船舶碰撞机理三维解析法实现及恢复系数研究

1，2，胡志强 1，2刘俊峰1 200240上海交通大学 海洋工程国家重点实验室，上海2 200240高新船舶与深海开发装备协同创新中心，上海

摘为此，运用要：［目的］采用解析方法分析船舶碰撞动力特性较为快速和准确，其中外部动力学分析十分重要。［方法］MATLAB程序实现船舶碰撞外部机理三维简化解析方法，计算两艘船舶碰撞的动能损失，并与二维解析方法的计算结果进行比对。在实现船舶碰撞动能损失快速计算解析方法的基础上，讨论碰撞高度、角度和位置对动能损失的影响。此外，还研究碰撞场景对保守恢复系数的影响和保守恢复系数对动能损失的影响。［结果］结果表明：三维解析方法得到的动能损失小于二维解析方法，碰撞高度对于动能损失有明显的影响；简90°的场景，恢复系数简单地取0化解析方法中，对于碰撞角度大于 并不安全。［结论］在今后的外部动力学分析

中，为了使动能损失的计算值更加准确，可以使用三维解析方法代替二维解析方法。关键词：船舶碰撞；外部动力学；三维解析法；能量耗散；恢复系数中图分类号：U661.43 文献标志码：A DOI：10.3969/j.issn.1673-3185.2017.02.011

3D analytical method for the external dynamics of ship collisions and investigation of the coefficient of restitution LIU Junfeng1，2，HU Zhiqiang1，2

1 State Key Laboratory of Ocean Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China 2 Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration，Shanghai 200240，China Abstract：The analytical method for predicting the dynamic responses of a ship in a collision scenario features speed and accuracy，and the external dynamics constitute an important part. A 3D simplified analytical method is implemented by MATLAB and used to calculate the energy dissipation of ship-ship collisions. The results obtained by the proposed method are then compared with those of a 2D simplified analytical method. The total dissipated energy can be obtained through the proposed analytical method， and the influence of the collision heights，angles and locations on the dissipated energy is discussed on that basis. Furthermore， the effects of restitution on the conservative coefficients and the effects of conservative coefficients on energy dissipation are discussed. It is concluded that the proposed 3D analysis yields a lesser energy dissipation than that of the 2D analysis，and the collision height has a significant influence on the dissipated energy. In using the proposed simplified method，it is not safe to simplify the conservative coefficient as zero when the collision angle is greater than 90 degrees. In the future research, to get more accurate energy dissipation, it is a good way to adopt the 3D simplified analytical method instead of the 2D method. Key words：ship collisions；external dynamics；3D analytical method；energy dissipation；restitution coefficient

