Hoe wiskunde u kan helpen Monopoly te winnen
Met de hulp van een beetje wiskunde kunt u uw geluk bij Monopoly een handje helpen. Zonder te moeten valsspelen.
De Duitse wiskundige Jörg Bewersdorff berekende dat u wel vijf keer vaker in de gevangenis vertoeft dan op het minst bezochte vakje, ‘Antwerpen Meir’
Het lijkt paradoxaal, maar hoe vaker u met de dobbelstenen gooit, hoe minder geluk er nog mee gemoeid is
Monopoly is een vreselijk spel. Dat zeggen wij niet, maar alle spelliefhebbers samen. Van alle 19.307 gezelschapsspelen op de site Boardgamegeek scoren er maar zeven slechter, waaronder OxO en bingo. Maar als uw kinderen, vrienden of medebewoners in het rusthuis u tot een spelletje verleid hebben, kunt u maar beter proberen te winnen.
In Monopoly beslissen de dobbelstenen doorgaans voor u. Dus is het zaak om de beperkte keuzes die u wel krijgt, goed in te vullen.
U kunt eigendommen al dan niet kopen of ruilen met andere spelers, huizen bouwen en beïnvloeden hoe snel u de gevangenis verlaat.
Over die laatste keuze kunnen we relatief kort zijn. Vroeg in het spel betaalt u meteen, zodat u eigendommen kunt kopen. Tenzij u hoopt om met een dubbele worp een oranje stratenset te vervolledigen (zie verder). Laat in het spel geniet u zo lang mogelijk van een verblijf in de penitentiaire inrichting. Dat is gratis, in tegenstelling tot een bezoek aan een hotel van een tegenstrever.
Maar op welke serie straten mikt u het best, en hoeveel huizen bouwt u dan? Dat hangt af van hoe vaak het vakje bezocht wordt, hoe groot de investering is en wat die kan opbrengen.
Met Markov op stap
Er zijn veertig vakjes op het bord, maar de kans op een bezoek is niet voor elk vakje een op de veertig. In het spel zitten immers twee stapels met kanskaarten. Die bieden, althans voor de meeste lezers, de enige kans om ooit tweede te worden in een Ze kunnen ook doorverwijzen naar andere vakjes, bijvoorbeeld de gevangenis, het startvakje of de duurste, donkerblauwe straat. En ook na drie dubbele worpen of een bezoek aan het vakje ‘naar de gevangenis’ belandt u in de nor. Dat maakt dat u tijdens het hele spel het vaakst in de gevangenis zit. De Duitse wiskundige Jörg Bewersdorff berekende dat u er wel vijf keer vaker vertoeft dan op het minst bezochte vakje. Dat is het eerste donkerblauwe vakje, in onze versie ‘Antwerpen Meir’.
De meest bezochte stratenset is de oranje. Wie in de gevangenis zit, moet er immers ooit wel eens uit. Met twee dobbelstenen gooit u het vaakst een zeven, gevolgd door een zes en een acht. Met die laatste twee worpen doet u telkens een oranje straat aan. Een worp later heeft u de grootste kans om de derde rode straat te bezoeken. Dat is het meest bezochte eigendom van het spel.
Om die kansen te berekenen volgen wiskundigen twee strategieën. Een computer kan het spel duizenden keren spelen met zogenaamde Monte Carlo-simulaties. Je kan het ook theoretisch berekenen aan de hand van ‘Markovketens’, genoemd naar de Russische wiskundige Andrej Markov. Voor elk vakje ga je na hoe groot de kans is om daarna op elk van de veertig vakjes terecht te komen. De resulterende Markovmatrix laat toe om voor elk vakje te berekenen hoe groot de kans is op een bezoekje na een bepaald aantal worpen.
