规则波浪中舰船摇荡耦合切片计算方法

朱军1，夏齐强2，王智宇1，朱韬2，黄昆仑1，葛义军1

1 430033海军工程大学 舰船与海洋学院，湖北 武汉2 200235海军研究院，上海

摘水动力，本质上缺少船体垂荡、纵摇与横摇的运动耦合性。为有效耦合船体垂荡、纵摇与横摇的运动，［方法］基要：［目的］切片理论方法在舰船耐波性设计中有着广泛的工程应用，该方法是针对切片平均位置来计算于广义纵倾角和广义吃水增量的参数，以及船体坐标系下瞬时波面方程的解析表达式，以满足波面处压力为零的条件修正波面下压力分布的计算公式（史密斯效应）；基于波面方程和压力分布修正公式，给出瞬时波面下船体切片的静水力与傅汝德—克雷洛夫波浪扰动力之和的计算方法，惯性水动力和阻尼力则采用经验公式估算。建立船体垂荡、纵摇与横摇耦合的时变系数动力学方程，采用AutoCAD图形面域技术开发计算软件，数值计算规则波浪中舰船的耦合摇荡运动。［结果］数值计算结果表明，大波高时横摇幅频曲线呈现出较为显著的因摇荡耦合导致的非线性效应，同时在横摇共振区内有明显的波浪传播方向的横摇偏摇现象。［结论］所得计算方法对于舰船高海况下的耐波性预报将产生积极的作用，计算软件可以作为耐波性设计选型的评估手段。关键词：舰船；耐波性；规则波浪；切片方法；摇荡耦合中图分类号：U661.2+2 文献标志码：A DOI：10.19693/j.issn.1673-3185. 01080

Strip calculations for ship oscillation coupled response in regular waves

ZHU Jun1，XIA Qiqiang2，WANG Zhiyu1，ZHU Tao2，HUANG Kunlun1，GE Yijun1 1 College of Naval Architecture and Ocean Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China 2 Naval Research Academy，Shanghai 200235，China Abstract：［Objectives］ The strip method is widely used in the sea-keeping design of ships, but the hydrodynamics are only evaluated for the mean-hull position，so heaving，pitching and rolling motions are not essentially coupled. ［Methods］ For the effective coupling of hull heaving，pitching and rolling motions，based on the extensive pitch angle and increased draught，and the analytical expression of the instantaneous wave surface equation under the hull coordinate system，the calculation formula of pressure distribution under the wave surface is amended under the condition that the pressure at the wave surface is zero（Smith effect）. Based on the wave surface equation and pressure distribution correction formula，the calculation method for obtaining the hydrostatic force on hull sections under an instantaneous wave surface and Froude-Krylov wave excitation force is given. Inertial hydrodynamic force and damping force are calculated by empirical formulations. As such， the heaving， pitching and rolling coupling dynamic equations are derived via the time variants of the coefficients，and calculation software is developed on the basis of surface area computing technology of AutoCAD.［Results］The simulation results show very clear characters with the linear method on small wave height，the rolling amplitude frequency response very evidently shows non-linear effects for heavy seas，and the rolling-yawing can also be seen in the wave direction in the resonance region.［Conclusions］This approach can be useful for predicting sea-keeping performance in heavy seas，and the developed software may be used for evaluating sea-keeping hull forms. Key words：ship；sea-keeping；regular waves；strip method；oscillation coupled

