Une tablette d’argile pourrait inspirer les informaticiens
Une équipe australienne propose une nouvelle hypothèse sur une tablette d’argile vieille de 3800 ans qui offre un tableau de correspondances entre les côtés de triangles rectangles
Une tablette d’argile paléobabylonienne vieille d’environ 4000 ans pourrait inspirer les informaticiens d’aujourd’hui, avancent des mathématiciens australiens qui, dans une publication récente, soulignent le niveau d’avancement des mathématiques de ce peuple de Mésopotamie, qui intègrent déjà les principes du théorème que Pythagore a élaboré 1000 ans plus tard.
Plimpton 322 est une petite tablette d’argile écrite vers 1800 av. J.-C. et qui, depuis 1945, ne cesse de fasciner les mathématiciens, et particulièrement les informaticiens, en raison notamment des algorithmes que les scribes de l’époque ont dû mettre au point pour générer cette table de nombres en base 60.
Dans un article paru récemment dans la revue Historia Mathematica, Daniel F. Mansfield et Norman J. Wildberger de la School of Mathematics and Statistics de la University of New South Wales à Sydney, en Australie, proposent une nouvelle interprétation de l’usage qu’ont pu faire les scribes babyloniens de ce texte mathématique. Pour ces deux chercheurs, la tablette Plimpton 322 ser vait de table trigonométrique. Qui plus est, elle constituerait «la table trigonométrique la plus ancienne et la plus précise jamais découverte». Cette tablette viendrait donc coiffer au poteau, par 1500 ans d’avance, l’astronome et mathématicien grec Hipparque (IIe siècle av. J.C.), considéré jusqu’ici comme le père de la trigonométrie, cette branche des mathématiques qui traite des relations entre les mesures des angles dans les triangles rectangles et les longueurs de leurs côtés? Si tel est le cas, il s’agit plutôt d’une table de «prototrigonométrie, mais sans angles», et donc sans sinus, sans cosinus et sans tangente, précise la chercheuse au Centre national de la recherche scientifique (CNRS) et à l’Université Paris Diderot, Christine Proust, qui a beaucoup travaillé sur la tablette Plimpton 322. « Il n’y a aucune notion d’angle dans ce texte-là ni de façon générale dans les mathématiques de cette époque-là », dit-elle.
Mansfield reconnaît que «l’approche peut paraître plus simple [qu’une table trigonométrique classique] parce qu’il n’y a pas d’angles», mais il fait valoir que la tablette P322 est encore plus précise que la table trigonométrique élaborée 3000 ans plus tard par le mathématicien indien Madhava de Sangamagrama (1350-1425), et ce, en grande partie parce qu’elle est en numération sexagésimale (en base 60) et non en numération décimale (en base 10) comme nous utilisons aujourd’hui. «Le système sexagésimal est plus approprié que notre système décimal pour arriver à faire des calculs exacts», soulignent Mansfield et Wildberger dans leur article.
Que contient au juste la tablette P322?
Le texte mathématique qui apparaît sur la tablette P322 concerne des triangles rectangles dont la longueur, la largeur et la diagonale (l’hypoténuse) sont exprimées par des nombres sexagésimaux, c’est-à-dire qui sont écrits avec un nombre fini de chiffres en base 60. De plus, les dimensions de ces triangles vérifient la relation de Pythagore, ce philosophe grec qui vécut au Ve siècle av. J.-C., soit plus de 1000 ans plus tard, et qui énonça un théorème selon lequel le carré de l’hypoténuse, qui est le côté opposé à l’angle droit, est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Qui plus est, les nombres inscrits sur chaque ligne de la tablette représentent des
triplets pythagoriciens, c’est-àdire les longueurs des trois côtés de triangles rectangles dont les valeurs sont des nombres entiers. Par exemple, 3, 4 et 5 représentent un triplet pythagoricien, car 32 + 42 = 52. « On voit dans cette tablette et dans d’autres que les scribes babyloniens maîtrisaient parfaitement les principes de la propriété de Pythagore. Ils ont des procédures qui montrent qu’ils sont absolument sûrs de la validité de cette relation. C’est clair que Pythagore ne fut pas le premier ! ajoute Mme Proust. Depuis les années 1940, on sait qu’en Mésopotamie, ils avaient des pratiques mathématiques très élaborées, très sophistiquées et qui, par certains égards, dépassent celles des Grecs. Ils ont aussi une parfaite maîtrise de la propriété de Thalès, qui permet les agrandissements et les réductions de figures. Ils étaient des virtuoses de ce qu’on appelle les homothéties.»
Mais plus précisément, les nombres de la première colonne de gauche font référence à des triangles dont le carré d’un des deux côtés de l’angle droit vaut 1 et dont on précise la valeur de l’hypoténuse au carré, ce qui permet, en soustrayant 1 au carré de l’hypoténuse, d’obtenir le carré de la longueur du troisième côté. Et si on calcule la racine carrée de ces trois nombres, on obtient les dimensions des trois côtés du triangle, lesquelles correspondent à des nombres entiers. La tablette présente ainsi 15 triplets pythagoriciens dont certains contiennent des nombres de très grande taille.
«Le tour de force de ce texte mathématique est la liste des triplets qu’il contient et qui, d’un certain point de vue, peut être considérée comme exhaustive. La grande question est: comment ces nombres dotés d’une propriété aussi remarquable ont-ils été générés?» lance Christine Proust. Quel procédé algorithmique le scribe sumérien qui a créé cette table a-t-il utilisé? Le Suédois Jöran Friberg a percé ce mystère en étudiant d’autres tablettes mathématiques de la même époque. Il a ainsi découvert l’algorithme qui a permis de produire tous ces nombres. Il explique sa démarche dans un article paru en 2015.