Die kansen veranderen over het spel: na drie worpen is het zo goed als onmogelijk om op de Meir te landen. ‘Maar de kansen zijn verrassend snel stabiel’, zegt Benjamin Bernard (National Taiwan University), die gespecialiseerd is in speltheorie en als zijproject de Monopoly-berekening met Markovketens maakte. ‘Na dertig worpen wijzigt de kansverdeling nog nauwelijks.’ Het lijkt paradoxaal, maar hoe vaker u met de dobbelstenen gooit, hoe minder geluk er nog mee gemoeid is.
Oranje boven
Met de kansen alleen bent u nog niet zoveel. Om te weten of een investering rendeert, moet u ook naar de aanschafwaarde, de bouwkosten en de huur kijken. Die zijn voor elke eigendom verschillend.
Gezien uw Monopoly-budget beperkt is, en u verliest als u onvoldoende cash hebt, kiest u vroeg in het spel best voor investeringen die u snel terugverdient. Dat lukt nergens sneller dan met drie huizen op elke oranje straat, blijkt uit berekeningen van wiskundigen Hannah Fry en Thomas Evans. Het zit er drie keer goed: de kostprijs om huizen te zetten is laag, de kans op een bezoek is groot en de huuropbrengschoonheidswedstrijd. sten relatief hoog.
Voor zo goed als elke kleur geldt dat drie huizen zich het snelst terugverdienen. Al is bij de goedkopere straten een hotel ook een verstandige optie. Bij de duurdere duurt het héél lang voor het vierde huis of een hotel begint te renderen – waarschijnlijk is het spel dan al voorbij.
Een snelle terugverdientijd is belangrijk in het begin van het spel, stipt Bernard aan. Maar later in het spel weegt het maximale verwachte inkomen meer door. Hoe groot die per eigendom is, hangt sterk af van hoelang het spel duurt. Bij lange spelletjes geeft de groene stratenset de hoogste totale opbrengst, gevolgd door de gele en de rode. Bij kortere spellen zijn dat de oranje en lichtblauwe straten. Hoelang het spel duurt, hangt vooral af van het aantal spelers: hoe meer, hoe langer.
Uit alle berekeningen valt, afhankelijk van het aantal spelers, een strategie te distilleren die uw kansen vergroot op een overwinning – al blijft het een geluksspel.
Speelt u met twee, dan gaat u best voor
de oranje of de lichtblauwe straten, berekenden Fry en Evans. Met drie of vier maakt u de grootste kans met oranje en rood. Vanaf vier spelers worden ook groen en geel interessant. Maar omdat dit een grotere investering is met een langere terugverdientijd, investeert u vroeg in het spel beter in goedkopere straten. Of in de vier stations: ook daarmee maak je vanaf drie spelers relatief snel winst. Maar net als in het echte leven zal je met de spoorwegen nooit rijk worden. Voor de nutsbedrijven geldt het omgekeerde: in tegenstelling tot in het echte leven zijn die monopolies waardeloos. Dat geldt ook voor alle straten die u koopt maar waar u nooit huizen op zet, behalve dan om te verhinderen dat uw tegenstrevers er huizen op zetten.
Goede ruil
Die inzichten kunt u slim aanwenden om met medespelers die dit artikel niet gelezen hebben een goede ruil te doen. Bijvoorbeeld door vroeg in het spel schijnbaar genereus een dure donkerblauwe kaart op te geven om een oranje of lichtblauwe stratenset te vervolledigen.
Blijft nog één belangrijke vraag over: maakt deze kennis u ook gelukkiger? Wordt het plezanter om Monopoly te spelen? ‘Het hangt ervan af’, zegt Bernard. ‘Als ik met twee speel, en de tegenstrever heeft de oranje en lichtblauwe stratenset veroverd, dan geef ik het intern al op. De kans om het nog te halen is erg klein. Maar als ik een dure blauwe straat kan ruilen voor een oranje straat en zelfs nog een som geld toe krijg? Dan is het plezierig om te zien dat ik dankzij de wiskunde gewonnen heb.’