双向受压裂纹板剩余极限强度分析

陆亚兵1,王德禹1,2 1上海交通大学 海洋工程国家重点实验室,上海 200240 2 200240高新船舶与深海开发装备协同创新中心,上海

Chinese Journal of Ship Research - - 目 次 -

究双向受压载荷作用下含中心裂纹船体板的剩余极限强度。首先,提出计算含裂纹船体板剩余极限强度的参摘载荷影响外,还因焊接及应力集中容易产生裂纹,使船体结构的承载能力降低。为此,[方法]通过数值计算,研要:[目的]船舶在航行过程中船底板等船体结构除了受到纵向弯曲应力以及舷侧外板传递的横向水压力数化函数模型;然后,计算和分析影响其强度的因素,如裂纹长度、倾角和船体板细长比、长宽比以及横纵载荷比,并提出倾斜裂纹的有效投影长度参数;最后,基于计算结果,拟合得到双向受压载荷作用下含中心裂纹船体板的剩余极限强度计算公式。[结果]结果表明,运用计算公式得到的结果具有较高的精度,[结论]可用于对实

船上含中心裂纹船底板纵向极限承载能力的计算分析。关键词:剩余极限强度;含裂纹板;双向受压;非线性;有限元分析中图分类号:U661.43 文献标志码:A DOI:10.3969/j.issn.1673-3185.2017.05.009

Assessment of residual ultimate strength of cracked plates under biaxial compression

LU Yabing1,WANG Deyu1,2 1 The State Key Laboratory of Ocean Engineering,Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200240,China 2 Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration,Shanghai 200240,China Abstract:[Objectives] Such ship hull structures as inner bottom plates always bear complex loads involving the longitudinal bending stress and transverse in-plane stress transferred from the ship's side plates under water pressure. Additionally,the cracks that are likely to occur in welded joints and local stress concentration areas degrade the load bearing capacity of ship plates,so it is very important to assess the ultimate strength of cracked plates under biaxial compression. [Methods] First,the qualitative expression of the residual ultimate strength of cracked hull plates is deduced in theory. Next,the factors that influence residual ultimate strength are investigated by carrying out a series of Finite Element Analyses,including the length and inclined angle of the crack,aspect ratio and slenderness ratio of ship plate,and ratio between transverse and longitudinal in-plane stress,and an approach for the effective projected length of an inclined crack is obtained. Based on the numerical results,a simple empirical formula is proposed to calculate the residual ultimate strength of central cracked hull plates under biaxial compression.[Results]According to a relative error analysis,the caculated results has higher accuracy by the proposed formula,[Conclusions] whick can be used to accurately calculate the longitudinal ultimate strength of inner bottom plates. Key words:residual ultimate strength;cracked plate;biaxial compression;nonlinear;Finite Element Analysis(FEA)

收稿日期:2017 - 03 - 17 网络出版时间:2017-9-26 10:51作者简介:陆亚兵,男,1993年生,硕士生。研究方向:船体结构极限强度及优化。E-mail:1185154191@qq.com王德禹(通信作者),男,1963年生,博士,教授,博士生导师。研究方向:结构动力学,计算结构力学。E-mail:dywang@sjtu.edu.cn