0引言

20 50年代［1］，切片理论方法首次发表于 世纪之后衍生出了各种不同的切片方法，并被应用到Salvesen 等［2］某些船舶上用于确定速度的效应。提出了线性切片理论方法，该方法可用于描述满足交叉耦合项的对称定理。在线性和摇荡谐振假设下，线性切片势流理论方法满足物面和自由表面的边界条件，尽管该方法采用势流理论计算了水动力并提出了六自由度的计算模型，但由于物面边界条件是在平均位置上得到满足的，因此垂直面和水平面实际上是分离的。北约耐波性一般［3］的研究表明，采用各种准则和共同程序专家组计算机代码计算出的驱逐舰垂直平面的运动结果Ogilvie Tuck［4］的非常一致。 和 研究表明，当波长在船宽量级的高频范围内时，切片方法是严格有效的。实践经验表明，对于船长与波长等量级的情况，切片方法能给出良好的结果。Timman等［5］采用摄动展开方法，将原本在瞬时物面上满足的边界条件变换成了在物面平均位置上满足的边界条件，这虽然给求解带来了极大的方便，但却使得垂荡、纵摇与横摇实际上在非线性条件下被解耦了。为了计算甲板上浪和艏底砰击等非线性波浪载荷问题，需采用线性切片理论方法预报船体的Kaplan等［6-8］］将线性切片方法预报的摇荡运动。运动响应作为输入，在频域中有效解决了运动问Cong 等［9］采用题，而载荷预报则在时域中执行。脉冲响应函数方法计算了辐射波浪力和衍射波浪Smith力，同时修正了入射波浪压力分布的 效应。Gu等［10］采用线性切片理论方法预报了垂直面的摇荡（特指垂荡和纵摇）运动，并直接在时域中计算了运动、甲板上浪与砰击载荷。林超友和朱军等［11-12］为了预报波浪中的操纵运动，采用势流理论方法计算了波浪力。线性切片理论方法本质上没有耦合船体的垂直面（垂荡和纵摇）和水平面（横摇）运动，这是因为在计算摇荡速度势和入射衍射波浪速度势时，船体切片只取了其静水的平均位置，导致垂荡、纵摇与横摇的相互影响被忽略。尽管速度势摄动方法为非线性方法，但因其船体切片只取了静水平均位置，故在本质上并没有改善垂荡、纵摇与横摇的耦合性。为了能计入船体垂荡、纵摇与横摇的运动耦合效应，本文拟基于广义纵倾角和广义吃水增量参数［13］，在船体瞬时运动状态（ DT ，θ 和 φ ）和瞬时波浪状态下提取船体切片，以满足瞬时波面压 力为零的条件修正压力分布的计算公式，采用文献［13］所应用的图形面域技术计算切片的静水力与波浪扰动力（傅汝德—克雷洛夫力）之和，采用经验方法估算瞬时状态下的船体切片惯性和阻尼水动力，并由所建立的摇荡耦合运动方程预报规则波浪中的船体摇荡运动。

1 坐标系及波面方程 1.1 坐标系及广义参数

1坐标系如图 所示，图中 χ 为浪向角，t 为时间。惯性坐标系为 E - ξηζ ，坐标平面 E - ξη 与静水面重合；船体运动坐标系为O - xyz ，坐标平面O - xy 与静水面重合，沿惯性坐标纵向轴以速度U 等速运动；船体固定坐标系O′ - xO yO zO 与船体′ ′ ′运动坐标保持等速前进运动。

x =- (T cos φ +D T )sin θ + xO cos θ - yO sin φ sin θ+ ′ ′ zO cos φ sin θ ′ y =- T sin φ + yO cos φ + zO sin φ ′ ′ z =- (T cos φ +D T )cos θ - xO sin θ - yO sin φ cos θ+ ′ ′ zO cos φ cos θ ′

（1）值得注意的是，这里的吃水T 和横倾角 φ 与通常的定义是一致的，但吃水增量 DT 为垂直于

静水面的变化量，纵倾角 θ 为绕船舯剖面与静水面交线的转动角度，文献［13］分别称其为广义吃水增量 DT 和广义纵倾角θ 。

1.2 波面方程

令波长为 λ ，波高为 H ，浪向角为 χ ，惯性w坐标系下的波面方程为： H （2） ζz = ´ cos[ω t + k(x cos χ + y sin χ)] w e 2

2 ω0式中： ω = ω + U cos χ ，为遭遇频率，其中 ω0 e 0 g

为波浪圆波数，g 为重力加速度；k 为波数；χ 为0°，随浪180°）。浪向角（顶浪2）代 式（1 3将式（ 入到 ）的第 项中，得到船体固定坐标系下的波面方程为DT + 1 ξO = T+ tg φ × yO + tg θ × xO + ′ ′ ′ cos φ cos φ 1 H ´ ´ cos[ω t + k(x cos χ + y sin χ)] w e cos φ cos θ 2