0引言

船舶碰撞是一个高度非线性过程，为分析其碰撞过程，碰撞机理常被分为外部动力学和内部究［1］。动力学两个独立的过程来开展研 外部动力学主要利用刚体运动理论，分析撞击船和被撞船的运动姿态，以及碰撞过程中的能量损耗。内部动力学主要利用弹塑性力学理论解决撞击船和被撞船的结构变形阻力、变形能耗散和结构损伤等问题。船舶碰撞会产生灾难性的后果，因此很多学者开展了船舶碰撞研究。在外部动力学的研究中，Minorsky［2］开展了开创性研究，假设被撞船发生完全塑性变形，利用动量守恒定律，将周围附连水的影响视为附加质量且碰撞过程中不变化，从Pedersen 等［3］提而估计船舶碰撞中的动能损失。出了船舶碰撞的冲击动力学模型，通过积分各方向上的接触力和相对位移，获得各方向上的能量耗散和冲量变化值。但是该模型仅适用于二维平面空间，并且由于方程建立在总体坐标系下，比较Stronge［4复杂，较难推广到三维空间。 ］提出了三维碰撞解决方案，但是该模型仅涉及碰撞物体的Stronge［4速度和加速度求解。在 ］的研究基础之上，Liu等［5］提出了船舶碰撞的三维动力学模型，求得各方向上的能量损耗和冲量变化值。该研究方法的主要特点是所有的方程都建立在局部坐标系中，并且可以得到该局部坐标系下沿着每个坐标轴能量耗散值的封闭解。另一方面，部分学者为了真实地模拟船舶碰撞过程，从时域上来研究Petersen［6碰撞能量的耗散过程。 ］提出了一种时域上解析二维船舶碰撞外部动力学的方法，基于4船舶的水平面运动方程，将被撞船舷侧简化为个非线性的弹簧，采用时间上数值积分，得到船舶碰撞中船舶的运动响应、动能损失和破损深度。Tabri等［7-9］针对船舶的碰撞过程，结合实船实验和模型实验数据，以船舶操纵模型为基础，提出一种Yu 等［10］应用解析船舶碰撞中船舶运动的方法。LS_DYNA显式非线性有限元软件 的计算模块，通LS_DYNA过子程序添加水动力以及通过 计算碰撞力，提出了一种耦合外部动力学和内部动力学的方法。Lützen 等［11 ］利用超在内部动力学的研究中，单元法估算船舶碰撞中的变形阻力和能量耗散，考虑了舷侧结构和船艏形状的影响。Kitamura［12］ FEM利用 讨论了很多简化解析方法中忽略的问题，包括船体梁横向弯曲、等效失效应变、被撞船 Haris 等［13］提的前进速度和碰撞角度。 出一种简化解析方法，能够快速估算船舶碰撞中的损伤和LS_DYNA能量耗散，并用 的数值结果进行了验证。Sun等［14］提出的简化方法则能够分别估算舷侧外板、骨材和桁材的变形阻力和能量耗散，从而得到整个舷侧结构的变形阻力和能量耗散。在外部动力学简化解析方法中，恢复系数对碰撞能的大小有直接影响，但目前缺少详细研究Pedersen等［3］提出了快速估算二维船舶碰成果。撞能量损失和碰撞冲量的方法，该方法有封闭解。在其研究中 ，恢复系数 e 取值范围为0；对于0 e  1。对于完全塑性碰撞，恢复系数取1；但是，关于恢复系完全弹性碰撞，恢复系数取数的选取方法，并没有给出详细解释。Liu等［5］提出了船舶碰撞外部动力学的三维模型，并将之用于计算船—冰碰撞的作用力，也没有对恢复系数0的选取进行深入讨论，只是取 计算。恢复系数是外部动力学模型中很重要的参数，决定了两船之间的相对速度在碰撞前后的大小关系。一般认0，则为，如果恢复系数取为 撞击船碰撞之后不会被被撞船舷侧反弹，此时应变能最大，动能损失最1，则多，偏于保守。如果取恢复系数为 撞击船会被弹开，此时动能损失最少，偏于危险。在不了解恢复系数的情况下，可以简单地取恢复系数为0。但实际上，取恢复系数为0并不是保守的，对于不同的碰撞场景，保守恢复系数（这里，定义为使动能损失最大的恢复系数，且取值范围0 e  1）不同。MATLAB本文将用 程序实现船舶碰撞外部动力学三维简化解析方法，讨论碰撞高度、角度和位置对碰撞能的影响。此外，还将讨论碰撞场景对于恢复系数的影响，并将用保守恢复系数计算得出的新的碰撞能（即碰撞过程中的动能损失）与恢0复系数取 所对应的碰撞能进行比较。

1 外部动力学三维解析方法 1.1 坐标系统

总体坐标系（固定坐标系）与局部坐标系的定1义如图 所示，总体坐标系为惯性系，原点位于船舶重心，采用右手坐标系，X轴沿船艏方向，Z轴向C 3上。局部坐标系原点位于碰撞点 处，其 个相互垂直的单位向量分别记为 n1 ，n 和 n3 。向量2 n1 和 n 位于碰撞切平面处，向量 n3 垂直于该切2平面。为了后面阐述的方便，还引入连体坐标系，初始时与总体坐标系重合。

