwe zadane pytania zaszyfrowane w cyfrowej formie. Coś takiego nie ma prawa istnieć naprawdę, bo „w skończonej objętości przestrzeni nigdy nie możesz zmieścić nieskończonej ilości informacji”.

Kiedy pytam o to, dlaczego, i czy nie dałoby się upchnąć nieskończenie wiele informacji w nieskończenie małym miejscu, Gisin daje bardzo fizyczną intuicję paradoksu, do których może to prowadzić.

– Przechowywanie informacji kosztuje zawsze jakąś energię – wyjaśnia. Przechowanie bardzo wielkiego zestawu danych kosztuje zaś bardzo dużo energii, a jeśli próbować zmieścić to wszystko w jednym punkcie, nieuchronnie skończylibyśmy z czarną dziurą – twierdzi.

To dlatego po pierwszych kilku bitach kolejne bity związane z niemal wszystkimi liczbami rzeczywistymi są kompletnie losowe, nie odpowiada im żadna fizyczna struktura, rzeczywistość. Przypominają raczej wynik pomiarów kwantowych, tj. są w dużym stopniu przypadkowe.

Mechanika klasyczna oparta nie na nierealnych w istocie liczbach rzeczywistych, ale na liczbach „realnie losowych” (czyli z niedookreśloną końcówką), mogłaby być teorią niedeterministyczną, choć realnie rzecz biorąc, miałaby tę samą moc wyjaśniającą i przewidującą, co stosowana dotąd fizyka. W końcu nawet gdybyśmy byli w stanie wyliczać wszystko z dokładnością do miliardowego miejsca po przecinku, ze względów praktycznych byłoby to działanie całkowicie pozbawione sensu. Fizyka oparta na liczbach realnie losowych miałaby też jeszcze jedną głęboko filozoficzną wartość – przywróciłaby nam sens istnienia. Sukces astronomii newtonowskiej był w pewnym sensie intelektualną katastrofą: tworzył iluzję opisywalnego, wyliczalnego świata, który nie pozostawiał miejsca na poznanie i myślenie, działanie wynikające z wolnej woli. Biorąc pod uwagę odpowiednie równania i warunki panujące na świecie, zgodnie z fizyką klasyczną wszystko można w zasadzie obliczyć, a zatem z góry określić. Wszystko, co dzieje się dziś, jest bezpośrednim skutkiem tego, co wydarzyło się wczoraj, przedwczoraj i jeszcze dawniej, aż do Wielkiego Wybuchu. Nic istotnie nowego, czego się nie dałoby przewidzieć, nie może się zdarzyć. W deterministycznym Wszechświecie, w którym jedna rzecz prowadzi nieuchronnie do następnej, koncepcja wolnej woli jest niczym innym jak tylko złudą.

A bez wolnej woli pewności naukowych prawd staną się iluzoryczne. Potrzebujemy wolnej woli, by zdecydować, które argumenty uważamy za przekonujące, a które odrzucamy. Ten wybór jest istotą nauki. Tym bardziej na ironię zakrawa fakt, że newtonowskie dążenie do prawdy naukowej zabiło wolną wolę. Czyżbyśmy naprawdę byli zaprogramowani tak, by dokonywać wyborów, które odpowiadają z góry ustalonej, nieuchronnej przyszłości? – pyta Gisin. I od razu zastrzega: nie kupuję tego!

Dlatego proponuje, żeby do opisu świata używać liczb, które mają „zaszytą” w sobie pewną losowość, nieokreśloność (choćby i była ona ukryta za milionowym albo i miliardowym miejscem po przecinku).

Oznaczałoby to, że zachowania Wszechświata – i wszystkiego w nim – nie można z góry określić. Pozostawiłoby to miejsce na kreatywność – cieszy się Gisin. I na wolną wolę.

Newspapers in Polish

Newspapers from Poland

© PressReader. All rights reserved.