（3） 1 1 2这里的 x ，y 由式（ ）的第 项和第 项确4定。显然，这是一个隐式方程，方程右端前 项是5静水面方程在船体坐标系下的表达式，第 项是波面相对静水面的升高量。

2 船体摇荡耦合动力学方程及水动力 2.1 船体摇荡耦合运动方程

令瞬时波面下船体静水力与入射波浪力之和

的水动力为 F ，即将静水力与傅汝德—克雷FK + B洛夫波浪力作为一个整体计算，不难写出船体横

摇的二阶运动方程式为（4） (Iφ̈ +D Iφ̈ )φ̈ + Kφ̇ φ̇ + F ´ (y - y G) = 0 FK + B FK +B式中：Iφ̈和DI分别为船体横摇惯性矩与附加惯性φ̈矩；Kφ̇ 为横摇阻尼系数。在船体纵向平面内，仅考虑纵摇与垂荡运动

的相互耦合项，按类似方法可得到简化后的垂荡 与纵摇耦合运动方程式为 (m + Z )DT + Z DT + Zθθ + Zθθ =D F （5） DT̈ DT FK +B (J + M )θ + M θ +M DT +M DT =M θ θ θ DT DT FK +B

式中：m和Z 分别为船体质量和垂荡附加质量； DT Jθ和Mθ 分别为船体纵摇惯性矩和附加惯性矩； Z 和 Mθ 分别为垂荡和纵摇阻尼系数；Zθ ，Zθ ， DT M ，M 为附加质量系数。且DT DT G)} DF = F -P

（6） FK + B FK + B M =- F ´ (x - x FK + B FK + B FK +B式中， P 为船体重力。水动力 F 作用点FK + B B B （ x y z ）和船体重心（ xG yG zG ）系指FK + FK + FK + B船体运动坐标，由式（1）确定与船体坐标系下的转换关系。式（4）和式（5）构成了船体垂荡与纵摇、横摇耦合的摇荡运动方程。

2.2 瞬时波面下船体静水力与波浪扰动力之和

普通线性切片方法是将摇荡复原力与波浪扰动力分开处理，且船体切片只取平均水线位置，这导致波峰和波谷通过切片时无差异化。本文基于切片处的瞬时波面方程（3），根据切片瞬时波面下压力分布积分计算水动力，并将静水力与波浪扰动力之和作为整体处理。由势流理论可知，小振幅规则波的压力分布为： H p =- ρgz + ρg ek cos[ω t + k(x cos χ + y sin χ)] w ´ z e 2 （7）式中，ρ为水的质量密度。该压力分布式忽略了

速度平方的二阶小量，瞬时波表面压力等于零的条件并不满足，波峰处的压力估计偏大，波谷处的压力估计偏小［14］，即史密斯效应。为此，令H （8） z = z - cos[ω t + k(x cos χ + y sin χ)] w 1 e 2该转换就是将波面作为压力计算的起点。将瞬时波面下压力分布改写为´ p =- ρgz - ρg(1 - ek z1)A cos[ω t + k(x cos χ + y sin χ)] 1 e （9） 9 =0式中，A = H /2。式（ ）满足瞬时波面（ z1 时） w =0，同 →-∞时 →压力 p 时还满足 z1 p -ρgz 。在处的船体切片，对式（9）的指数项进行线t 时刻 x =0性化处理并用 y 近似，则近似的压力分布为πHw （10） p =- ρgz [1 - cos(ω t + kx cos χ)] 1 e λ于是，由式（10）对瞬时波面下的切片进行积分，然后再沿船体纵向积分，便可得到船体水动力