La tablette ne comporte que 15 triplets pythagoriciens qui figurent sur la face de la tablette. Mais «les traits qui séparent les colonnes se continuent sur la tranche et sur tout le revers de la tablette. Les colonnes étaient donc clairement destinées à être entièrement remplies face et revers, mais visiblement le travail a été interrompu, fait remarquer Mme Proust. Si on évalue le nombre de triplets pouvant remplir l’espace qui, visiblement, était destiné à les recevoir, il aurait dû y en avoir 38. Or, c’est précisément les 38 entrées qu’on trouve en utilisant un petit algorithme qui pouvait avoir été fabriqué par les scribes anciens.»
«Ils n’avaient pas les mêmes méthodes que nous, forcément. Quand on veut aujourd’hui fabriquer les triplets pythagoriciens, on utilise des formules algébriques, ce qui est une méthode propre à l’époque moderne. L’algèbre, le calcul avec des inconnus et toute la formalisation de calcul consistant à poser des équations avec des inconnus n’avaient pas encore été inventés. D’une certaine façon, les Babyloniens pratiquaient l’algèbre mais sans formule, sans lettres», poursuit-elle.
Une source d’inspiration pour les informaticiens
Les procédures que les Babyloniens utilisaient sont essentiellement algorithmiques, et c’est une des raisons pour laquelle, d’ailleurs, ce sont des mathématiques qui intéressent beaucoup les informaticiens, dont notamment Donald Knuth, l’inventeur de LaTeX, qui y a vu une grosse puissance de calcul. «Les mathématiciens babyloniens étaient experts dans la résolution de plusieurs types d’équations algébriques, même s’ils ne disposaient pas de notation algébrique aussi claire et évidente que la nôtre. Ils représentaient chaque formule par une liste de règles à appliquer étape par étape, soit par un algorithme permettant de calculer cette formule. En réalité, ils travaillaient avec une représentation en langage machine plutôt qu’avec un langage symbolique. Les calculs décrits sur les tablettes babyloniennes sont à vrai dire les procédures générales pour résoudre une classe complète de problèmes. Et ces procédures sont de véritables algorithmes », écrit-il dans un article publié en 1972.
«Ce qui intéresse un informaticien est la performance d’un algorithme », souligne Christiane Rousseau, professeure au Département de mathématiques et de statistique de l’Université de Montréal. «Quand il cherche une valeur approchée, il veut que la machine prenne le moins de temps possible et utilise le moins de mémoire possible pour le faire. Les algorithmes qui demandent moins de calculs sont donc les plus intéressants. Les informaticiens pourraient donc vouloir savoir pourquoi les scribes babyloniens qui ont rédigé la tablette P322 ont choisi cette procédure plutôt qu’une autre. »
À quoi cette table a-t-elle réellement servi?
Mansfield et Wildberger proposent qu’elle a pu servir de table trigonométrique pour résoudre le triangle rectangle — calculer le côté manquant si on en connaît deux — avec une très bonne approximation grâce notamment à l’utilisation du système de numération sexagésimale, et ce, dans des travaux d’architecture et d’arpentage, par exemple. «C’est une théorie qui est mathématiquement plausible, mais historiquement non fondée, c’est-à-dire qu’il n’y a aucun texte qui, à ma connaissance, permet de dire que cette tablette a été utilisée à un moment ou à un autre pour résoudre le triangle rectangle », affirme Christine Proust, qui trouve néanmoins cette hypothèse intéressante. « On ne peut avoir de réponse exacte que dans certains cas où les trois côtés sont des nombres entiers. Dans la vie réelle, la plupart du temps, ce n’est pas le cas. On trouve le troisième côté en faisant des approximations. Or, les deux Australiens expliquent qu’on peut utiliser cette table Plimpton pour faire des approximations en encadrant un triangle quelconque par deux triangles entiers de la tablette. Pour faire cette opération, on a besoin de faire des divisions. Le problème est que les divisions en
base 10 généralement ne tombent pas juste, alors qu’en base 60, il y en a beaucoup plus qui tombent juste. Quand on parle d’un tiers d’heure, c’est 20 minutes, alors qu’en base 10, quand on veut mesurer un tiers de litre, ça fait 0,333… et ce n’est pas juste. C’est là l’avantage de la base 60. Et du coup, ça permet de meilleures approximations », explique-t-elle avant de rappeler que notre système de mesure du temps en heures, minutes et secondes, ainsi que des angles est un vestige du système sexagésimal qu’employaient les Paléo-Babyloniens il y a 3800 ans.
Selon la théorie la plus répandue, la tablette P322 présente des triplets pythagoriciens qui permettaient de fabriquer des exercices pour l’enseignement. « C’est une théorie qui ne tient pas pour la simple
et unique raison que personne n’a trouvé les exercices en question», tranche Mme Proust.
Une autre théorie est celle d’Otto Neugebauer, que Christine Proust et ses collègues Britton et Schnider partagent. «Il s’agit tout simplement de la solution à un problème d’arithmétique indéterminé. Il y a un problème qui est posé: trouver tous les triangles rectangles dont la longueur, la largeur et la diagonale sont des nombres entiers, et la table est la solution puisqu’elle expose la liste de toutes les réponses possibles, compte tenu d’un certain nombre de contraintes qui sont liées à leur méthode de calcul à l’époque. En plus, c’est une solution extraordinairement puissante et ingénieuse», affirme Christine Proust.