任意边界及耦合条件下的多跨梁结构振动特性

郑超凡，吴晓光，张成430064中国舰船研究设计中心 船舶振动噪声重点实验室，湖北 武汉 Vibration analysis of multi-span beam system under arbitrary boundary and coupling conditions ZHENG Chaofan，WU Xiaoguang，ZHANG Cheng National Key Laboratory on Ship Vibration and Noise，China Ship Development and Design Center， Wuhan 430064，China

Abstract：In order to overcome the difficulties of studying the vibration analysis model of a multi-span beam system under various boundary and coupling conditions, this paper constructs a free vibration analysis model of a multi-span beam system on the basis of the Bernoulli-Euler beam theory. The vibration characteristics of a multi-span beam system under arbitrary boundary supports and elastic coupling conditions are investigated using the current analysis model. Unlike most existing techniques, the beam displacement function is generally sought as an improved Fourier cosine series, and four sine terms are introduced to overcome all the relevant discontinuities or jumps of elastic boundary conditions. On this basis, the unknown series coefficients of the displacement function are treated as the generalized coordinates and solved using the Rayleigh-Ritz method, and the vibration problem of multi-span bean systems is converted into a standard eigenvalue problem concerning the unknown displacement expansion coefficient. By comparing the free vibration characteristics of the proposed method with those of the FEA method, the efficiency and accuracy of the present method are validated, providing a reliable and theoretical basis for multi-span beam system structure in engineering applications. Key words：improved Fourier series；arbitrary boundary conditions；Rayleigh-Ritz method；multi-span beam；structural vibration

0引言

梁结构在航天、航海、建筑、桥梁、水利等工程领域的应用十分广泛，梁结构特别是多跨梁结构的振动特性一直是学者们多年来所关心的热点问题。目前，国内外对于梁的振动特性研究比较广泛，主要研究方法包括模态叠加法［1］、传统傅里叶级数展开法［2］、数值法［3-4］和解析法［5-8］等。多跨梁结构的振动特性研究主要集中在双跨梁结构上，鲜有对双跨以上梁结构的研究。主要研究方法包［9］ ［10］和模态叠加法［ 11 ］，括差分法 、动态刚度矩阵法其中模态叠加法通过振型叠加进行求解；数值法通过数值手段离散控制微分方程及边界控制条件进行求解；差分法通过建立系统差分离散方程进行求解。然而，目前大部分的研究工作仅局限于经典边界以及刚性耦合条件，对于一般边界及弹性耦合条件下的单跨梁与多跨梁振动特性的研究甚少。基于此，本文将提出一种多跨梁数理模型，适用于任意跨、任意边界条件、任意耦合条件下的结构振动特性研究。首先，将结构的位移容许函数4展开为改进傅里叶级数表达式，引入 项正弦级数来消除以往求解过程中边界处的不连续或跳跃现象；然后，将函数展开的未知傅里叶级数系数作Rayleigh-Ritz为广义向量，利用 法进行求解，将结构的振动特性问题转换为求解一个标准特征值问题；最后，通过计算验证本文方法的合理性。

1.2 结构运动方程

基于欧拉梁理论模型，第i跨梁的控制微分方程为 （1） Di d4 wi ( xi ) /dxi - ρiaiω2 wi ( xi )=0 4式中：Di ，wi ，ρi ，ai 分别为第i跨梁的弯曲位移函数、弯曲刚度、密度、横截面面积； ω 为结构固有频率。对于第i跨梁，在 xi = 0端的边界条件为