F 。Fk + B显然，式（10）的压力修正体现了波峰和波谷位于切片时的差异，同时，还包含了船体运动姿态（ DT ，θ 和 φ ）的效应，即垂荡、纵摇与横摇的耦

合效应。

2.3 船体水动力系数

式（4）和式（5）中的附加惯性水动力系数及阻尼水动力系数，将由所估算的切片水动力系数沿船体纵向积分计算得到。1）船体横摇附加惯性矩和阻尼系数。横摇附加惯性水动力和阻尼系数取切片静水平均位置，按通常的经验公式估算： Iφ̈ +D Iφ̈ = mρ2 φ （11） Kφ̇ = 0.14(1 + 3.3Fn) ´ mρφ gh =式中：ρφ CB ，为横摇惯性半径，其中 B 为船宽， 0.40；h经验系数C 取 为初稳性高； Fn为傅汝德数。船体横摇运动的非线性效应明显，Himeno［15］针对横摇阻尼预测进行了综述，更加有针对性的估算公式可参看文献［15］。2）船体垂荡、纵摇附加惯性矩和阻尼系数。式（5）中的船体水动力系数由瞬时波面下切片的水动力系数积分得到，瞬时波面下切片的垂荡附加质量 DZ 和阻尼系数 Db估算为： DT

2 ρπBn ρg 12 DZ ˉ2 （ ） = C1 ，Db = A DT 8 ω2 e式中，系数 C1 和 Aˉ由遭遇频率ω 、切片宽—吃水e =比 Bn /dn 及切片面积 An 的系数 βn （ βn An /(Bndn)）按二维浮体试验图谱计算［16］。值得注意的是，式（12）所估算的是瞬时波面下的船体切片，此时，切片状态与船体纵倾角 θ 、横倾角 φ 、吃水增量 DT 以及波浪瞬时相位有关，

故估算所得到的船体水动力系数是时变的，同时也包含了垂荡、纵摇与横摇的耦合影响。由式（12）沿船体纵向积分，不难得到式（5）等号左端的惯性和阻尼水动力系数。

2.4 船体摇荡耦合运动方程特征

式（4）和式（5）构成的非线性时变耦合的船体摇荡耦合运动方程组具有时变和耦合的非线性特征。1）水动力系数的时变性。式（5）中的垂荡和纵摇的附加惯性矩、阻尼系6数及附加惯性静矩共 个水动力系数均是针对瞬时波面下切片经积分而得到，瞬时波面下切片的大小和形状随船体运动状态（ DT ，θ 和 φ ）和波 浪相位的不同而变化。所以，式（5）具有系数时变的特征，而水动力系数的时变性则意味着运动方程包含了船体运动状态和波浪相位的效应。2）垂荡、纵摇和横摇的运动耦合性。水动力 F 为静水力与波浪扰动力（傅汝FK + B德—克雷洛夫波浪力）之和，其值取决于瞬时船体运动状态（ DT ，θ ，φ ）和波浪相位。水动力

F 既是构成船体横摇的激励力，也是垂荡、纵FK + B摇运动的激励力，可见水动力 F 耦合了船体FK + B

垂荡、纵摇和横摇的运动。

3 数值计算及分析 3.1 船型主尺度及波浪参数

=142 m，静水吃水 =计算舰船的水线长 L T 4.535 m 0。计算的波浪参数为： ，航速为1 =0° ，45° ，90° ，135° ，180° ）浪向角 χ ，即顶浪、首斜浪、正横浪、尾斜浪和顺浪的典型浪向角。2）波 =0.2～5.0，波浪频率从长船长之比 λ/L低频到高频，涵盖共振频率。3）波陡 =0.01，0.04，对H w/λ 应的最大波倾角=1.8°，7.2°。α0