0引言

船体是典型的薄壁组合结构,对以往船体结构破损事故的调查发现,船体结构整体失效都是从局部船体板的屈曲或屈服崩溃开始。因受焊接工艺和应力集中的影响,船体板很容易产生裂纹,从而降低船体板的极限强度,进而减弱船体结构的整体承载能力,故在工程应用中能较准确地评估含裂纹船体板的剩余极限强度将具有重要意义。Paik[1-2]通过对含裂纹板在轴向拉、压力作用下的剩余极限强度进行实验和数值计算分析,详细讨论了裂纹的位置、角度、长度、船体板厚度以及船体板细长比等因素对剩余极限强度的影响,提出了基于受损横截面积的含裂纹船体板剩余极限强度的计算公式。Margaritis Toulios[3]对含不和同形式裂纹(横向、倾斜和纵向等)加筋板的剩余极限强度和压溃反应进行了研究,详细分析了有限元算法、单元类型、边界条件、网格密度和收敛性等建模要素对有限元计算结果有效性的影响。Bayatfar 等[4 ]通过数值计算分析了船体板和加筋板在受压情况下裂纹的长度及位置对剩余极限强度的影响。对于含裂纹的加筋板,分析时主要考虑两条加强筋之间的板上裂纹。计算结果表30%时,相较于含单边裂明,裂纹长度小于板宽的纹船体板的剩余极限强度,含双边横向裂纹船体Cui板的剩余极限强度较小。 等[5]研究了单向受压船体板极限强度的影响因素,如裂纹的长度、位置、角度等,以及裂纹对船体板屈曲模态的影响,提出了基于有效裂纹长度的剩余极限强度计算公等[6]分式。胡勇 析和研究了各参数对于含裂纹损伤的板和加筋板剩余极限强度的影响,并提出了回归公式。李景阳等[7]利用数值计算方法,分析了含中心裂纹的板在双向受拉作用下的剩余极限强度,提出了极限拉伸强度计算公式。Alinia等[8-9]通过数值计算,分析了含中心裂纹以及边缘裂纹船体板在剪切载荷作用下的屈曲、后屈曲以及极限承载能力,并讨论了各要素的影响。Wang等[10]对比计算和分析了完整与受损的加筋板剪切极限4种强度,主要考虑由支撑结构扭转刚度定义的不同边界条件的影响,提出了等效裂纹长度的简化计算方法,并基于完整加筋板的计算分析,推导出含裂纹板剪切极限强度的计算公式。综上所述,国内外目前对于在单一载荷(拉、压、剪切力)作用下含裂纹船体板剩余极限强度的研究比较丰富。船舶在实际航行中,船体板架结构通常受到复杂的面内载荷(如轴向载荷、边缘剪 切载荷)和侧向载荷(如水压力载荷/货物载荷)的影响,故需要详细研究含裂纹船体板在组合载荷影响下的剩余极限强度。鉴于此,本文将主要研究在双向受压载荷作用下含中心裂纹船体板剩余极限强度的评估方法,讨论各参数对含中心裂纹船体板剩余极限强度的影响;基于有限元计算结果,通过最小二乘法拟合,提出双向受压载荷作用下含中心裂纹船体板剩余极限强度的计算公式。

1 有限元模型 1.1 几何尺寸及材料参数

献[5根据文 ],选取有限元模型船体板的长=11 mm。假设a = 2 550 mm ,宽 b = 850 mm ,厚 t材料应力应变关系服从理想的弹塑性关系,材料的屈服应力 σ = 313.6 MPa ,弹 性 模 量Y E = 205.8 GPa ,泊松比 v = 0.3 。本文主要考虑中心位置的横向、纵向以及倾斜裂纹对双向受压载荷作用下船体板剩余极限强1度的影响。图 所示为含中心裂纹船体板的双向受压几何模型。图中,c为裂纹长度,θ 为裂纹倾2角。图 所示为含中心裂纹船体板的有限元模型及裂纹尖端细化模型。计算时不考虑裂纹尖端的扩展,建模时裂纹两端取半圆形。

1.2 边界条件及加载方式

在实际船体结构中,为了增强船体板的承载能力,在板的四周设计有加强筋,且弯曲刚度较强。

船体板的边界条件介于简支与固支之间。本文采用船体板四周简支的边界条件,通过耦合约束各边节点来确保四边在极限状态下保持直边状态。当有限元分析时,对四边节点面外线位移进行约束,且除了垂直于板边方向的转动自由度外,其他转动自由度也均进行了约束。船体板简支边界条件相较于固支边界条件其四周刚度较低,计算得出的剩余极限强度较小,符合实际工程校核的保守需求。

1.3 初始缺陷

在焊接过程中,船体结构因局部区域受热不均易产生焊接变形及残余应力,从而降低船体结构的承载能力,故在计算分析其极限强度时,需考虑初始缺陷的影响。本文主要考虑焊接变形对船体板极限承载能力的影响,采用傅里叶级数加载节点位移的方法对初始变形进行模拟。通常认为焊接时的初始变形幅值与结构的最低阶屈曲模态相似,故按下式1取级数的第 项模拟初始变形。mπx πy (1) ω = A0 sin sin a b (2) m = a/b (3) a/b m( m + 1)式中:ω为板内各点初始缺陷位移;A 为初始变0形幅值;a/b 为船体板长宽比;m为沿船体板板长2方向的屈曲半波数,由式( )决定,当 a/b 不是整取值为满足式(3)的最小整数。数时,m Smith等[11]通过统计分析,将测量得到的焊接3变形幅值分为了 类:轻微变形、平均变形及严重变形。本文取平均变形值 A = 0.1β t ,其中 β 为2 0船体板细长比,计算公式如式(4)所示。计算时, =11 mm对于本文中的船体板结构,当板厚 t 时, =3.02,对应的 =10.03 mm。船体板细长比 β A 0 β = b σ E () 4 Y t