1 多跨梁结构计算模型 1.1 结构物理模型

任意边界及耦合条件下的多跨梁结构计算模1 1型如图 所示。图中：x 为第 跨梁的横向坐标；跨梁的横向坐标（i=1，2，…，n）。以第xi 为第i i跨梁为例，在梁的两端分别设置刚度值为 k͂ 和 ki1 i0的横向位移弹簧，以及刚度值为 Ki0和 K͂的旋转i1约束弹簧，令 ki0 ，Ki0 模拟 xi =0的边界条件，ki1 ， Ki1 模拟 xi = Li（ Li 为第 i跨梁的跨度）的边界条= =件。当模拟两端固定边界条件时，令 ki0 Ki0 = =1 1010；当模拟自由边界条件时，令 = ki1 Ki1 ´ ki0 = = =0；当模拟简支边界条件时，令 = Ki0 ki1 Ki1 ki0 =1 1010，K = =0。在任意耦合条件下，跨k ´ K i1 i0 i1与跨之间的耦合效应主要由横向位移与横向弯矩i-1 i+1构成，因此第i跨与第 跨、第 跨的耦合边界条件主要通过耦合弹簧进行模拟。设 k ， i i -1 i-1 Ki 为第i跨与第 跨之间的耦合弹簧刚度值； i - 1 ki ，Ki 为第i跨与第i+1跨之间的耦合弹簧i+ 1 i+ 1 = =1×1010刚度值。当 ki Ki 时，第 i跨与第i - 1 i - 1 i-1 = =0跨即为刚性耦合；当 ki Ki 时，即无i - 1 i - 1 0﹤耦合；当 ki ，Ki ﹤1×1010时，即为弹性耦i - 1 i - 1合。因此，当结构边界条件发生变化时，只需改变弹簧的刚度值即可。 2 ki ( wi - wi 1)+ ki0 wi =- Diw （ ） ''' i- 1 - i ( )+ 3 ' ' '' （ ） Ki wi - w' Ki0 wi = D w i- 1 i -1 i i在 xi = Li 端的边界条件为4 ki ( wi - wi 1)+ ki1wi = Diw （ ） ''' i+ 1 + i ( )+ 5 ' ' '' Ki wi - w' Ki1wi =- D w （ ） i+ 1 i +1 i i 1对于n跨梁，最左端（第 跨梁左端）的边界条件为

6

k10 w1 =- D1w ''' （ ） 1

（7） ' '' K10 w1 = D1w1最右端（第n跨梁右端）的边界条件为（8） kn1wn = Dnw ''' n （9） ' '' Kn1w =- D w n n n以上式中： ki 为第i跨与第j跨之间的线性弹簧j刚度值，N/m；Ki 为第i跨与第j跨之间的旋转约j N·m）/rad；ki0束弹簧刚度值，（ ，ki1 为第i跨梁两端的线性弹簧刚度值，N/m；Ki0 ，Ki1 为第i跨梁两端的旋转约束弹簧刚度值，（N·m）/rad。

1.3 位移容许函数

以往的求解方法一般根据边界条件设置梁的容许函数，当边界条件改变时需要重新推导整个求解过程，计算量大、通用性差。常用的位移容许函数包括简单函数、正交多项式函数和三角函数等。对于多项式容许函数，若展开为低阶多项式，则不能满足结构在高阶次的振动求解要求；若展开为高阶多项式，则会由于数值计算的截断误差导致稳定性较差。当容许函数为传统傅里叶三角级数时，级数取无穷项就可以构成一个完整的无限维度向量空间，具有良好的数值稳定性和计算精度，但其位移导数在边界处可能存在不连续或跳跃现象，从而导致收敛速度极慢。为了解决这个问题，在一般弹性边界下正交各向异性矩形薄板［12］的弯曲自由振动分析和环扇形板［13］的面内振动分析中，提出了一种改进的傅里叶级数表达式。本文将该方法进一步应用于多跨梁的振动特性分析中，通过引入正弦三角级数作为辅助函数，对传统的傅里叶级数进行改进，以满足任意边界以及耦合条件。å¥ å4

wi (xi ) = Ai cos λi xi + Bi sin λi xi m m n n m =0 n =1 （10） 0  xi  Li式中：Ai ，Bi 为傅里叶展开系数；λi ，λi 为m n m n角频率。由式（10）可知，在整个求解区域 ：（0，Li R ）内，函数表达式除了传统傅里叶余弦级数以外，还4包括 项单重傅里叶正弦级数。由于梁的振动控制微分方程是四阶偏微分方程，因此要求其位移函数的三阶导数连续且四阶导数在边界上各点存4在。通过引入 项单重傅里叶正弦级数，位移函：（0，Li数对于 "xi Î R ）均可以展开并一致收敛于任意函数 f (xi )Î C 3（C为收敛值），即改进的傅里叶三角级数可以满足式（2）～式（9）的任意边界 条件及耦合条件。