3.2 数值计算及分析

=4.535 m =数值计算初始运动参数：T ，DT 0 0.0 m，θ0 =0.0°，φ =-2.0°；其他运动参数的值取0 0。其中为 T 是静水平衡状态值，为一常数，φ 的0 0，相当于一个初始的外部扰动作用。初值不为3～图7图所示为所计算的各个浪向角的摇荡幅频曲线，其计算结果的变化规律与理论分析3～图5一致。图 的结果显示，垂荡和纵摇对横摇8 9的耦合呈现出明显的非线性效应，图 和图 则表明，在横摇共振区内耦合还呈现出偏摇现象。1）横摇幅频曲线计算分析。3～图5由图 中的横摇幅频曲线可以看出，波=0.04）的共振区的幅频曲线明显低陡较高（ H w/λ =0.01于波陡较低（ H w/λ ）共振区的幅频曲线，这表明了横摇共振区幅频曲线对波陡的非线性，即波高对横摇幅频曲线具有非线性效应。由于计算式（11）取常数值，因此可以认为中的阻尼系数按该效应是因垂荡、纵摇耦合所导致，即垂荡、纵摇对横摇运动的耦合非线性效应。4 5 ≈1.0～1.2）的横图 和图 显示，高频区（ ω e摇幅频曲线有一个较小的峰值，该频率范围大致对应垂荡、纵摇的共振频率，因此高频小峰值表明

是横摇对垂荡、纵摇运动耦合的非线性效应。4~图7图 所示的纵摇幅频曲线具有相同的响≈1.0~1.2）范围内有一应规律，即在共振频率（ ω e个小的峰值响应。斜浪（首、尾斜浪）的纵摇幅频曲线与纵向波浪（顶浪和顺浪）的纵摇幅频曲线具有相似的响应规律，表明横摇对纵摇不存在耦合效应。垂荡幅频曲线有明显的差异说明横摇对垂荡的耦合效应显著，该耦合效应出现在频率约大于横摇共振频率之后。纵向波浪中的稳态横摇趋近0，也 6 7于 即图 和图 所示的垂荡幅频曲线不包含4 5横摇的效应，对比图 和图 斜浪中响应曲线所呈现出的差异，说明横摇对垂荡具有抑制的耦合作用。3）横摇偏摇现象。8 =0.04图 所示为波陡 H w/λ 时的正横浪摇荡运动时历曲线。横摇角时历曲线存在着明显的左、右摇荡幅值间的偏差，即在波浪传播方向，摇荡幅值大于其反向幅值，本文称其为横摇偏摇现象。横摇偏摇现象也是垂荡、纵摇耦合的一种效应，计算表明，当波高较大且在横摇共振区内时，

9 =会呈现出显著的横摇偏摇。图 所示为 H w/λ 0.04时的横摇偏摇幅值φ 幅频曲线，其中正横浪a0的横摇偏摇幅值最大。 4）摇荡耦合的非线性效应机理初步分析。上述摇荡幅频曲线计算分析表明，垂荡、纵摇与横摇的耦合会导致运动响应的非线性效应，其中，最为明显的是垂荡、纵摇对横摇幅频曲线的非线性效应，以及横摇偏摇现象。由于船体线型具有上、下和前、后不对称的特点，所以摇荡耦合的非线性效应即来自于该船体线型的不对称性。就切片而言，波陡越大，平均水线以上和水线以下线型的不对称性也越大，船体平均水线上、下线型的不对称性是共振区横摇幅频曲线非线性的主要根源。船体前、后线型的不对称性是产生横摇偏摇8现象的原因。图 所示为垂荡（ DT ）、纵摇（ θ ）和横摇（ φ ）的时历计算曲线。由纵摇（ θ ）时历曲线

图可以看出，纵摇运动呈现不均匀的摇荡，埋艏＜0）滞留时间较长，抬艏（ ＞0）滞留时间较（ θ θ短，此现象源自船体艏、艉线型的不对称性，符合 预期。对比横摇与纵摇时历曲线表面发现，二者基本是反向同步，纵摇的不均匀性传递给横摇就会导致其左、右横摇不对称运动的出现，从而引起偏摇现象——左、右横摇幅值不等。可以预见，前、后线型对称的几何船体将不会出现横摇的偏摇现象。

