Početní geometrie

Obvod, obsah, žádný strach, snadné body v úlohách

Zatímco v minulém díle jsme se věnovali konstrukčním úlohám, dnes téma geometrie pojmeme početně. Ukážeme si několik možností, jak může být úloha zadaná, připomeneme si, jak maximálně využít čtvercové sítě a co je to osově souměrný útvar. Protože se tyto příklady obvykle objevují v druhé části testu s uzavřenými úlohami, je dobré připomenout, že v zadáních s nabídkou možností je pro každou otázku pouze jedno správné řešení. Ty označujeme v záznamovém archu křížkem do patřičného políčka.

Obvody a obsahy

Na začátku si zopakujme, že obvod (značíme o) popisuje součet délek všech stran, které ohraničují nějaký útvar v rovině, a jeho hodnota je uvedena v jednotkách délky, tj. km, m, cm, mm apod. Obsah (značíme S) vyjadřuje velikost plochy, která je stranami útvaru ohraničena, a popisujeme jej jednotkami obsahu km2, m2, cm2 apod.

1 cm2 je čtverec, který má stranu dlouhou 1 cm. Pokud hledáme obsah např. obdélníku o stranách 4 cm a 7 cm, pak zjišťujeme, kolik čtverečků o straně 1 cm se do obdélníku vejde. Na delší stranu obdélníku se jich vedle sebe do jedné řady vejde 7, a protože druhá strana obdélníku má 4 cm, pak tyto řady jsou v obdélníku 4. Obsah obdélníku tak je 28 cm2.

Obsah čtverce o straně a cm, tak vypočítáme S = a · a cm2.

Často musíme řešit opačnou úlohu. Známe obsah čtverce a musíme dopočítat délku strany. Pokud je například obsah čtverce 49 cm2, pak délka strany v cm je daná takovým číslem, které splňuje, že když jej vynásobíme sebou samým, pak výsledek je 49. Hledaná délka strany je tak 7 cm, protože7cm·7cm=49cm2.

Čtvercová síť

Pomocí čtvercové sítě lze snáz odhalit, jakou velikost mají útvary v ní zakreslené. Jednodušší orientaci nám zaručují právě čtverečky, z nichž se síť skládá, přičemž všechny jsou stejně velké. Jak tedy s čtvercovou sítí pracovat?

V levém dolním rohu vidíme bílý čtverec, jehož obsah je 4 cm2. Pomocí této legendy snadno určíme, že délka strany bílého čtverce musí být 2 cm, protože 2cm·2cm=4cm2.

Strana bílého čtverce je složena ze dvou stran čtverečků sítě. Čtvercová síť je tedy složena ze čtverečků o délce strany 2cm:2=1cm.

Obsah jednoho čtverečku čtvercovésítěje1cm·1cm=1cm2. Čím více čtverečků nějaký útvar pokrývá, tím větší je jeho obsah.

Vypočítejte obsah šedé plochy ve čtvercové síti.

Šedá plocha zabírá šest celých čtverečků a jeden čtvereček z poloviny.

Sšedé =

=6·1cm2 +0,5cm2 =6,5cm2

Osová souměrnost

Příklad osově souměrného útvaru vidíme na obrázku k úloze 2 v procvičování. Existuje totiž taková přímka (nazýváme ji osa), podle které se útvar zobrazí sám na sebe. Kdybychom tedy například takový útvar vytištěný na papíře přeložili podle osy, obě části se plně překryjí.

Tělesa

V úvodním plakátku tohoto seriálu jsme si ukázali, jaká tělesa bychom již měli umět v 5. třídě rozpoznat. Jsou to krychle, kvádry, válce, kužely a jehlany. Znalost toho, jak tato tělesa vypadají, Utekl vám začátek seriálu? Předplatné si můžete objednat na tel. 225 555 533 nebo na internetové stránce www.lidovenoviny.cz/prijimacky. V ceně předplatného je i přístup do digitálního archivu Lidových novin, o žádný díl tak nepřijdete.

nám zatím bude stačit, ve vyšších ročnících s nimi ovšem budeme pracovat podrobněji.