1.4 能量泛函与求解步骤

由于本文中的位移函数足够光滑，其弱解（近似解）和强解（精确解）在数学意义上是等效的，因Rayleigh-Ritz此采用基于能量原理的 法求解未知傅里叶展开系数。多跨梁结构的拉格朗日能量泛函L为（11） L= V -T式中：V为多跨梁结构的总势能；T为多跨梁结构的总动能。设结构本身储存的应变势能为V ，边界处模p

拟弹簧储存的弹性势能为V ，耦合处横向位移弹s

簧和旋转约束弹簧储存的弹性势能分别为Vc1 和V c2 ，则多跨梁结构的总势能为

（12） V= V p + V s +V c1 + V c2

其中： V = 1 ån  Li Di( ¶ 2 wi ( xi ) ¶xi 2 )2dxi （13） p 2 i =1 0

(¶ )2

V = 1 2ån ki0 wi ( xi )2 + Ki0 wi ( xi) ¶xi + s i =1 xi =0

(¶ )2

ki1wi ( xi )2 + Ki1 wi ( xi) ¶xi （14） xi = Li

2 V = 1n å -1 ki w ( xi ) -w ( x ) + c1 2 i -1 i | x =0 i-1 i |x = Li i =2 i i- 1 -1

2 ( ) ( ) （15） Ki -1 ¶wi xi ¶xi| - ¶wi xi ¶xi|x i x = 0 - 1 =L i i -1 i -1

n -1 2

Vc2 = 1 å ki wi ( xi )| - wi ( xi )| + 2 i+ 1 x = Li + 1 x =0 i =2 i i + 1

2 ( ) ( ) 16 Ki +1 ¶wi xi ¶xi - ¶wi xi ¶x （ ） i | + 1 i | xi = Li xi =0 + 1

多跨梁结构的总动能为ρiaiω2ån  L i wi ( xi )dxi （17） T = 1 2 0 i =1应用经典的汉密尔顿原理，得

t （18）  2δ ( V - T )dt =0 t1 12 17 11 18将式（ ）～式（ ）代入式（ ），然后代入式（ ）对傅里叶展开系数 Ai 和 Bi 求极值，得到一组m n关于未知系数的线性方程。矩阵化处理，得( ) （19） K - ω2 M A =0式中：K为结构的整体刚度矩阵；M为结构的整体质量矩阵； A为未知傅里叶系数向量，其表达式为

={A1 ×××  n} A Ai m Bi n ×××  AN m BN （20） m B1 n因此，多跨梁的模态特性（固有频率及其对应19的特征向量）即为求解式（ ）的一个标准特征值。每个特征向量包含了构成相应结构模态的所有傅里叶展开系数，将特征向量代入式（10）即可得到相应的模态振形。

2 计算结果与对比

基于多跨梁结构理论模型，对其在不同边界条件下的振动特性进行求解，并与有限元计算结果进行对比，以验证本文方法的合理性。首先分析收敛性，对傅里叶级数进行截断；然后分析不同工况下的多跨梁结构自由振动特性。梁的物理1参数和材料参数如表 所示，其中E为杨氏模量，I为横截面的惯性矩。

2.1 收敛性分析

多跨梁的位移函数展开为傅里叶级数后，最1 1终结果是否收敛取决于截断值Q。以表 中的第2跨梁和第 跨梁构成的双跨悬臂梁为研究对象， 1 2 1设第 跨和第 跨之间为刚性耦合，第 跨左端为2固定边界条件，第 跨右端为自由边界条件。不10 2同级数截断值的前 阶固有频率和精确解如表2所示。由表 可知，截断值对计算结果的精度基本无影响，即本文提出的方法具有良好的收敛性和数值稳定性。在后续的计算中，位移函数的截Q=12。断值均取

2.2 多跨梁结构的自由振动特性分析

本节将对经典边界与弹性边界的多跨梁结构的自由振动特性进行分析，并与有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）的计算结果进行对比。有Beam 188 0.01 m。限元模型采用 单元，网格长度设为3选取弹性边界以及弹性耦合条件下的 跨梁作为2 1研究对象，如图所示，结构参数和材料参数如表3所示，边界条件参数如表 所示。4表 所示为经典边界条件下双跨悬臂梁结构10 5前 阶固有频率的对比结果，表 所示为弹性边3 10界以及弹性耦合条件下 跨梁结构前 阶固有频