Početní geometrie
Jak správně určit obvod, obsah, povrch a objem MATEMATIKA 9. TŘÍDA
Geometrie není jenom rýsování, v tomto oboru matematiky jsou důležité také výpočty – například obvodů a obsahů rovinných útvarů nebo povrchů a objemů těles.
Obvod
Nejjednodušší vzorečky a výpočty jsou ty pro obvod, který většinou značíme o. K bližšímu určení velikosti používáme délkové jednotky, jako jsou centimetry, metry atd. Obvod u mnohoúhelníků (tj. trojúhelníky, čtyřúhelníky atd.) vypočítáme tak, že sečteme velikosti všech stran. U kružnice a kruhu potřebujeme znát poloměr (vzdálenost od středu kružnice nebo kruhu ke „kraji“), který značíme r, a použít konstantu (Ludolfovo číslo). Toto číslo se nedá vyjádřit zlomkem, a tak nemá ukončený desetinný rozvoj. Buď počítáme s přibližnou hodnotou 3,14, nebo použijeme hodnotu na kalkulačce. Vzoreček pro výpočet obvodu kružnice a kruhu je o = 2 r.
Obsahy a povrchy
Vyjadřují velikost nějaké plochy, používají tedy plošné jednotky. a při výpočtech používáme znak S. Plošné jednotky značíme pomocí druhé mocniny, například metr čtverečnímá značku m2. U čtverce a obdélníku stačí vynásobit velikosti vedlejších stran, abychom získali obsah. U trojúhelníku používáme k určení obsahu výšku v, což je úsečka kolmá na jednu stranu trojúhelníku procházející protějším vrcholem. Podobně u lichoběžníku musíme znát jeho výšku – kolmici na základny (rovnoběžné strany) – a střední příčku. Její velikost je součtem základen vyděleným dvěma: s = ( a + c)/ 2. V kosočtverci jsou na sebe úhlopříčky kolmé, což se využije právě pro výpočet obsahu. Vzorečky jsou tedy následující: čtverec: S = a2 obdélník: S = ab trojúhelník: S = ( av· lichoběžník: S = sv kosočtverec: S = (ef) 2, kde jsou úhlopříčky kruh: S = r2
Objem
f Pro objem těles používáme značení V. Jednotkou objemu je buď metr krychlový (píšeme pomocí třetí mocniny – m3), nebo litr. Převod mezi těmito na první pohled různými jednotkami je jednoduchý, stačí si zapamatovat, že 1 l = 1 dm3, a správně toho využít.
Objemy jednodušších těles počítáme tak, že podstavu tělesa vynásobíme jeho výškou. Následující vzorečky nám pomohou při počítání objemu ( V) a povrchu ( S) těles: krychle: S = 6a2, V = a3 kvádr: S = 2( ab + ac + bc), V = abc hranol: S = 2 · S + S ,= VS · v válec: S = 2 · S + S = 2 r2 +2 rv, V = S v
Pythagorova věta
· )/2 e a Další v geometrii často používaný vzoreček platí v každém pravoúhlém trojúhelníku a spojuje délky odvěsen a přepony. Rovnost vyjadřuje, že součet obsahů čtverců nad odvěsnami je roven obsahu čtverce nad přeponou, algebraicky zapsáno: a2 + b2 = c2, kde c je přepona pravoúhlého trojúhelníku ABC. Co naopak platí v každém obecném trojúhelníku, je, že součet jeho vnitřních úhlů je 180°.
Důležité je dát si pozor na jednotky a na konci je také k výsledku připsat. Takže pozor, zda počítáme objem, obsah, nebo obvod.