Objem válce se počítá...

V početní geometrii pro deváťáky se objevují i převody jednotek

Vtestech od Cermatu se setkáte s geometrií, a to jak s konstrukčními, tak s početními úlohami. V dnešním dílu se budeme věnovat početní geometrii, konkrétně obvodům, obsahům a objemům geometrických útvarů (základní informace, vzorečky a obrazce najdete na plakátu, který vyšel spolu s 1. dílem seriálu v LN 2. 2.).

Úlohy na početní geometrii se v testech deváťáků vyskytují jako otevřené, polootevřené i uzavřené. Svou roli v nich hrají i převody jednotek (viz minulý matematický díl).

Obvod, jednotky délky

Obvod nám udává, kolik měří daný geometrický útvar – kruh, čtverec, obdélník... Pro výpočet je nutné znát délky stran, v případě kružnice poloměr nebo průměr. Výsledek je udáván v jednotkách délky, tedy v mm, cm, dm apod.

Nenechte se zaskočit, pokud v zadání bude formulace „Vypočtěte délku…“, myslí se tím opět obvod. V případě kružnice neboli kruhu věnujeme velkou pozornost tomu, zda zadání pracuje s poloměrem r, anebo průměrem d = 2r – správně pak dosazujme do vzorce. Obvod kruhu spočítáme o = 2 r= d.

Obsah a povrch, jednotky čtvereční

Obsah geometrických útvarů počítáme prostřednictvím součinu. Vypočítáme tak, kolik daný obrazec zabírá plochy. Obsah čtverce 4 m2 znamená, že čtverec zabere plochu o rozměru 2 m x 2 m. Obsah (i povrch) značíme S, obsah využijeme také pro výpočet objemu.

S povrchem se setkáme u těles, kdy sčítáme všechny obsahy jednotlivých stěn (ploch) tělesa, ze kterých se těleso skládá. Povrch krychle je složen ze šesti stejných čtverců, proto jeho povrch vypočí- táme jako S = 6 · a2, kdy číslo šest vyjadřuje právě počet čtverců a a2 obsah jednoho čtverce. Povrch kvádru s podstavou čtverce spočítáme S = 2 · a2 +4· ab neboli dvakrát obsah čtvercové podstavy plus čtyřikrát boční obdélníková stěna.

Objem, jednotky krychlové a jednotky objemu

Objem klasické PET lahve je 1,5 litru – to známe ze života všichni. Stejně bychom ale mohli říci, že objem lahve na vodu je 1,5 dm3 – a výsledek by byl shodný. Nezapomeňme proto, že se převody jednotek a objemy těles často propojují!

Objem těles kolmých k podstavě vypočteme jako součin obsahu podstavy a výšky. Mějme například kvádr, jehož rozměry jsou obecně strana a, strana b a strana c. Objem tohoto kvádru vypočteme pomocí vzorečku: V = abc · · neboli V=S · v, kde v značí výšku tělesa. Nemusíme tak umět vzorec objemu, ale stačí si ho odvodit. Podívejme se ještě na válec. Podstavu tvoří kruh, jehož obsah jsme si uvedli výše. Objem válce pak vypočteme jako obsah podstavy násobený výškou neboli V = r2 · v.

A nyní jeden vzorový příklad: Masážní válec je vysoký 10 cm a jeho podstavu tvoří dva shodné kruhy o průměru 20 cm.

a) Vypočítejte obvod obou podstav dohromady.

b) Vypočítejte objem válce a výsledek uveďte v litrech.

Obvod podstavy je obvod kruhu, ten vypočteme jako první: o = 2 r= d = 3,14 · 20 cm = = 62,8 cm. Podstavy jsou dvě, výsledek tedy vynásobíme dvěma, vyjde 133,6 cm. Nyní vypočítáme objem válce a převedeme na litry: V= r2 · v = 3,14 · 102 · 10 cm = = 3 140 cm3 = 3,14 l.