A matemática da tabela periódica
Equação de Schrödinger, que descreve o movimento dos elétrons, explica a estrutura da tabela
A tabela periódica contém dois elementos na primeira linha, oito na segunda e na terceira, 18 na quarta e na quinta e 32 na sexta e na sétima. Apontei semana passada que 2, 8, 18 e 32 são os dobros dos quadrados perfeitos 1, 4, 9, 16. De onde vêm esses números? Para explicar, comecemos por um problema mais familiar.
Quando agitamos uma corda solta, ela pode se mover de muitas maneiras diferentes. Mas se as pontas estão presas, como num violão, por exemplo, há muito menos movimentos possíveis, a ponto de que eles podem ser listados.
Há o movimento básico, com uma única “barriga” vibrando para cima e para baixo. Duas barrigas que se movem alternadamente em direções opostas, com o ponto médio da corda parado. Três barrigas alternadas, separadas por dois pontos parados. E assim por diante (as notas de um violão de verdade são combinações destes movimentos).
Fenômenos oscilatórios, como o movimento da corda, são descritos pela equação de onda, formulada por Jean D’Alembert (1717–1783) em 1746. A teoria de Sturm–Liouville, iniciada por Jacques Sturm (1803 – 1855) e Joseph Liouville (1809 – 1882) na década de 1830, e que continua sendo pesquisada nos nossos dias, mostra que as soluções sujeitas a condições de contorno (por exemplo, que as pontas estão presas) podem ser listadas usando números inteiros.
Nos modelos quânticos do átomo, o movimento de elétrons em torno do núcleo é descrito por outra equação, a equação de Schrödinger, mas boa parte da teoria matemática continua valendo. E o fato de que a órbita de cada elétron tem que “fechar” quando ele dá uma volta ao núcleo, é uma condição de contorno.
Ainda me lembro da fascinação de quando aprendi a resolver esse problema, na faculdade. As soluções podem ser enumeradas usando três números inteiros: o número principal n toma os valores 1, 2, 3…; o momento angular l varia de 0 a n-1; e o momento magnético varia entre -l e +l. Isso dá que para cada n existem n² soluções.
À medida que o número atômico (número de elétrons) vai aumentando, as soluções vão sendo preenchidas em ordem crescente da energia. Há outro número quântico, o spin, com valores -½ e +½, que permite que em cada solução caibam até dois elétrons.
Ora, as propriedades químicas de um elemento dependem sobretudo da estrutura de seus elétrons. E é assim que, com um pouco mais de trabalho, a matemática da equação de Schrödinger explica a estrutura da tabela periódica.