4结论

本文基于广义纵倾角 θ 和广义吃水增量DT ，以及船体坐标系下的波面方程，采用切片理论方法建立了垂荡、纵摇与横摇耦合的动力学方0程组；基于瞬时波面方程，为满足波面压力处为的条件，合理修正了瞬时波面下压力分布的计算公式，将静水力与波浪扰动力之和 F 作为整FK + B体积分予以了计算。规则波浪中，舰船耦合摇荡运动响应数值计算结果表明： 1 ）采用耦合摇荡切片计算方法可预测出垂荡、纵摇对横摇的耦合非线性效应； 2 ）采用耦合摇荡切片计算方法可预测出共振区内的横摇偏摇现象； 3）船体线型的上、下不对称性是引起共振区横摇非线性的主要原因； 4）船体线型的前、后不对称性是引起共振区横摇偏摇现象的主要原因。本文提出了实用性的耦合摇荡运动计算方法，开发了相应的计算软件，较好地计入了垂荡、纵摇与横摇之间的相互耦合效应，对高海况下耐波性预报有积极的作用。后续，还将深入研究并完善计算方法。

参考文献：

er simulation of slamming and other wave-induced vi⁃ bratory structural loadings on ships in waves：SSC-231 ［R］. Ship Structure Committee，1972. ［7］ MANSOUR A，OLIVEIRA J M. Hull bending moment due to ship bottom slamming in regular waves［J］. Jour⁃ nal of Ship Research，1975，19（2）：80-92 . ［8］ WATANAB I，SOARES G. Compartive study on the time-domain analysis of non-linear ship motions and loads［J］. Marine Structures，1999，12（3）：153-170. ［9］ CONG L Z，HUANG Z J，ANDO S，et al. Time-domain analysis of ship motions and hydrodynamic pressures on a ship hull in wave［C］//2nd International Confer⁃ ence on Hydroelasticity in Marine Technology. Fukuo⁃ ka，Japan，1998. ［10］ GU X K ，SHEN J W，MOAN T. Efficient and simpli⁃ fied time domain simulation of nonlinear responses of ships in waves［J］. Journal of Ship Research，2003， 47（3）：262-273. 11］ 林超友，高俊吉，朱军. ［ 舰船操纵运动时高频波浪

J］. 2002，14（4）：力的算例［ 海军工程大学学报， 100-105. LIN C Y GAO J J ，ZHU J. Calculation examples of

， high frequency wave loads for the ship on the maneu⁃ vering motion［J］. Journal of Naval University of En⁃ gineering，2002，14（4）：100-105（in Chinese）. 12］ 朱军，庞永杰，徐玉如. ［ 规则波浪中舰船操纵运动

计算［J］. 哈尔滨工程大学学报，2004，25（1）：1-5. ZHU J，PANG Y J，XU Y R. Maneuvering prediction of a ship in regular waves［J］. Journal of Harbin Engi⁃ neering University，2004，25（1）：1-5（in Chinese）. 13］ 朱军，刘瑞杰，葛义军. ［ 规则波浪中舰船纯稳性丧失计算研究［J］. 中国舰船研究，2017，12（3）：1-6， 15. ZHU J， LIU R J GE Y J ，et al. Pure loss of stability ， calculation of naval ship in regular waves［J］. Chi⁃ nese Journal of Ship Research，2017，12（3）：1-6，15 （in Chinese）. ［14］ PAULLING J R. The transverse stability of a ship in a longitudinal seaway［J］. Journal of Ship Research， 1961，4（4）：37-49. ［15］ HIMENO Y. Predictions of ship roll damping—— State of the art：239［R］. ［S.l.］：The University of Michigan Department of Naval Architecture and Ma⁃ rine Engineering，1981. 16］ 彭英声. 础［M］. ［ 舰船耐波性基 北京：国防工业出

版社，1989：56-60.

图1 惯性坐标系与运动坐标系Fig.1 Coordinate system of inertial and motion 将船体固定坐标系绕Ox 轴转动 φ角，然后沿Oz 轴平移 DT（吃水增量），再绕 Oy 轴（静水面轴 线）旋转 θ 角，运动坐标系（ x，y，z ）和固定坐标2）为：系（ x ，y ，z ）的转换关系（图O′ O′ O′

图2 船体坐标系转动与平移Fig.2 Rotation and translation of hull coordinate systems