1.4 有限元单元类型及计算方法

Abaqus基于 非线性有限元分析软件,考虑材Riks料非线性与几何非线性,采用 弧长法分析模型的极限强度。追踪模型失效、破坏的完整过程,可以得到有明显下降段的失效曲线以及准确的极S4R限强度值。网格采用四节点、减缩积分的 单元,以避免体积自锁的问题。因考虑了薄膜应变与任意的大转动,所以适合于薄壁结构的有限元分析。

1.5 有限元模型验证

1有限元网格收敛性分析结果如表 所示。表中:Nx ,Ny分别为含裂纹船体板沿板宽及板长方向的单元数;N 为裂纹尖端单元数;N 为单元e sum 1可知,3总数。由表 种网格尺寸对应的含裂纹船体板单向受压极限承载能力的计算结果整体上差别较小。随着网格密度的逐渐加大,数值计算结果收敛明显,本文采用的细化网格与精细网格计0.11%算结果间的差值仅为 ,说明有限元计算模型具有较高的精度。 在采用有限元法进行计算分析之前,通过有限元软件求解单向受压载荷作用下完整板的极限Faulkner[12强度,并与 ]提出的经验公式计算值进行比较分析。有限元计算值与经验公式计算值的2对比如表 所示。完整板的平均应力—应变曲线3如图 所示。图中, σ 和 ε 分别为平均应力和板应变值,ε 为屈服应力对应的应变值。由对比结Y果可知,数值计算求解值较接近于经验公式计算值,说明有限元计算模型有效。

2 含裂纹船体板剩余极限强度的理论分析

船体板剩余极限强度分析涉及材料和几何非线性问题,目前尚无准确的解析求解公式。本文通过非线性有限元软件,针对在双向受压载荷作用下影响含裂纹船体板剩余极限强度的多个重要因素进行了计算分析,这些因素包括裂纹长度c ,裂纹倾角θ ,船体板长宽比 α ,船体板细长比 β 以及船体板面内横纵载荷比ψ 。船舶结构中因总纵

弯曲引起的纵向压应力明显大于在水压力等载荷传递作用下的板内横向压应力。本文主要分析双向压力载荷作用下含裂纹船体板纵向极限承载能力的变化规律,其与各主要变量的关系由如下各式表示: ( α ψ le β )* (5) σxu~ (6) le~ ( c θ) (7) α = a/b (8) ψ = σy /σx式中:σxu 为含裂纹船体板的纵向极限承载能力; le 为倾斜裂纹横向有效投影长度;σy,σx 分别为船体板横向及纵向压应力,且均考虑了均匀分布受压情况。故含裂纹船体板的剩余极限强度因子可表示为σxu leβ (9) ~ α ψ σxu0 b

式中,σxu0 为完整板纵向极限承载能力。本文采用控制变量方法进行系列数值计算分析,在分析单个变量对剩余极限强度的影响时,其10他各变量均保持不变。计算选取的 个参照组3如表 所示。

3 剩余极限强度有限元计算结果的分析和讨论

3.1 裂纹5有效长度的影响由式( )可知,裂纹有效长度是影响含裂纹船体板剩余极限强度因子的重要参数,且裂纹有效投影长度与裂纹长度和裂纹倾角相关。在探讨裂纹有效长度对剩余极限强度因子的影响时,需2要考虑横向裂纹长度和裂纹倾角这 个因素。

3.1.1 横向裂纹长度的影响

为了分析横向裂纹长度与板宽的比值cb对=0 ,0.1,船体板剩余极限强度的影响,选取 cb 0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7 8共 个值进行计算。除裂纹长度及横纵载荷比ψ 相应变化外,其他参数均3 4参照表 内第 组数据保持不变。4图 所示为含横向裂纹船体板剩余极限强度因子 σxu/σxu0 随 cb的变化关系。由分析可知:当c/b  0.3时,其对船体板剩余极限强度的影响较小;当 c/b = 0.3 时,在单向受压载荷作用下, =0.93;当σxu/σxu0 ψ 较小时, σxu/σxu0 随 c/b 的增大而降低,且两者呈二次函数关系;而随着ψ 的增大, c/b 对 σxu/σxu0 的影响逐渐减弱,当 ψ = 4/5 和c/b  0.6时,裂纹长度不会对剩余极限强度造成显著影响,此时纵向剩余极限强度主要受横向载荷的影响而折减。 5图 所示为在单向受压极限状态下含横向中5心裂纹船体板和完整板的薄膜应力分布。由图(b)可知,当 c/b = 0.2 时,纵向薄膜应力 (σxx ) 在船体板边角点处略微下降,其他部位与完整板的应5(c)可知,当力分布基本一致。由图 c/b = 0.5 时,