1.2 船舶碰撞运动方程

船舶碰撞的过程中，船舶被视为刚体，因此，可以使用牛顿—欧拉方程来描述刚体的运动。刚体一般运动的牛顿—欧拉方程为： M dv + Mω ´ v =F （1） dt J dω +ω ´ Jω =G （2） dt式中： ω 为刚体的在局部坐标系下的角速度向量；v为刚体在局部坐标系下重心处的速度向量； M 为局部坐标系下的质量矩阵；F 为局部坐标系下的力向量； J 为局部坐标系下的转动惯量矩阵；G 为力矩向量。在碰撞中，通过考虑质量矩阵和转动惯量矩阵中的附加质量和附加惯量，来简化水动力对碰撞过程的影响。式（1）和式（2）具有非线性，不方便求解。假定碰撞时间很短，则 Mω ´ v 和ω ´ Jω 这两项为小量，得到线性式（3）和式（4）： Mdv = Fdt （3） Jdω =r ´ Fdt （4）式中，r表示从重心到碰撞点处的位置矢量。使用符号′区分撞击船和被撞船，带′ 的物理量表示撞击船的物理量，否则表示被撞船的物理C量。碰撞过程中，假定碰撞点 处的碰撞力不变，两船的冲量 dPi 和 dP ′ 表达式为： i 5 dPi = Fi dt （ ） （6） dP ′i = F ′i dt

则船舶的运动方程张量形式为：

（7） M dV = dPi ij j （8） M ′ dV ′j = dP ′i ij （9） Iij dω = εijk r dPk j j （10） I ′ij dω′j = εijk r′j dP ′k式（7）~式（10）中：重复出现的下标表示求和，εijk表示置换矩阵，当其下标为顺时针排列时值为+1， -1 0；逆时针排列值为 ，有重复下标时值为 M ij M ′ij Iij I ′ij 分别表示两艘船局部坐标系下的质量矩阵和惯量矩阵；r j r′j 分别表示两艘船从各自重心到碰撞点处的位置矢量；V j V ′j 表示重心

处的速度。上面得到的式（7）~式（10）与Stronge［4］提出的Liu等［5］同样的求三维碰撞模型一致，可以采取与解过程。

2 算例分析

MATLAB采用 软件编制程序，实现船舶碰撞外部动力学的三维简化解析方法，得到船舶碰撞中的动能损失。

2.1 碰撞场景

15本文借用文献［ ］的算例。两艘供应船向前4.5 m/s，两艘船的船长82.5 m，船的航行速度均为18.8 m，吃水 7.6 m，排 4 000 t宽 水量 。X和Y方向0.05 0.85，艏摇的上的附加质量系数分别取为 和1。惯性半径取为对应船附加转动惯量系数取为0.25。为与算例的结果进行对比，两艘船之长的 0.6。间的摩擦力系数 μ0 取值与算例相同，取为分析不同碰撞位置对碰撞结果的影响，选24取被撞船从船艏到船艉的 个点为碰撞点，在1 XYZ总体坐标系下位置坐标如表 所示，其中 α为水线角，表征被撞船水线的曲率。撞击船的碰2撞位置选取为撞击船船艏，如图 所示。并且，为考虑不同碰撞角 θ 对碰撞结果的影响，θ 值分别30°，60°，90°，120°和 150°。取为在本文的算例中，选取上述的两艘供应船为分析对象，附加质量、惯量系数和回转半径均通过［16］经验公式 求得。在二维碰撞中，忽略了垂向的A B影响，即假定被撞船 和撞击船 碰撞点垂向坐0，因此计算结果中只有垂荡、横标 Zc 和 Z ′c 均为荡和艏摇运动。三维碰撞要考虑碰撞点垂向高度A的影响，碰撞点在被撞船 处的垂向坐标 Zc 变化0~1R A范围为 xx，Rxx为被撞船 横摇运动的回转半径，该范围是根据船舶重心的垂向坐标为吃水的A上一半这一假定得到的。计算中，假定被撞船0，0.25Rxx，0.5Rxx，碰撞点的垂向坐标 Zc 分别为0.75Rxx 1Rxx，撞击船 B和 上碰撞点的垂向坐标 Z ′c 0.5R′xx。被撞船 A为 上碰撞点在总体坐标系下的B坐标 X 和 Yc 及撞击船 上碰撞点的坐标 X ′c 和c Y ′c 和二维碰撞场景下相同。两艘船舶碰撞角度30°，60°，90°，120°和 150°。因此，总共有分别为120个碰撞点位置，600个碰撞场景。

