Přijímačky na SŠ, testy zdarma

Mnohočleny a ekvivalentní úpravy rovnic

Než přejdeme k příkladu níže, zopakujeme si dvě základní věci. Velmi často narazíte při práci s výrazy na umocňování mnohočlenů a rozklad

mnohočlenů na součin. Proto si připomeňme tři základní vzorce z této oblasti, které byste měli bravurně ovládat, a hlavně byste je mezi sebou neměli zaměňovat.

(a b)2 a ab b2 + = 2+2 + (a b)2 a ab b2 – = 2 –2 + a2 b a b) · (a b) – 2=( + –

Také je nezbytné, abyste zvládali ekvivalentní

úpravy rovnic. Slovo „ekvivalentní“znamená stejné, rovnocenné a jednoduše tak platí, že na obou stranách rovnice musíte vždy provádět stejné úpravy, abyste mezi oběma stranami mohli stále mít znaménko rovná se a nezměnilo se řešení rovnice. Často se tyto úpravy zapisují na pravou stranu vedle rovnice za lomítko.

Řešte rovnici v R: (x x + 4)·(x +10) = ( – 10)2

1. Vždy, když v rovnici nebo při zjednodušování výrazu vidíte druhou mocninu, zpozorněte a zjistěte, zda nejde o vzorec. V našem případě se jedná o druhý ze tří uvedených vzorců, takže jej použijeme. Na levé straně jde pouze o roznásobení dvou závorek a následné sečtení dvou členů s x.

x x x x 2+14 2–20 +40= + 100

2. Cílem je zjistit hodnotu neznámé x. Teď přichází na řadu jednotlivé ekvivalentní úpravy rovnice. Snažíme se vždy rovnici upravit tak, aby na jedné straně zůstala neznámá x a na druhé straně číselná hodnota. V tomto případě od obou stran rovnice nejprve odečteme výraz x2, čímž se tohoto členu v rovnici úplně zbavíme. Dále můžeme k oběma stranám přičíst výraz 20x a od obou stran odečíst číslo 40.

x x x x x x 2+14 +40= 2–20 +100 / – 2+20 – 40 34x =60

3. Další ekvivalentní úpravy spočívají ve vydělení obou stran rovnice číslem 34 a následném zkrácení získaného zlomku.

34x =60 /:34 x 60 − = 34 x 30 − = 17

4. Správnost výsledku ověříme zkouškou tak, že do každé strany rovnice dosadíme za neznámou výsledek a zjistíme, zda se sobě strany rovnice rovnají.