Monty “Bayes” Hall
La estadística es una de las ramas quizás menos intuitivas de las matemáticas. Por eso, suelen aparecer con frecuencia paradojas que atentan contra nuestra intuición. Sin duda, una de las más conocidas es la paradoja de Monty Hall, cuyo nombre se debe al productor y presentador del programa Let’s make a deal (Trato hecho), emitido por diversas televisiones norteamericanas desde 1963. Al final del concurso, para ganar el gran premio, se presentan al concursante tres puertas. Tras dos de ellas había sendas cabras, mientras que, tras la tercera, se encontraba el gran premio final: un coche. El concursante elige una puerta al azar y, entonces, el presentador abre una de las otras dos puertas y aparece una de las cabras. Así que le ofrece al concursante la posibilidad de cambiar de puerta. Intuitivamente, como ya ha aparecido una cabra, la probabilidad de que tras la puerta elegida inicialmente esté el coche es del 50 % (quedan solo dos opciones, una cabra y el coche), por lo que no parece que se vaya a ganar nada si cambiamos. Y, sin embargo, tal y como el gran matemático John von Neumann comprobó tras simular muchas veces el problema con ordenador (en lo que es una de las primeras apariciones de los métodos de Monte Carlo), la probabilidad de que el coche esté tras la otra puerta es de 2/3, Luego si el concursante quiere ganar el vehículo, conviene que cambie de puerta.
Hay muchas explicaciones de esta paradoja aparente, pero a mí me ha resultado muy esclarecedora la que utiliza el teorema de Bayes para resolverla. Así que, allá vamos. Vamos a llamar A al suceso “el concursante ha elegido la puerta del coche” y B al suceso “el presentador ha abierto una puerta con cabra”. Vamos a calcular P(A|B), es decir, la probabilidad de haber elegido la puerta del coche, sabiendo que el presentador ha abierto una puerta con cabra. Si nuestra intuición inicial fuese correcta, debería salirnos P(A|B) = 1/2, pero a ver qué nos dice Bayes.
La "probabilidad a priori" es P(A) = 1/3, pues de las tres puertas que hay, solo tras una de ellas está el coche. Por otro lado, si el concursante ha elegido inicialmente la puerta del coche, al presentador le da igual la puerta que vaya a abrir, pues tras las dos que quedan debe haber una cabra, por lo tanto, la verosimilitud será P(B|A) = 1.
Finalmente, ¿cuánto vale la probabilidad de que el presentador abra una puerta con cabra en cualquier circunstancia?
Así que, a pesar de las nuevas evidencias (que el presentador nos haya abierto una puerta con cabra), la probabilidad de que hayamos elegido la puerta con el coche sigue siendo 1/3. Por tanto, la probabilidad de que el coche esté en la puerta que no ha abierto el presentador es 2/3 y, si nos fiamos del señor Bayes, deberíamos cambiar de puerta para tener más opciones de ganar el premio.