2.2 结果分析

600计算求得 个碰撞场景下的碰撞能量损耗率（动能损失和初始动能之比），并绘制指定碰撞角度 θ 和垂向碰撞位置场景下的碰撞能量损耗率3）。随碰撞点沿船长方向位置变化的曲线（图3（a）~图 3（e由图 ）可以看出，碰撞点高度对于碰撞能量损耗率有较大的影响。当碰撞点的X 和 Yc 坐标确定，碰撞角度给定时，碰撞能量损c耗率随着碰撞点高度 Zc 的增大而减少，特别是发生船舯碰撞时，该现象更加明显。这是由于 Zc 越大诱导产生的横摇运动越大，从而动能损失越小，即碰撞能量损耗率越大。相同的碰撞高度，碰撞点靠近船艏或船艉时，会引起强烈的艏摇和横摇运动；当碰撞点在船舯时，由碰撞高度导致的横摇 运动占主要部分，艏摇运动较小。因而，在船舯碰3（a）~图 3（e）撞时，碰撞高度的影响较为明显。图献［15］的二维计算结果。可以看出，还给出了文三维解析方法得到的碰撞能量小于二维解析方0法。当碰撞高度等于 时，三维方法得到的结果与二维方法基本接近。3（f）中可以看出，碰撞角度和碰撞点位从图置对于碰撞能量损耗率的影响也较为明显。当碰0°~120°时，碰撞能量损耗率随碰撞角度撞角度为 120°~150°，碰撞能的增加而增加；当碰撞角度为量随碰撞角度增加而降低。因为，碰撞角度增加

到一定数值时，两艘船发生相对运动，使得动能损120°和150°时，被撞船失减少。此外，碰撞角度为A艏部碰撞时碰撞能量明显大于船艉碰撞所对应的能量，并且碰撞角度越大，艏部碰撞时碰撞能量A增加得越明显。原因是被撞船 艏部的曲率不为0，使得碰撞接近于相向碰撞。

3 恢复系数的影响

恢复系数的大小可能与两艘船各自的特性（舷侧结构、船长、船宽、吃水和船型等）和碰撞场景参数（被撞船速度、撞击船速度、碰撞角度和碰撞位置）有关。本节将讨论碰撞场景和两艘船各自的特性对保守恢复系数的影响，以及保守恢复系数对碰撞能的影响。

3.1 碰撞场景和两艘船的特性对保守恢复系数的影响

为研究碰撞场景对保守恢复系数的影响，保持其他量不变，分别调整被撞船速度、撞击船速度、碰撞角度和碰撞位置，得到不同的动能损失— 4~图7所示。图中的标注“x”恢复系数曲线，如图所在的点表示曲线的最高点，其横坐标对应于保守恢复系数。图的题目中，v_stru代表被撞船的速度，v_stri代表撞击船的速度。

4 90°从图 可以看出，对于碰撞角小于 的情0况，在恢复系数等于 时，动能损失最大。因为恢复系数越小，则被撞船的内能（即应变能）恢复为动能的部分就越小，动能损失越大。对于碰撞角90°的情况，如碰撞角为120°和 150°，在大于 恢复0系数等于 处，却没有取得最大值。这是由于动能损失由摩擦能（切向力做功）和内能（法向力做60°和 120°功）构成。为验证这一解释，分别计算时相应的摩擦能和内能。8 9可以看出，60°时，摩擦能明显小从图 和图 90°，撞于内能，因为碰撞角小于 击船速度方向与被撞船速度方向成锐角，沿着接触面的切向力的相对滑动距离短，摩擦力做功小，故动能损失的变120°时，摩擦能与内能大化与内能的变化一致。 90°，沿着小相当，甚至大于内能，因为碰撞角大于接触面的切向力的相对滑动距离大，摩擦力做功大，此时动能损失变化与内能变化不一致。由5~图7图 可知，碰撞位置、被撞船速度和撞击船速度对于保守恢复系数的选取也有影响。 除了碰撞场景，两艘船各自的特性（船长、船宽、吃水、排水量和方形系数等）对于保守恢复系数的影响，可以采用类似的方法得到。经过研究发现，两艘船各自的特性对于保守恢复系数影响很小，这是因为恢复系数的影响决定于摩擦能和内能的相对大小，摩擦能主要与相对滑动距离有关，而两艘船各自的特性对滑动距离的影响可以忽略。