σxx 沿船体板边角点至边中心有所下降,同时横向薄膜应力 σyy 相较于完整板较小;当 c/b = 0.2 时,船体板极限强度和完整板的较为接近;当 c/b = 0.5时,相较于完整板其明显减小,即随着裂纹尺度逐渐增大,相较于完整板其减小的程度越大。 6图 所示为在双向受压极限状态下含横向中心裂纹船体板的薄膜应力分布。由图可知,当ψ = 4/5 时,c/b = 0.2 和 0.5两种情况下板的薄膜应力分布基本一致,故当横、纵向压应力较大时,c/b对于含裂纹船体板的纵向极限强度几乎没有影响。

3.1.2 裂纹倾角的影响

为了分析裂纹倾角θ 对船体板剩余极限强度=0° ,15°,30°,45°,60°,75°,90°共的影响,选取 θ 7个裂纹倾角进行计算。除 θ及ψ 相应变化外, 3 1其他参数均参照表 内第 组数据保持不变。 7图 所示为含倾斜裂纹船体板剩余极限强度因子随倾斜裂纹横向有效投影长度 le 与板宽b比值的变化关系。其中,有效投影长度按下式计算: (10) le = c· cos θ 7由图 可知,含倾斜裂纹的船体板剩余极限强度因子随 c· cos θ 的变化趋势与含横向中心裂纹船体板剩余极限强度因子随 c/b 的变化趋势一致,即对于含任意长度及裂纹倾角的船体板,均可式(10)计算其有效长度,并分析其对剩余极通过限强度因子的影响。故式(9)可表示为σ ~ae c· cos θ (11) xu α ψ  βö σxu0 è b ø

8图 所示为在双向受压极限状态下含倾斜裂8 6(a)的对纹船体板的薄膜应力分布。由图 和图比可知,除横向拉应力部分在船体板边中心处略60°时,含倾斜裂纹船微扩大外,当 c/b = 0.4和θ =体板与 c/b = 0.2时横向裂纹板内的薄膜应力分布基本一致,且两者的极限强度基本相等。故对于倾斜裂纹,可以通过横向有效投影长度来表征其对含裂纹船体板极限强度的影响。

3.2 船体板长宽比的影响

Ueda Yao[13和 ]通过统计调查,将船体板长宽2.65~4.41,而在浮式钻井生产比 α的范围确定为轮(Floating Drilling Production Storage and储卸油Offloading,FDPSO)及军舰内部结构中,α 最大为5.0 6.0[14]。 1.0~6.0。除和 本文选取的 α 范围为横向裂纹长度及 α相应变化外,其他参数均参照3 9表 内第 组数据保持不变。9图 所示为完整板极限强度及含裂纹船体板9可剩余极限强度因子随 α 的变化关系。由图知,α对剩余极限强度因子的影响较小,可以忽略不计。故剩余极限强度因子可由式(11)表示为σxu ö ~ae c· cos θ ( ) èψ  βø 12 σxu0 b 10图 所示为在单向受压极限状态下完整板5(a)对比可知,的横向薄膜应力分布。其中,与图α主要影响横向应力沿船体板长度方向分布的半波数,横向薄膜应力分布及纵向薄膜应力分布基本保持一致,受压极限强度基本保持不变。

3.3 船体板面内横纵载荷比的影响

对绝大多数船体结构的板材而言,纵向承载应力大于横向承载应力,是其所受载荷应力的主1。因要部分,即船体板面内横纵载荷比ψ 小于1,4/5,3/4,3/5,1/2,1/3,1/4,1/5此,本文选取 ψ = 8共 种值进行计算,以分析这些值对板剩余极限强度的影响。除ψ 以及裂纹长度c相应变化外, 3 3其他参数均参照表 内第 组数据保持不变。11图 所示为含裂纹船体板剩余极限强度因子随 ψ 的变化关系。由拟合结果可知,剩余极限强度因子随ψ 的增加而降低,呈较强的线性关系,且斜率绝对值随裂纹长度c的增大而减小。在纵向单向受压状态下计算分析船体板的剩余极限强度,结果表明,当 c/b  0.3时,裂纹长度c对于船体板的承载能力折减影响较小,故在双向受压状态下,c/b =0.1,0.2,0.3,0.4时的拟合曲线较为接近;同时,当 c/b = 0.7 时,ψ 对于船体板纵向承载能力