V testech od Cermatu se často setkáváme s úlohami, jejichž zadání je doplněno nějakou stavbou z krychlí. Naším úkolem bývá spočítat, z kolika krychlí se stavba skládá, a v takovém případě je vhodné spočítat si nejprve, kolik je krychlí v jednotlivých patrech, a na závěr tyto dílčí výpočty sečíst. Navíc si zapamatujme, že dvě krychle k sobě skládáme tak, aby se vždy jedna stěna z každé krychle plně dotýkala stěny druhé krychle. Pro řešení úlohy také bývá důležité, kde se stavba nachází. Pokud budeme stavbu z krychlí např. natírat, situace se bude lišit, bude-li stavba stát na zemi, nebo v rohu místnosti.

Jedna z nejslavnějších vět, která nese jméno po řeckém matematikovi Pythagorovi, udává vztah mezi obsahy čtverců, které sestrojíme pomocí stran pravoúhlého trojúhelníka. Lze ji uplatnit pouze na trojúhelníky, kde dvě strany svírají úhel o velikosti 90°, tedy úhel pravý. Strana proti pravému úhlu je přepona (v obrázku označená c), zbylé dvě strany se nazývají odvěsny (v obrázku a,b ).

Pythagorova věta zní: Obsah čtverce nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami. Matematicky zapíšeme větu následovně:

c2 = a2 + b2, z které odvodíme výpočet odvěsen: a2 = c2 – b2 b2 = c2 – a2

Pythagorovu větu využijeme nejen u samotného pravoúhlého trojúhelníka, ale i v obrazcích, jejichž součástí je právě pravý úhel. Například strany čtverce a obdélníka svírají pravý úhel. Máme-li vypočíst délku jejich úhlopříčky, využijeme právě Pythagorovu větu. Nebo uvažujme čtverce a kosočtverce, ve kterých se obě úhlopříčky půlí a jsou na sebe kolmé. Můžeme tak vypočítat obvod těchto obrazců, i když známe pouze délky úhlopříček.

Pravý úhel má velikost 90°, ale co ostatní úhly v trojúhelníku a jiných obrazcích? Základní informace je, že součet úhlů v trojúhelníku

Obvod nám udává, kolik měří daný geometrický útvar, resp. přesněji, jak je dlouhá jeho hranice (česky to znamená, jak dlouhý bude provázek, pokud jej omotáme kolem geometrického útvaru). A většinou obvod značíme písmenkem o. Mezi základní útvary patří kruh, čtverec a obdélník. To ale neznamená, že nelze počítat obvod i jiných útvarů (kosočtverec, lichoběžník…).

Pro výpočet je nutné znát délky stran, v případě kružnice poloměr nebo průměr. Výsledek je udáván v jednotkách délky, tedy v mm, cm, dm apod. Nenechte se zaskočit, pokud budete mít v testu uvedeno „Vypočtěte délku…“, myslí se tím obvod. V případě kružnice neboli kruhu věnujeme velkou pozornost, zda máme v testech uveden poloměr r, anebo průměr d =2 r, a správně dosazujeme do vzorce.

Obvod kruhu

Pro výpočet délek stran nezapomeňte používat vše, co znáte: Pythagorovu větu, vlastnosti rovnoramenných a rovnostranných trojúhelníků apod.

Obsah říká, jakou plochu daný geometrický útvar zabírá. Značíme jej S (z anglického surface). Obsah udáváme v jednotkách čtverečních. 1 cm2 je čtvereček o straně 1 cm. Pokud máme obdélník, který má strany o délce 3 cm a 5 cm, a chceme znát jeho obsah, tak vlastně zjišťujeme, kolik těch čtverečků se do něj vejde. Z obrázku je zřejmé, že čtverečky o velikosti 1 cm jsou v obdélníku ve třech řadách

Obsah lichoběžníku je shodný s obsahem obdélníku, který má délku strany shodnou s aritmetickým průměrem rovnoběžných stran lichoběžníku. Výška obdélníku je pak shodná s výškou lichoběžníku.

A proto S =

Snadné je to i s obsahem kosočtverce. Úhlopříčky se v kosočtverci půlí a jsou na sebe kolmé. Rozdělí nám tak kosočtverec na 4 shodné pravoúhlé trojúhelníky.

Obsah každého trojúhelníku je

A proto obsah kosočtverce (4 takových trojúhelníků) je

Jediný vzorec, který nám ještě chybí, je obsah kruhu, ten si buď zapamatujte, nebo ho také odvodíme z obdélníku.