3.2 保守恢复系数对碰撞能的影响

为具体分析保守恢复系数对碰撞结果的影Zxx=0.5Rxx，Z′c=0.5R′c，分别求得两种航速情响，取 10况下的碰撞能量损耗率。计算过程如图 所

示。计算程序分为主程序和子程序，主程序计算碰撞场景下的动能损失，子程序计算具体碰撞场

景下的保守恢复系数。恢复系数取保守恢复系数10时，需要调用子程序，子程序的计算过程如图11 12。所示，计算得到的结果见图 和图11 12从图 和图 可以看出，对于碰撞角大于90°的碰撞场景，恢复系数取0显得并不保守，或者说并不安全，特别是碰撞角越大，保守恢复系数0和恢复系数取 所对应的碰撞能损耗率差距越90°的情况，两种恢复系数下大。对于碰撞角小于 12 60°对的碰撞能损耗率曲线基本接近。图 中，应的曲线在船艏出现上升，因为撞击船相对于被

撞船的相对速度矢量方向正好与船艏水线的切线方向形成小角度，从而有更大的相对滑动，导致摩擦能较大，碰撞能量损耗增加。 2 3 11 12表 和表 分别给出了图 和图 中各个碰撞场景下对应的保守恢复系数。可以看出，当碰90°时 0；撞角度接近 ，大多数保守恢复系数靠近150°左右时，大多数保守恢复系数靠近1。

4结论

本文给出了一套三维船舶碰撞解析计算方法和程序。相对于二维船舶碰撞解析方法，本文提出的三维船舶碰撞解析方法由于考虑了横摇、纵摇及垂荡运动，因此计算得到的碰撞能量小于二维船舶碰撞的结果。通过具体分析不同碰撞场景下的计算结果，得出结论如下： 1）碰撞高度对于碰撞能量有较明显的影响，发生船舯碰撞时，影响尤其明显。2）碰撞点位置和碰撞角度对碰撞结果有较明显的影响，尤其是发生相向碰撞时，船艏碰撞会产生更大的动能损失。3 90°的场景，恢复系数）对于碰撞角度大于0简单地取 是不安全的。本文给出的程序，能够针对每个具体的碰撞场景计算得到对应的保守恢复系数。

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11 4.5 m/s图 被撞船和撞击船航速均为 时，碰撞能量损耗率曲线Fig.11 Relation between energy dissipation and location when the velocities of both ships are 4.5 m/s

12 4.5 m/s，撞击船航速为6 m/s图 被撞船航速为 时，碰撞能量损耗率曲线Fig.12 Relation between energy dissipation and location when the velocities of the struck ship and the striking ship are 4.5 m/s and 6 m/s separately

图7撞击船速度不同时，动能损失—恢复系数曲线（船舯碰撞，θ=60°，v_stru=4.5 m/s） Fig.7 Relationship between energy dissipation and restitution coefficient with different velocities of the striking ship （midship collision，θ=60°，v_stru=4.5 m/s）

图6被撞船速度不同时，动能损失—恢复系数曲线（船舯碰撞，θ=60°，v_stri=4.5 m/s） Fig.6 Relationship between energy dissipation and restitution coefficient with different velocities of the struck ship （mid-ship collision θ=60°， v_stri=4.5 m/s） ，

图9 120°碰撞角，内能和摩擦能随恢复系数变化Fig.9 Relation between energy and restitution coefficient （θ=120°）

图8 60°碰撞角时，内能和摩擦能随恢复系数变化Fig.8 Relationship between energy and restitution coefficient （θ=60°）

（f）图（a）~（e）的整体图图3 不同碰撞角度和垂向碰撞位置时，碰撞能量损耗率随碰撞点沿船长方向位置变化曲线Fig.3 Relationships between energy dissipation and collision location with different impact angles and vertical impact heights

图5 不同碰撞位置下，动能损失—恢复系数曲线（θ=120°，v_stru=v_stri=4.5 m/s） Fig.5 Relationship between energy dissipation and restitution coefficient with different collision locations（θ=120° ， v_stru=v_stri=4.5 m/s）

图1 碰撞总体坐标系和局部坐标系［5］ Fig.1 Global and local coordinate systems［5］