# 任意边界及耦合条件下的多跨梁结构振动特性

Chinese Journal of Ship Research - - 中国舰船研究 -

Abstract：In order to overcome the difficulties of studying the vibration analysis model of a multi-span beam system under various boundary and coupling conditions, this paper constructs a free vibration analysis model of a multi-span beam system on the basis of the Bernoulli-Euler beam theory. The vibration characteristics of a multi-span beam system under arbitrary boundary supports and elastic coupling conditions are investigated using the current analysis model. Unlike most existing techniques, the beam displacement function is generally sought as an improved Fourier cosine series, and four sine terms are introduced to overcome all the relevant discontinuities or jumps of elastic boundary conditions. On this basis, the unknown series coefficients of the displacement function are treated as the generalized coordinates and solved using the Rayleigh-Ritz method, and the vibration problem of multi-span bean systems is converted into a standard eigenvalue problem concerning the unknown displacement expansion coefficient. By comparing the free vibration characteristics of the proposed method with those of the FEA method, the efficiency and accuracy of the present method are validated, providing a reliable and theoretical basis for multi-span beam system structure in engineering applications. Key words：improved Fourier series；arbitrary boundary conditions；Rayleigh-Ritz method；multi-span beam；structural vibration

0引言

1.2 结构运动方程

1 多跨梁结构计算模型 1.1 结构物理模型

6

k10 w1 =- D1w ''' （ ） 1

（7） ' '' K10 w1 = D1w1最右端（第n跨梁右端）的边界条件为（8） kn1wn = Dnw ''' n （9） ' '' Kn1w =- D w n n n以上式中： ki 为第i跨与第j跨之间的线性弹簧j刚度值，N/m；Ki 为第i跨与第j跨之间的旋转约j N·m）/rad；ki0束弹簧刚度值，（ ，ki1 为第i跨梁两端的线性弹簧刚度值，N/m；Ki0 ，Ki1 为第i跨梁两端的旋转约束弹簧刚度值，（N·m）/rad。

1.3 位移容许函数

wi (xi ) = Ai cos λi xi + Bi sin λi xi m m n n m =0 n =1 （10） 0  xi  Li式中：Ai ，Bi 为傅里叶展开系数；λi ，λi 为m n m n角频率。由式（10）可知，在整个求解区域 ：（0，Li R ）内，函数表达式除了传统傅里叶余弦级数以外，还4包括 项单重傅里叶正弦级数。由于梁的振动控制微分方程是四阶偏微分方程，因此要求其位移函数的三阶导数连续且四阶导数在边界上各点存4在。通过引入 项单重傅里叶正弦级数，位移函：（0，Li数对于 "xi Î R ）均可以展开并一致收敛于任意函数 f (xi )Î C 3（C为收敛值），即改进的傅里叶三角级数可以满足式（2）～式（9）的任意边界 条件及耦合条件。

1.4 能量泛函与求解步骤

（12） V= V p + V s +V c1 + V c2

(¶ )2

V = 1 2ån ki0 wi ( xi )2 + Ki0 wi ( xi) ¶xi + s i =1 xi =0

(¶ )2

ki1wi ( xi )2 + Ki1 wi ( xi) ¶xi （14） xi = Li

2 V = 1n å -1 ki w ( xi ) -w ( x ) + c1 2 i -1 i | x =0 i-1 i |x = Li i =2 i i- 1 -1

2 ( ) ( ) （15） Ki -1 ¶wi xi ¶xi| - ¶wi xi ¶xi|x i x = 0 - 1 =L i i -1 i -1

n -1 2

Vc2 = 1 å ki wi ( xi )| - wi ( xi )| + 2 i+ 1 x = Li + 1 x =0 i =2 i i + 1

2 ( ) ( ) 16 Ki +1 ¶wi xi ¶xi - ¶wi xi ¶x （ ） i | + 1 i | xi = Li xi =0 + 1

t （18）  2δ ( V - T )dt =0 t1 12 17 11 18将式（ ）～式（ ）代入式（ ），然后代入式（ ）对傅里叶展开系数 Ai 和 Bi 求极值，得到一组m n关于未知系数的线性方程。矩阵化处理，得( ) （19） K - ω2 M A =0式中：K为结构的整体刚度矩阵；M为结构的整体质量矩阵； A为未知傅里叶系数向量，其表达式为

={A1 ×××  n} A Ai m Bi n ×××  AN m BN （20） m B1 n因此，多跨梁的模态特性（固有频率及其对应19的特征向量）即为求解式（ ）的一个标准特征值。每个特征向量包含了构成相应结构模态的所有傅里叶展开系数，将特征向量代入式（10）即可得到相应的模态振形。

2 计算结果与对比

2.1 收敛性分析

2.2 多跨梁结构的自由振动特性分析