Co s více neznámými?

Slovní úlohy řešitelné soustavou rovnic MATEMATIKA 9. TŘÍDA

Už jsme se naučili, jak si zadání některých slovních úloh přepsat pomocí jednoduchých lineárních rovnic s jednou neznámou. Co se ale dá dělat, pokud se v zadání vyskytuje více neznámých údajů?

Jednou z možností je, že si na pomoc vezmeme soustavu rovnic. Na příkladu si ukážeme, jak na to: Na parkovišti stojí motorky a auta, celkem je tam 120 dopravních prostředků. Kolik je motorek, pokud je na parkovišti dohromady 410 kol?

Stroje versus kola

V zadání máme dvě neznámé hodnoty, počet aut a počet motorek. Auta si označíme jako x a motorky jako y. Z těchto dvou neznámých budeme chtít vytvořit soustavu dvou rovnic.

První rovnici získáme z informace, že na parkovišti je celkem 120 dopravních prostředků. To matematicky přepíšeme jako x + y = 120.

Druhá informace ze zadání říká, že je na parkovišti celkem 410 kol. Jak víme, auto má čtyři kola a motorka dvě. Díky tomu si můžeme vyjádřit počet kol všech aut a počet kol všech motorek. Tedy výraz 4x vyjadřuje počet kol u automobilů a 2y u motorek. Druhou rovnici tím pádem zapíšeme jako 4x + 2y = 410. Získali jsme dvě rovnice o dvou neznámých:

x + y = 120 4x + 2y = 410 z první rovnice vyjádřili například x a toto vyjádření dosadili do druhé rovnice. x = 120 – y 4(120 – y) + 2y = 410

Tím jsme si situaci upravili na jednu rovnici o jedné neznámé, kterou dokážeme vypočítat.

4(120 – y) + 2y = 410 480 – 4y + 2y = 410 70 = 2y y = 35

Vyjde nám y = 35, což znamená, že motorek je 35. Automobilů na parkovišti je 120 – 35 = 85.

Metoda druhá: sčítací

Druhou metodou pro výpočet soustavy rovnic, sčítací, bychom například první rovnici vynásobili –2 a obě rovnice sečetli.

–2x – 2y = –240 4x + 2y = 410 2x = 170 x = 85 Získali jsme počet automobilů, takže bychom nyní dopočítali počet motorek. Ale je vidět, že obě metody nám dají stejný výsledek, takže záleží jenom na počtáři, kterou metodu při výpočtu zvolí, která mu je sympatičtější.

Ne všechny úlohy ovšem musíme řešit pomocí soustavy rovnic. V našem příkladu je můžeme obejít, pokud si hned na začátku všimneme vztahu mezi motorkami a automobily. Pokud je na parkovišti x aut, motorek musí být 120 – x a rovnou tato vyjádření dosadíme do rovnice, kde počítáme s počty kol.