的影响较小,此时剩余极限强度因子主要与裂纹长度 c 有关。6(a)和图5(b)的对比可知,随着由图 ψ 的增大,在极限状态下船体板边横向薄膜压应力分量增大,板边中心的纵向薄膜压应力变为拉应力,其双向受压状态下的极限强度相较于单向受压状态6(a 6(b)的下的极限强度显著降低。由图 )和图=4/5对比可知,当 ψ 时,c/b  0.5的横向裂纹长度几乎对船体板的极限强度没有影响,在双向受压极限状态下其应力分布比较接近。

3.4 船体板细长比的影响

船体板细长比 β显著影响船体的极限承载能

力。一方面,随着板厚 t 的增大,几何剖面模数增大;另一方面,基于三角级数的初始缺陷幅值 A0与 t 成反比,亦即初始变形幅值随板厚t 的增大而Paik减小,船体板的极限承载能力将得到提升。Thayamballi 15 [ ]和 在统计的基础上,提出船体结构1.5~3.5,且内部板材的 β 值范围通常取为 板厚 t较薄的 β 值更大,而因其极限承载能力较低,所以= 1.51,更容易受到破坏而失效。本文选取 β 1.65,1.84,2.37,3.02,3.69 6共 种值进行计算。除3 7组ψ 和 β 相应变化外,其他参数均参照表 内第数据保持不变。12图 所示为含裂纹船体板剩余极限强度随 β的变化关系。由拟合结果可知,含裂纹船体板的剩余极限强度与 β 呈二次函数关系,剩余极限强

度因子 σxu/σxu0 随 β是先增后减,裂纹对于 t 较大、β 较小的船体板极限承载能力的折减影响更

大,且随着ψ 的降低更明显。 13图 所示为单向受压状态下完整板及双向受压极限状态下含中心裂纹船体板的薄膜应力分 13(a 5(a布。由图 )和图 )对比可知,当船体板的厚度t增大,即 β 减小时,在单向受压极限状态下完整板的纵向薄膜应力增大,同时横向薄膜应力13(b)可知,当船减小,板的极限强度增大。由图体板存在横向裂纹且 c/b = 0.5 时,在双向受压作用下,船体板边的横向薄膜应力分布发生显著变化,拉应力分布变为压应力分布;同时,板边的纵向薄膜应力明显减小,两者的影响随板厚t的增加,含相同长度裂纹板的剩余极限强度因子相较于薄板的更小。

4 双向受压状态下含裂纹船体板剩余极限强度预报

由上述分析可知,含裂纹船体板剩余极限强度与裂纹长度 c 、裂纹倾角 θ 、板的细长比 β 及横纵载荷比ψ 相关。为获得较为准确的经验公式,

选取了大量参照组,使用非线性有限元法求解相应模型的剩余极限强度。使用最小二乘法对样本点进行拟合,得到如下含裂纹船体板剩余极限强度的函数关系式: σxu = 0.942 - 0.273ψ - 0.548 c· cos θ + 0.086β+ σxu0 b 0.570ψc· cos θ - 0.084ψβ + 0.183βc· cos θ - b b ae c· cos θ ö2 13 0.755è - 0.02β 2 ( ) b ø

本文按照正比例函数拟合得到的标准差为0.020 8,说明拟合公式(13)可以接受。图14所示为比例函数拟合公式(13)计算的结果与非线性有15限元计算结果的对比。图 所示为拟合公式(13)与非线性有限元计算值的相对误差。其中, 5%。综合图绝大部分样本点的相对误差均小于14 15和图 可知,本文提出的经验公式较为准确。 根据上述分析,拟合公式(13)可适用于以下情况的剩余极限强度预报: 1 )船体板四边简支、各边无面外位移,在极限状态下四边仍保持直边状态;初始缺陷形式选1取为三角级数第 阶,且平均变形幅值取为2 0.1β t 。2)裂纹位于船体板中心位置,且板内仅有1 0~0.7条裂纹,裂纹有效长度为板宽的 倍。3)其他变量应满足:船体板细长比 β 的取值1.51~3.69;横纵载荷比 0~范围为 ψ 的取值范围为1;裂纹倾角 0~90°;船体板长宽比θ 的取值范围为1.0~6.0。α的取值范围为

5结论

基于非线性有限元分析,本文对在双向受压 状态下含中心裂纹船体板的剩余极限强度进行了研究,分析了各主要参数对其的影响,并得出以下结论: 1)船体板上存在裂纹会降低板的承载能力,且随着裂纹长度 c 的逐渐增大,板的剩余极限强度因子与裂纹长度 c 呈明显的二次递减关系;而对于任意倾斜裂纹,分析其有效投影长度对板的剩余极限强度因子的影响即可。2 )双向受压状态下含裂纹船体板的剩余极限强度因子与 β ,ψ 相关。其中,剩余极限强度因子与 β呈二次函数关系,与 ψ 呈一次函数关系,而与船体板长宽比α则无明显关系。3 )提出了双向受压状态下含中心裂纹船体板剩余极限强度因子的计算公式,其可进一步应用于实船内含裂纹船体板的可靠性及风险评估。

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图1 含中心裂纹船体板的双向受压几何模型Fig.1 Geometric model of a central cracked plate under biaxial compression

图2 含中心裂纹船体板的有限元模型Fig.2 Finite element model of a central cracked plate

图3有限元法和经验公式计算的平均应力—应变曲线Fig.3 Average stress-strain curves of uncracked plate by FEM and empirical formula

图4剩余极限强度因子随横向裂纹长度与板宽比值的变化曲线Fig.4 Curves of ultimate strength factor in function of the the ratio between the length of transverse crack and the breadth of plate

图7剩余极限强度因子随倾斜裂纹有效长度与板宽比值的变化曲线Fig.7 Curves of ultimate strength factor in function of the ratio of the effective projected length of inclined crack and the breadth of plate

(c)单向受压极限状态下含横向中心裂纹板的薄膜应力分布t=11 mm,α =3,c/b = ( 0.5)图5 单向受压极限状态下含横向中心裂纹板和完整板的薄膜应力分布Fig.5 Membrane stress distributions in a transversal central-cracked plate and an intact plate at the ultimate limit state under axial compression

( b )双向受压极限状态下含横向中心裂纹板的薄膜应力分布(t=11 mm,α =3,c/b = 0.5 ,ψ =4/5)图6 双向受压极限状态下含横向中心裂纹板的薄膜应力分布

Fig.6 Membrane stress distribution in a transversal central-cracked plate at the ultimate limit state under biaxial compression

(b)单向受压极限状态下含横向中心裂纹板的薄膜应力分布(t=11 mm,α =3,c/b = 0.2)

(a)单向受压极限状态下完整板的薄膜应力分布(t=11 mm,α =3)

图8双向受压极限状态下含倾斜裂纹板的薄膜应力分布=60°,c/b ,t=11 mm,α =3,ψ =4/5) ( θ = 0.4 Fig.8 Membrane stress distribution in an inclined-cracked plate at the ultimate limit state under biaxial compression =60°,c/b ,t=11 mm,α =3,ψ =4/5) ( θ = 0.4

σyy 10图 单向受压极限状态下完整板的横向薄膜应力分布(t=11 mm,α =4) Fig.10 Membrane stress distribution in an intact plate at the ultimate limit state under axial compression in the x direction(t=11 mm,α =4)

11图 剩余极限强度因子随面内横纵载荷比的变化曲线Fig.11 Curves of residual ultimate strength factors in function of the ratio between the transverse and longitudinal in-plane stresses

图9 剩余极限强度因子随含横向裂纹板长宽比的变化曲线Fig.9 Curves of residual ultimate strength in function of the length-width ratio of plate with transverse crack

12图 剩余极限强度因子随含裂纹板细长比的变化曲线Fig.12 Curves of ultimate strength factor in function of the plate slenderness ratio

(b)双向受压极限状态下含横向中心裂纹板的薄膜应力分布(t=20 mm,α =3,c/b = 0.5 ,ψ =4/5) 13图 单向受压极限状态下完整板及双向受压极限状态下含中心裂纹板的薄膜应力分布Fig.13 Membrane stress distribution in an intact plate at the ultimate limit state under axial compression and in a transversal central-cracked plate at the ultimate limit state under biaxial compression

(a)单向受压极限状态下完整板的薄膜应力分布(t=20 mm,α =3)

14 式(13)与有限元法计算值的对比图Fig.14 Comparison of calculated values by Eq(. 13)with calculated values by FEM

15 公式(13)计算值与有限元计算值的相对误差图Fig.15 Relative errors between calculated values by Eq(. 13) and calculated values by FEM

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